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1、第一章物体的平衡竞赛测试题时间：150分钟总分：150分1、（15分）如图所示，四个半径为r的匀质球在光滑的水平面上堆成锥形。下面三个球用绳 缚住，绳与三个球心在同一水平面内。如各球均重P，求绳内张力。忽略上面未放球前，绳 内已有的初始张力。2、（15分）质量分别为m和M的两个小球用长度为L的轻杆连接，并按图所示位置那样处 于平衡状态，杆与棱边缘之间的摩擦因数为U，小球m与竖直墙壁之间的摩擦力可以不计。 为达到图示的平衡状态，参数m、M、阳L、d、a应满足什么条件？3、（20分）三根圆木如图所示，堆放在水平地面上，它们之间以及与地面之间的摩擦系数u 相同。三根圆木的半径和质量相同，试确定保持平
2、衡所需的静摩擦系数的最小值。三根 圆木质量相同，下面两根半径为R，上面一根半径为r。设静摩擦系数u=0.5，求保持不稳 所需r/R的比值。4、（20分）半径为R、质量为M1的均匀圆球与一质量为M2的重物分别用细绳AD和ACE悬挂于 同一点A，并处于平衡，如图所示。已知悬点A到球心O的距离为L，不考虑绳的质量和绳 与球心的摩擦，试求悬挂圆球的绳AD与竖直方向AB的夹角。第1题图第2题图第3题图第4题图5、（20分）如图所示，匀质圆柱体夹在木板与竖直墙之间，其质量为m，半径为R，与墙和 木板间的动摩擦因数为u，板很轻，其质量可以忽略。板的一端O与墙用光滑铰链相连， 另一端A挂有质量为m的重物，OA
3、长为L，板与竖直夹。角，。=53，试问，m至 少需要多大才能使系统保持平衡？并对结果进行讨论。6、（30分）由重量可以忽略的轻杆组成的一种对称的支架结构，如图所示，这里构件FC、 AD和EB交叉但不接触，其它结点都用光滑轴连结在一起，现将此支架放于竖直平面内， 在AC两点支起，而在B点施竖直向下的力W。试求各杆所受内力的大小？7、（30分）等重的两小木块由一根不可伸长的轻绳相连，放在倾角为a的斜面上。两木块与 斜面的静摩擦系数分别为U和u2，已知口2，tan a =.u 1 u2。求绳子与斜面上的最大 倾斜线（图中虚线）之间的夹角。应满足什么条件，它们才能在斜面上保持静止。第5题图第6题图第7
4、题图试题参考答案1、解：四个球的球心构成正四面体，如图1所示，由几何关系可得：。二十r，以上面球为研究对象，下面三个球对上面球的作用力大小相等，设为N，则：3N蒙=G，所以：N = G36以下面三球中一个球o4为研究对象。设所受的橡皮条的拉力分别为F=f2=f，此二力的合 力必过圆心，其大小为：F=f3F。其受力如图2所示。此球在竖直平面内的力如图所示。 所以有：F=n3F = 2n = 2史G，解得：F = Wg336182、解：受力分析如图所示，根据力的平衡条件可列出:N cos a + F sin a = (M + m) g N sin a + N - F cos a 由式可得：F =m
5、杆不滑动的条件为：Fm RN(M + m) g - N cos asin a(M + m) g - N cos a，所以J邮sin a即：(M + m) g 0，所以由式可得：mgd Mg (L cos a d)m L-整理得：1 + cos aM dL 一 m L _由、两式可得：一 cos a 1 +v cos2 a (cos a + 日 sin P)dM d由上式可得：4 cos a 1 d d所以：旦tan aL 一 m L一综上所述，物体处于平衡状态的条件是：3cosa 1 + N1，因此先达到临界条件的是卜 当三圆木半径相等时，a = 60。在水平方向：N1 cos a = /1s
6、in a + f2，可得：h = f = 0.268N1R(R + r)2 - R2(2)当三圆木半径不相等时，cos a =，sin a =R + rR + rv( R + r )2 R 2R在水平方向：N cosa = f sina + f，即 f + f = N -一1121 R + r21 R + rh =，整理可得：； N1R + r +,(R r)2 R 2R 4N必过圆心。4、解：分析图中几何关系可得：F=F,=G，则N = 2F sin* = 2mgsin# , 1 2 1222*OQ与过圆心o的力的三角形相似，所以装=当AQ OQ在NAOQ中，由正弦定理得:AQ = OQ =
7、 Lsin(T sin e sin(90+9在AAOE中，sin(e + P) = LRm由上述整理得：sin e = 2一-L(m + m )说明：如果以A点为转动轴，列力矩平衡的方程，解答变得更简单。11125、圆柱体受力图如图所示。以圆柱中心为轴可得：f、= f2以f、f的交点为轴列力矩平衡方程：mgR + N R cot(e) = N R cot(?)121222所以N1 N2，因此圆柱先与木板打滑。所以。哩由竖直方向物体平衡可得：mg + N 2sin卜匕+人* e由上两式得：N2 =mg日 + 日 cos e - sin e.9对木板以O点为轴列平衡方程可得：m gLsin9 =
8、N2Rcot(-)25 Rm8L(2p 1)整理上式并代入数据得：m9mR cot?)L sin(日 + 日 cos 9 sin 9)上式分析可得：2 1 0,即必须满足:则在结点E处有:,A6、解：设 Feb=FFDE=FEF分析D点可知：七。=FEDFCDT( Fed +Fad)=F根据对称性可知：Fcf=FEFFAF分析结点C,在水平方向:F2 CF-拓F 2 BC，竖直方向：RC=FCD2厂 1厂T Fcf + 2 Fbc又因：R = W，F = FC 2 CDFCF代入上面各式中可得各杆内力:Fde=Fef=Fad=Fcf F = 2 日日 mg cosa = 2mg sin a1
9、2121 2(1)在斜面所在平面内分析2物体，2物体所受重力没斜面的分力为mg sin a是定值。在下图1中取为OC，以O为圆心，以所受最大摩擦力为半径做圆，圆的半径必小于OC，要保证2物体静止，2物体所受静摩擦力不可能大于最大静摩擦，当达到最大静摩擦且与线MN所成角e。最大，此种情况下sin e。旦 mg cos a=2mg sin a=u cot a =，-2-2W1在这种情况下，如果1物体所受的摩擦力小于其最大静摩擦，则杆与最大倾斜线的最大 夹角为e。；如果1物体所受的摩擦力大于其最大静摩擦，则杆与最大倾斜线的最大夹角小 于e。0此种情况下，1物体受力图如下图所示，因为杆对1物体的力与杆
10、对2物体的力相等且 所向，所以在做1物体所受杆的力时，可以在C下方做与O对称的圆，处长AC与圆相交 于B，BC可表示杆对1物体的力。物体1与物体2沿斜面的分力相等，所以在下图中将物 体2的受力图做在图1中左边，与物体2的受力图共用一边，则杆的弹力：IjT = ；(mg sin a )2 (u mg cos )2 = mg cos a；uu - u 20 i11 22物体 1 所受的摩擦力 f = Jt2 + (mg sin a)2 + 2T mg sin a cose10整理上式得：f2 = (mg cos a)2(4u u2 - 3u 2)已知物体1所受的最大静摩擦力：f1m = u1 mg
11、 cosa当 f10 3u2 时，最大夹角e= arcsin J土 *1若f10 f1m时，即 3%时，最大夹角需重新求解。(2)另一种情况是两物体同时达最大静摩擦力(注意：不可能出现1物体达到最大静摩擦 力而物体2没有达到最大静摩擦力的情况)这种情况的做图与第一种情况相似，如下图2所示。在力三角形AACO与kCBO中可得：(u mg cos a )2 = (mg sin a )2 + T 2 2mg sin a - T cos e(u mg cos a)2 = (mg sin a)2 + T2 + 2mg sin a - T cose两式相加得：T 2 =加：+叩(mg cosa)2-(mg，又帅=耳再则:两式相减得：4mg sin a - T cos 0 = (p; - p 2)( mg cos a )22 (p p ) 将T值代入，且tana= ,pp，所以cos0=j。1 24抻尸2综上所述：当pi 3p2时，最大夹角为：0 = arcsinjE2 *1当p v 3p时，最大夹角为：cos0 = 2(p1_p2)124、,： pi p 2说明：本题的做图法很有特点，这样做图简单明了，使问题得到简化。图2
