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1、唐山一中2020届高三冲刺卷（一）高三数学理科试卷 注意事项：1答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1.已知集合，则（ ）A B(1,+) C D2. 已知，则在，中最大值是（ ）A、B、C、 D、3. 设复数，则的二项展开式的第7项是（ ）A84 B C36 D4. 设为区间内的均匀随机数，则计算机执行下列程序后，输出
2、的值落在区间内的概率为（ ）A. B. C. D.5.在正项等比数列中，若成等差数列，则的值为（ ）A. 或 B. 或 C. D. 6. 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有()A4种 B10种 C18种 D20种7.过点且不垂直于轴的直线与圆交于两点，点在圆上，若是正三角形，则直线的斜率是（ ）A. B. C. D. 8.已知等边三角形中，是线段的中点，垂足为,是线段的中点，则（ ）A. B. C. D. 9.设函数满足， 当时，则（ ）A. B. C. D. 10.已知是双曲线的左、右焦点，若点关于双曲线渐近线的对称点满足
3、（为坐标原点）,则的离心率为（ ）A. B. C. D. 11.三棱锥的各顶点均在球上，为该球的直径，,三棱锥的体积为，则球的表面积为（ ）A. B. C. D. 12.锐角中，为角所对的边，点为的重心，若，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 二填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.边长为的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值，这个定值等于，将这个结论推广到空间是：棱长为的正四面体内任一点到各面距离之和等于_ 14. 的值等于_15. 已知，满足，且目标函数的最大值为7，最小值为4，则 _ 16.已知过抛物线的焦点且垂直于轴的直线与抛物线相交于两点，动直线与抛物线相交
4、于两点，若,则直线与圆相交所得最短弦的长度为_三解答题：本大题共6小题，共70分.17. 已知数列满足，（1）证明数列为等比数列，求出的通项公式；（2）数列的前项和为,求证:对任意，.18如图，在三棱锥中，底面，为的中点（1）求证：；（2）若二面角的大小为，求三棱锥的体积19. 某高校在2020年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组得到的频率分布直方图如图所示（1）分别求第3，4，5组的频率；（2）若该校决定在第3，4，5 组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，已知学生甲和学生乙的成绩均在第3组，求学生甲和学生乙同时进
5、入第二轮面试的概率；根据直方图试估计这100名学生成绩的平均分（同一组中的数据用改组区间的中间值代表）20.已知椭圆，为椭圆的左、右焦点，点在直线 上且不在轴上，直线与椭圆的交点分别为和，为坐标原点.（1）设直线的斜率为，证明：；（2）问直线上是否存在点，使得直线的斜率满足？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由.21.已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）设，若对任意的恒成立，求整数的最大值；（3）求证：当时，.选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数），直线的方程为，以坐标原点为极点，
6、轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）曲线和直线交于两点，若,求的值.23. （本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知函数 （1）若，求不等式的解集；（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围唐山一中2020届高三冲刺卷（一）高三数学理科答案一、 选择题DCACC BDCAB DB二、 填空题13、 14. 2 15. 16. 三、解答题17. 解析：（1）由有数列是首项为，公比为的等比数列. -6分（2） (9分) 12分18解析：(1)在ABC中，由余弦定理得BC2416224cos 12028，则BC2.因为D为BC的中点，则BDCD.(2分)因为所以AD.(4分
7、)因为AB2AD2437BD2，则ABAD.因为PA底面ABC，则PAAD，所以AD平面PAB，从而ADPB.(6分)(2)解法一：因为AD平面PAB，过点A作AEPB，垂足为E，连结DE.则DEPB，所以AED为二面角APBC的平面角(8分)在RtDAE中，由已知，AED45，则AEAD.(9分)在RtPAB中，设PAa，则PB.(10分)因为ABAPPBAE，则2a，即4a23(4a2)，解得a212，所以PAa2.(11分)所以VPABCSABCPA24sin 12024.(12分)解法二：分别以直线AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图设PAa，则点B(2，0，0)
8、，D(0，0)，P(0，0，a)所以(2，0)，(2，0，a)(8分)设平面PBC的法向量为m(x，y，z)，则即取x，则y2，z，所以m.(9分)因为n(0，1，0)为平面PAB的法向量，则|cosm，n|cos 45，即.所以，解得a212，所以PAa2.(11分)所以VPABCSABCPA24sin 12024.(12分)19. 解析：（1）第3组的频率为 ；第4组的频率为 ；第5组的频率为 -4分（2）按分层抽样的方法在第3、4、5组中分别抽取3人、2人、1人。 第3组共有，设“学生甲和学生乙同时进入第二轮面试”为事件 ，学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率为 -8分. -12分20
9、.解析：（1）设，则，因为点不在轴上，所以，又因为，所以.-4分21.解析：（1） 若，则，函数在上单调递增； ，由得，由得，则函数在上单调递增，在上单调递减.-4分（2）若，则，所以不满足恒成立. 若，由（1）可知，函数在上单调递增，在上单调递减.所以，又恒成立.即 -6分设，则.因为函数在上单调递增，且.所以存在唯一的，使得.当时，当时，.所以，解得，又.所以，整数的最大值为. -8分（3）由（2）可知，时，.12分22.解：（1） 所以曲线的极坐标方程为. （2）设直线的极坐标方程为，其中为直线的倾斜角，代入曲线得设所对应的极径分别为. 满足或 的倾斜角为或，则或. 23. 解：（1）5分（2）10分
