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1、点和直线的有关对称问丿要：对称问题是中学数学的一个重要知识点，也是 近几年高考中的热点，主要有点、直线、曲线关于 点和直线对称两种。中点坐标公式或两条直线垂直 的条件是解决对称问题的重要工具。解析几何中的 中心对称和轴对称问题最终都可以归结为关于点 的对称问题加以解决。关键词:点；直线；中心对称；轴对称对称思想是近几年高考中的热点,它主要分为中 心对称和轴对称两种，解对称问题要把握对称的实 质,掌握其解题方法,提高解题的准确性和解题的 速度,它主要有以下几种情况：(一) 中心对称1.点关于点对称2.直线关于点对称例1:求直线x+y-2=0关于点P (a, b)对称的直线方程.分析一:在已知直线
2、上Z任取两点A.B,再分别求 出A、B关于P点的对称点心、B，然后由两点式 可得所求直线方程.解:在直线x+y-2=0上取两点A(0,2)、B(l, 1), 则它们关于P (a, b)对称的点分别为A7 (2a, 2b-2). B(2a-l,2b-l),由两点式得所求直 线为：分析二:中心对称的两条直线是互相平行的，并 且这两条直线与对称中心的距离相等.解:设所求直线方程为x+y+入=0,则点评:方法三为相关点法,是求曲线方程的一种 常用方法,可进一步推广：曲线C:f(x, y)=0关于点 P (a, b)对称的曲线C的方程为f (2a-x, 2b-y) =0. 特别的，曲线f (x,y)=0
3、关于原点对称的曲线方程 为：f (-X, -y) =0.(二) 轴对称1.点关于直线对称例2:M(-1,3)关于直线:x+y-l=O的对称点M的 坐标.解二:过点M(-1,3)与直线1垂直的直线的斜率k=l,则直线方程为x-y+4=0.设M关于直线1的对称点为W，则E为线段 MM7的中点，由中点坐标公式知:M的坐标为 (-2, 2)解三:设W (a,b),线段MM的垂直平分线上的 任意一点为A(x, y)VMA=MZ A , (x+1)2+ (y-3) 2= (x-a)2+ (y-b)2这就是已知直线1的方程故点W的坐标为(-2, 2)2.直线关于直线对称例3:求直线a: 2x+y-4=0关于
4、直线1 :3x+4y-l=0对称的直线b的方程.求直线11: 2x-y+3=0关于直线1 : 2x-y+4=0 对称的直线12的方程.分析:由平面几何知识知，若a、b关于直线1对 称,则应具有以下性质:当a、b相交时，则对称轴 是a、b交角的平分线(且通过交点)；当a、b平行 时，则a、b与对称轴的距离相等若点A在直线 a上，则点A关于直线1的对称点B一定在直线b上，并且AB丄1 ;AB的中点在1上解一:由2x+y-4=03x+4y-1=0 得 a 与 1 的交点 E 为(3 ,2 )则E (3, -2) 一定在b上，设b的斜率为k,于是(三) 特殊的对称关系点(a, b)关于x轴的对称点为(a, -b)；点(a, b)关于y轴的对称点为(-a, b)；点(a, b)关 于原点的对称点为(-a, -b)；点(a, b)关于直线y=x 的对称点为(b, a)；点(a, b)关于直线y=x+m的对称 点为(b-m, a+m)；点(a, b)关于直线y=-x+m的对称 点为(m-b, m-a).
