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1、Gren公式、toes公式、aus公式在专业学科中的应用摘要格林(ree）公式，斯托克斯（Stokes）公式和高斯（Guss)公式是多元函数积分学中的三个基本公式，它们分别建立了曲线积分与二重积分、曲面积分与三重积分、曲线积分和曲面积分的联系。它们建立了向量的散度与通量、旋度与环量之间的关系,除了在数学上应用于计算多元函数积分,在其她领域也有诸多重要的应用。本文将重要从这三个公式与物理学之间的联系展开简介它们的其她应用，其中涉及应用于GPS面积测量仪，拟定外部扰动重力场，应用于保守场以及推证阿基米德定律和高斯定理等，协助人们加深对格林公式、斯托克斯公式和高斯公式的理解，从而可以更精确地应用此三
2、个公式。核心词：格林公式 斯托克斯公式 高斯公式 散度 旋度 应用目录一、引言1二、格林(Gren）公式的应用（一) 格林公式的定义11、单连通区域的概念2、区域的边界曲线的正向规定13、陈述（二)格林公式的物理原型1、物理原型22、 计算措施2(三)格林公式与PS面积测量仪31.应用曲线积分计算平面区域面积3.GPS面积测量仪的数学原理43.实验成果54进一步讨论5(四）应用格林积分直接以地面边值拟定外部扰动重力场61扰动重力位的地面边值问题62.地面边值问题的格林公式表达6三、Sos公式的应用8（一）Stok公式简介8（二）环量与环量密度9(三）环量的应用9.开尔文定理92.开尔文定理的推
3、论13.升力1（四）旋度11（五）旋度的应用12. 平面矢量场的旋度122环流量是区域内有无漩涡的量度23旋度是矢量场某点漩涡强度的量度14空间矢量场的旋度1四、s公式的应用16、 数学中的高斯公式12、 保守场的推导73、高斯公式在电场中的运用4、 高斯定理在万有引力场中的应用195.高斯公式推证阿基米德浮力定律216高斯公式推证静电场中的高斯定理227高斯公式与散度2五、结语2六、参照文献26一、引言格林（Green)公式，斯托克斯(Stokes）公和高斯(Gau）公式是多元函数积分学中的三个基本公式,它们分别建立了曲线积分与二重积分、曲面积分与三重积分、曲线积分和曲面积分的联系。它们有很
4、强的物理意义即建立了向量的散度与通量、旋度与环量之间的关系,因此它们有许多重要的应用，在数学上它们重要用来简化某些多元函数积分的运算，而在其她各个专业领域它们也有诸多重要的应用。接下来将一一简介它们在不同专业中的应用。二、格林（Gren）公式的应用（一） 格林公式的定义reen公式反映了第二型平面线积分与二重积分的联系。1、单连通区域的概念设D为平面区域,如果内任一闭曲线所围的部分区域都属于D,则称为平面单连通区域；否则称为复连通区域.通俗地讲,单连通区域是不含洞(涉及点洞)与裂缝的区域.2、区域的边界曲线的正向规定设L是平面区域的边界曲线,规定L的正向为：当观测者沿的这个方向行走时，平面区域
5、(也就是上面的D)内位于她附近的那一部分总在她的左边.简言之:区域的边界曲线的正向应符合条件：人沿曲线走，区域在左边，人走的方向就是曲线的正向。、陈述设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,函数在D上具有一阶持续偏导数,则有 其中L是D的取正向的边界曲线.公式叫做格林(green)公式.格林公式沟通了二重积分与对坐标的曲线积分之间的联系,因此其应用十分地广泛1.(二)格林公式的物理原型在工科的“高等数学”教材中,格林公式这部分都是先给出定理,然后加以证明、应用。讲这部分内容时,总有学生询问同一问题，即人们如何想到这个公式,如何想到曲线积分与重积分会有这样的数值上的联系?能否将格林公式的来源即物理原型
6、加入教材呢？在教学中,试着加入这部分内容，并对公式作了简朴的符号记法，简化了公式，降底了出错率,并相应用总结了几种类型。近年的实践证明,效果是较好的,下面就将加入的内容简介如下2:1、物理原型 在流体物理学中,称满足下述三个条件的“流速场”为“平面稳定流动”。()场中每一点的速度都不随时间变化，只是位t的函数即（2)所论流体介于两个互相平行的平面之间(为以便,不妨设平面间距离为l个单位)其中之一称为底面(往往底面即为xoy坐标面)。（3)垂宜于底面的直线上的各点流速相等,并平行于底面。在这种“ 平面稳定流动” 中，我们来计算单位时间内流过曲线C的流体体积即流t密度( 其实是流过以 为准线、高为
7、l 的柱体的流体体积; 简朴用面积表达）其中是平面上一种闭的、无重点, 光滑曲线。无重点， 是指曲线，当总是相异的。2、 计算措施(1）在上任取一小段弧线S,在t时间内流过S的流体面积,近似于一种平行四边形的面积,它的一种边长是另一种相邻边长是流程因此面积为其中是C的单位法向量单位时间内流体面积为：由曲线积分定义有总的流体面则设为点（x,y)处的切线,与x轴夹角（2）的计算可以从另一种角度来计算，那就是先算出流过场内每一种微dxdy在单位时间内散发出去的流体的面积,然后求其总和。设上述曲线C所围平面区城为，在G内任取一种微元dxdy显然在单位时间内从左边流进(轴方向)这个微元的流体面积近似于P
8、dy，而从右边流出的面积近似于（为偏增量的近似)。因此这个微元在单位时间内沿x方向(净)散发出去流体面积近似于。同理沿y方向(净）散出去的流体面积近似于，因此总的和为由重积分的定义得：有（1）、（）可得:这是场论中最主线的公式,即格林公式的原型。(三)格林公式与GPS面积测量仪格林公式作为多元微积分中联系平面曲线积分与二重积分的一种重要公式，不仅给出了一种有效计算平面曲线积分的措施,并且给出了一种已知边界曲线方程的平面区域面积的计算措施在这部分的教学内容中，老式应用重要局限于纯几何与物理问题的解决,很少应用于生活实际问题的讨论.本文在基于微元法的基本上,讨论了GS面积测量仪测量平面区域面积的数
9、学原理,并在教学实践中,将其以引入性问题和课程摸索性实验的形式作为曲线积分教学内容的扩大,实现了抽象的数学理论与措施和生活实际的有效结合31.应用曲线积分计算平面区域面积 设为y平面上的闭区域，其边界D由光滑或分段光滑闭曲线构成，函数（x，y)和Q(x,y）在D上有持续的一阶偏导数，则有 (1)其中D的方向为有关区域D的正方向.曲线正方向的拟定使用“左手法则”，即当一种人沿着该方向行走的时候,区域位于左手一侧式(1)对于平面单连通区域或多连通区域都成立当式（1)中的二重积分被积函数为常数时,可以使用左端有关坐标的曲线积分计算封闭曲线围成的平面区域的面积.即若则有 （)因此，只要构造合适的P(x
10、, )和Q（x，y),就可以通过封闭曲线D上的第二类曲线积分计算其围成的平面区域D的面积.则 (）2.P面积测量仪的数学原理 运用格林公式或二重积分措施计算平面区域的面积时，一般需要懂得其边界曲线方程，而在实际生活中，这样的边界曲线方程是很难懂得的，因此无法直接使用它们来完毕对面积的精确计算.GPS面积测量仪则给出了比较好的平面区域面积的近似计算措施只要手持测量仪绕行测量区域一周.仪器就可以通过自动记录行进路线的坐标,计算所环绕区域的近似面积设由边界曲线3D围成的区域和使用GPS测量仪记录的平面坐标为图1 目的区域与记录点位置由式(2)可知,在闭曲线方程已知的状况下,对其围成的封闭区域面积的计
11、算可以转换为曲线积分计算.假设闭曲线方程未知，则根据积分的存在性,借助于微元法思想,封闭曲线可以近似为由有向线段 的并，其中 其中，即 ()从而有 (）其中，实验成果 下面以参数方程=s-i4 (6)=4t-os4t 拟定的封闭曲线为例，在Mahematic中进行数学实验验证。 由于该封闭曲线方程已知，因此由公式(），运用第二类曲线积分的直接计算措施，可得所围封闭区域面积为06283.取参数增量分别为依次在曲线上取点,计算得到的成果分别为5316,0.08,62.122,2653,2830若取（x, y）=-y,(x, y)=,或者P（， )=0,Q(x,y)x虽然在近似计算形式上看似有所差别
12、，但是在Mhemaca中以默认精度进行计算时，每个成果可以保持在小数点后3位始终相似,并且随着分割的细化，成果逼近直接计算得到的精确成果。 .进一步讨论 使用边界点坐标措施计算区域的面积尚有借助于微元法思想和辛普森公式容易验证的公式对任一种平面凸区域D（即过该区域能做一组与区域边界曲线交点不多于两个的平行直线的区域),设正好夹住平面区域的两平行直线的距离为b在两平行直线之间做-(偶数)条距离为n，平行于这两条直线的一组直线，各条直线夹在闭曲线围成的区域D范畴内的线段长度记作 (i1，2,，1)。图2 平面凸区域面积近似措施通过坐标系旋转或者存在有一组平行于Y轴的直线，b即为区域在z轴上投影区间
13、的长度，这样事实上也就是由微元法构造定积分模型的形式该措施思想简朴，在实际计算中相对来说约束较多。除了以上借助于曲线上点坐标近似计算平面区域面积之外,此外也可以通过已知点列坐标，运用插值、拟合的措施获取近似边界分段曲线方程,然后运用二重积分或者第二类曲线积分计算面积同步，这种近似计算的思想也合用于求曲线的弧长,例如椭圆周长的近似计算与某些不可积函数的积分计算。（四）应用格林积分直接以地面边值拟定外部扰动重力场.扰动重力位的地面边值问题拟定地球外部重力场和大地水准面是大地测量学的重要任务之一。拟定地球外部重力场和大地水准面的斯托克斯理论需要将地面观测的重力异常归算至大地水准面,再采用调和函数球面
14、边值的解式（如Stoks 公式)求得大地水准面及其外部的扰动重力位。归算将波及对大地水准面。至地面的质量迁移,对大地水准面产生间接影响，并且由于归算对质量进行了调节,变化了外部扰动重力场,因此归算到大地水准面上的重力异常用以拟定外部扰动重力位会导致成果的歪曲。直接以地面重力异常为边值的Moldenky问题从理论上避免了归算的困难,成为近代外部重力场研究的理论基石。然而,由于地球表面的复杂性,给这一问题的求解带来极大难度4。Mooensy基于基本积分方程的小参数解法得到地面扰动位的级数解式。.提出将地面重力异常解析地延拓到一点的水准面上,再采用球面的Skes 积分得到地面扰动位,其成果同样是级数的形式。也研究得到类似的级数解.。则提出将地面重力异常调和地延拓到一种内部球面上,再由球面边值问题解逼近外部扰动位,其调和延拓需规定解Poson积分方程。尽管这些理论解的途径有所不同,但在一定前
