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1、第三讲二重积分的换元法1. 二重积分的换元积分公式；2. 极坐标系下二重积分的计算。英数学耍求汪1111 11 掌握二重积分的换元积分公式；熟练掌握极坐标系下二重积分的计算。复习:二重积分在直角坐标系下的计算Vy)dxdy0Xjjf(x,y)dxdyf(xyy)dy在直角坐标系下二重积分DD2 二重积分在直角坐标系下的计算（。（兀）0（兀）必（刃X-型Y预备知识：1 如图：扇环的面积O-的近似公式: 近似地看成以Z和Ar为邻边的矩形 即 cr Z ArAr2曲线的极坐标方程:r = r(0)aep二重积分的换元法(1)在某些情况2必须化为个小区域来计算有如下定理在直角坐标系下计算二重积分时 下
2、非常烦琐，, 且满足(1)在D(上具有一阶连续偏导数(2) 在D上雅可比式/(川)=穿空工0;o(uv)(3) 变换T:DJD是一对一的，则有 f x,y)dxdy = fx(u,vy(u,vJ u.vludv.蘊m 菽山* 血 1 * Act r -Ar将区域。用从O出发的射线和以O为圆心的圆弧进行划分rArA &0+ Ar0a则Act故= Jf/ (r cos 0 sin 0)r dr d0DD X；Sil?定理 设/(x,j)在xoy平面上的闭区域D上 连续，变换T: x = x(w,v), 丁 =丿(川) 将uov平面上的闭区域D变为xoy平面上的Z, 且满足(1) X(M,V),J(
3、M,V)在D上具有一阶连续偏导数(2) 在D上雅可比式丿川)=穿空工0;o(uv)(3) 变换T:DJD是一对一的，则有 f x,y)dxdy = fxu,vy(u,vJ (u.vfludv.蘊m 菽山*亠、2丄”二重积分化为二次积分时，根据积分区域D 的特征，可分为以下三种情况：(1獗极点O在区域D的外部D:ri(0) r r2(0) aepj*J/(rcos,rsin) rdrdOr=r2(0)Jaf(r cos0sin0) rdrDf (r cos Or sin&) rdr7(0)|极点n在区域I)的边私 D 0rrWIad =fJar = /W)D(3)极点0在区域変的内部 0 r r
4、(0)O0为/ + J2 1. 解由直角坐标化fx=rcos 极坐标公式 j =rsin.圆的极坐标方程为0r 102n|J(l-x2 - y2)dxdy = (l-r2)rdrd0DD=JoIo(1r2)rrfr = F &匸(_ 尸3)2龙1 2 1 471卩兀I兀=Jo 萨 4r 1。吩Jo 严-3其中积分区域0为兀2 + y2 a2解由直角坐标化x=rcos9 极坐标公式=rsin圆的极坐标方程为r=aD: -r-02ex y dxdy =|t/0jo er rdr二护呦:e叫(-r2) = -|CP_r2 診 =7i(l ea ).例2计算x2+y2daD其中积分区域。为（兀-a）2
5、 + y2 a2.2解7C32J2故D2 +390-022cos3 dd8(2 cos2 0 d sin&323 cos? & d 2a cos 0 7C2na=2acos& tJ丿一2解00J0=4J a =6a n B =P 3zzr = 2sin0匹 4sin0J|(x2 -i- y2)dxdy = 宀皿=15(：-十3)22.二重积分的换元法(2)平面上同一个点，直角坐标与极坐标之间的关系为= rcos0,= rsin0.上式可看成是从直角坐标平面“e到直角 坐标平面兀or的一种变换，即对于“e平 面上的一点通过上式变换，变成兀oy平面上的一点且这种变 换是一对一的.例1轴y轴和直2所
6、成的闭区域2解y + x则IDtDv2丿一兀yxdxdy，其中D由令耳=丿计算mD线工+ yv-u，即Xyx + yVv = 2rv /1j = d(x,y) d(uv) 2121丿一兀故 ey+xdxdy =1DD例2计算2椭圆务+計I所围成的闭区域.2 21首必血，其中D为 a b解作广义极坐标变换x = ar cos $ y =br sin0,其中a0，方 0， r 00 0 lit.在这变换下D T D =(r, 6)10 r 1,00 2兀,d(x,y)J = abr.d(r90)丿在D内仅当心0处为零,故换元公式仍成立，2abrdrd 0 -nab.D Dr3一般地，当积分区域为圆
7、形、扇形、环形区域,而被积函数中含有X2+J2的项时，采用极坐标 计算往往比较方便.r2(0) f(rcos3rsin0)rdrr(0)_0I r(0)f (r cos Or sinO)rdr二重积分在极坐标下的计算公式 | f(r cos0 sin0)rdrd0 =M.f (r cos Oyrsin0)rdrl =蚀（在积分中注意使用对称性）1.作什么变换主要取好积分区域D的形状, 同时也兼顾被积函数/（兀）的形式.基本要求:变换后定限简便，求积容易.2./ =兀）二 1思考题计算卩丿D兀=0和y =0所围成.uex + y,其中D思考题解答雅可比行列式/=3（兀）=0（眈川）变换后区域为XHO UWI0HO y = 0 u p = 0
