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1、南通市2014届高三第二次调研测试数学学科参考答案及评分建议高考资源网一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分请把答案直接填写在答题卡相应位置上1 已知集合,则 【答案】2 某学校有8个社团,甲、乙两位同学各自参加其中一个社团,且他俩参加各个社团的可能性相同,则这两位同学参加同一个社团的概率为 【答案】3 复数(其中i为虚数单位)的模为 【答案】4从编号为0,1,2,79的80件产品中,采用系统抽样的 (第5题)方法抽取容量是5的样本,若编号为28的产品在样本中,则该样本中产品的最大编号为 【答案】765 根据如图所示的伪代码,最后输出的的值为 【答案】486 若,则a的取值范围是
2、【答案】7 若函数为奇函数,其图象的一条切线方程为,则b的值为 【答案】8. 设l,m表示直线,m是平面内的任意一条直线则“”是“”成立的 条件(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个) 【答案】充要9 在平面直角坐标系xOy中,设是半圆:()上一点,直线的倾斜角为45,过点作轴的垂线,垂足为,过作的平行线交半圆于点,则直线的方程是 【答案】10在ABC中,D是BC的中点,AD8,BC20,则的值为 【答案】3611设x,y,z是实数,9x,12y,15z成等比数列,且,成等差数列,则的值是 【答案】12设是函数的一个零点,则函数在区间内所有极值点之和为 【
3、答案】13 若不等式(mx1)3m 2( x + 1)m10对任意恒成立,则实数x的值为 【答案】114设实数a,b,c满足a2b2 c1,则abc的最小值为 【答案】二、解答题:本大题共6小题,共90分请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15(本小题满分14分)在ABC中,已知求:(1)AB的值;(2)的值【解】(1)(方法1)因为, 4分所以,即, 亦即,故 7分(方法2)设A,B,C的对边依次为a,b,c,则由条件得 3分两式相加得,即,故 7分(方法3)设A,B,C的对边依次为a,b,c,则由条件得 3分由余弦定理得,两式相加得,故 7分(2) 10分由
4、正弦定理得 14分16(本小题满分14分) PABCDE(第16题)在四棱锥PABCD中,ABDC,AB平面PAD, PDAD,AB2DC,E是PB的中点求证:(1)CE平面PAD;(2)平面PBC平面PAB【证】(1)(方法1)取PA的中点F,连EF,DF 2分因为E是PB的中点,所以EF / AB,且因为ABCD,AB2DC,所以EFCD, 4分,于是四边形DCEF是平行四边形, 从而CEDF,而平面PAD,平面PAD,PABCDE(第16题)FM故CE平面PAD 7分(方法2)取AB的中点M,连EM,CM 2分因为E是PB的中点,所以EM / PA因为ABCD,AB2DC,所以CM /
5、AD 4分因为平面PAD,平面PAD,所以EM平面PAD同理,CM平面PAD 因为,平面CEM, 所以平面CEM平面PAD而平面PAD,故CE平面PAD 7分 (2)(接(1)中方法1)因为PDAD,且F是PA的中点,所以 因为AB平面PAD,平面PAD,所以 10分 因为CEDF,所以,因为平面PAB,所以平面PAB 因为平面PBC,所以平面PBC平面PAB 14分 17(本小题满分14分)为了净化空气,某科研单位根据实验得出,在一定范围内,每喷洒1个单位的净化剂,空气中释放的浓度y(单位:毫克/立方米)随着时间(单位:天)变化的函数关系式近似为若多次喷洒,则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次
6、投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和由实验知,当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时,它才能起到净化空气的作用(1)若一次喷洒4个单位的净化剂,则净化时间可达几天? (2)若第一次喷洒2个单位的净化剂,6天后再喷洒a()个单位的药剂,要使接下来的4天中能够持续有效净化,试求的最小值(精确到0.1,参考数据:取1.4)【解】(1)因为一次喷洒4个单位的净化剂,所以浓度则当时,由,解得,所以此时 3分当时,由解得,所以此时综合得,若一次投放4个单位的制剂,则有效净化时间可达8天 7分(2)设从第一次喷洒起,经x()天,浓度 10分因为,而,所以,故当且仅当时,y有最小值为.令,解得,所以
7、a的最小值为 14分18(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy中,设曲线C1:所围成的封闭图形的面积为,曲线C1上的点到原点O的最短距离为以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为C2(1)求椭圆C2的标准方程;(2)设AB是过椭圆C2中心O的任意弦,l是线段AB的垂直平分线M是l上的点(与O不重合)若MO2OA,当点A在椭圆C2上运动时,求点M的轨迹方程;若M是l与椭圆C2的交点,求AMB的面积的最小值【解】(1)由题意得 又,解得, 因此所求椭圆的标准方程为 4分(2)设,则由题设知:,即 解得 8分因为点在椭圆C2上,所以,即,亦即所以点M的轨迹方程为 10分 (方法1)设,则,因为点
8、A在椭圆C2上,所以,即 (i)又 (ii)(i)+(ii)得, 13分所以.当且仅当(即)时,. 16分(方法2)假设AB所在的直线斜率存在且不为零,设AB所在直线方程为ykx(k0)解方程组 得, 所以,.又 解得,所以 12分(解法1)由于,当且仅当时等号成立,即k1时等号成立,此时AMB面积的最小值是SAMB 15分 当k0,SAMB; 当k不存在时,SAMB综上所述,AMB面积的最小值为 16分(解法2)因为, 又,于是,当且仅当时等号成立,即k1时等号成立(后同方法1)19(本小题满分16分) 设数列an的首项不为零,前n项和为Sn,且对任意的r,tN*,都有 (1)求数列an的通
9、项公式(用a1表示); (2)设a1=1,b1=3,求证:数列为等比数列; (3)在(2)的条件下,求【解】(1)因为,令,则,得,即 2分当时,且当时,此式也成立故数列an的通项公式为 5分(2)当时,由(1)知,Snn2依题意,时, 7分于是,且,故数列是首项为1,公比为2的等比数列 10分(3)由(2)得,所以 12分于是 15分所以 16分20(本小题满分16分)设函数,其图象与轴交于,两点,且x1x2(1)求的取值范围;(2)证明:(为函数的导函数);(3)设点C在函数的图象上,且ABC为等腰直角三角形,记,求的值【解】(1)若,则,则函数是单调增函数,这与题设矛盾 2分所以,令,则
10、当时,是单调减函数;时,是单调增函数;于是当时,取得极小值 4分因为函数的图象与轴交于两点,(x1x2),所以,即.此时,存在;存在,又由在及上的单调性及曲线在R上不间断,可知为所求取值范围. 6分(2)因为 两式相减得 记,则, 8分设,则,所以是单调减函数,则有,而,所以又是单调增函数,且所以 11分(3)依题意有,则于是,在等腰三角形ABC中,显然C = 90, 13分所以,即,由直角三角形斜边的中线性质,可知,所以,即,所以,即 因为,则,又,所以, 15分即,所以 16分南通市2014届高三第二次调研测试数学(附加题) 21A选修41:几何证明选讲BDCAPE(第21A题)如图,ABC内接于圆O,D为弦BC上一点,过D作直线DP/AC,交AB于点E,交圆O在A点处的切线于点P求证:PAEBDE【证明】因为PA是圆O在点A处的切线,所以PABACB 因为PDAC,所以EDBACB,所以PAEPABACBBDE又PEABED,故PAEBDE 10分21B选修42:矩阵与变换已知二阶矩阵M有特征值及对应的一个特征向量,且M求矩阵M【解