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1、 等差数列高考试题考点一 等差数列的概念与性质1.(2013年辽宁卷,文4)下面是关于公差d0的等差数列an的四个命题:p1:数列an是递增数列;p2:数列nan是递增数列;p3:数列是递增数列;p4:数列an+3nd是递增数列.其中的真命题为()(A)p1,p2(B)p3,p4(C)p2,p3(D)p1,p4解析:因为d0,所以数列an是递增数列,p1为真命题;若等差数列为-10,-9,-8,则1a12a2,所以p2为假命题;若等差数列为1,2,则=1, =,所以p3为假命题;又因为an+1+3(n+1)d-(an+3nd)=an+d+3nd+3d-an-3nd=4d0,所以p4为真命题,故
2、选D.答案:D2.(2012年辽宁卷,文4)在等差数列an中,已知a4+a8=16,则a2+a10等于()(A)12(B)16(C)20(D)24解析:由等差数列的性质,若m+n=p+q(m,n,p,qN*),则am+an=ap+aq,得a4+a8=a2+a10=16.故选B.答案:B3.(2010年大纲全国卷,文6)如果等差数列an中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+a7等于()(A)14(B)21(C)28(D)35解析:a3+a4+a5=12,a4=4,a1+a2+a7=7(a1+a7)=7a4=28.故选C.答案:C4.(2011年重庆卷,文1)在等差数列an中,a2=2,a3
3、=4,则a10等于()(A)12(B)14(C)16(D)18解析:在等差数列an中,公差d=a3-a2=4-2=2,则a10=a2+8d=2+16=18.故选D.答案:D5.(2010年重庆卷,文2)在等差数列an中,a1+a9=10,则a5的值为()(A)5(B)6(C)8(D)10解析:在等差数列an中,由性质可直接得a1+a9=2a5,所以a5=5,故选A.答案:A6.(2009年辽宁卷,文3)an为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0,则公差d等于()(A)-2(B)-(C)(D)2解析:a7-2a4=a3+4d-2(a3+d)=2d=-1,d=-.故选B.答案:B7.(2013
4、年重庆卷,文12)若2,a,b,c,9成等差数列,则c-a=.解析:设等差数列的公差为d,则9=2+4d,d=.故c-a=2d=.答案:8.(2012年北京卷,文10)已知an为等差数列,Sn为其前n项和,若a1=,S2=a3,则a2=,Sn=.解析:设等差数列an的公差为d,S2=a3,2a1+d=a1+2d,a1=d.又a1=,d=,a2=a1+d=1,Sn=na1+=n2+n.答案:1n2+n9.(2011年天津卷,文11)已知an是等差数列,Sn为其前n项和,nN*.若a3=16,S20=20,则S10的值为.解析:设等差数列首项为a1,公差为d,由题意可得解得S10=10a1+109
5、d=1020+109(-2)=110.答案:11010.(2011年辽宁卷,文15)Sn为等差数列an的前n项和,S2=S6,a4=1,则a5=.解析:由S2=S6得a3+a4+a5+a6=0,由等差数列性质a3+a6=a4+a5,2(a4+a5)=0,1+a5=0,a5=-1.答案:-111.(2010年辽宁卷,文14)设Sn为等差数列an的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9=.解析:设等差数列公差为d,则S3=3a1+d=3a1+3d=3,即a1+d=1,S6=6a1+d=6a1+15d=24,即2a1+5d=8,联立两式得a1=-1,d=2,故a9=a1+8d=-1+82=15.答
6、案:1512.(2009年山东卷,文13)在等差数列an中,a3=7,a5=a2+6,则a6=.解析:设等差数列的公差为d,首项为a1,则解得所以a6=a1+5d=13.答案:1313.(2012年湖北卷,文20)已知等差数列an前三项的和为-3,前三项的积为8.(1)求等差数列an的通项公式;(2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列|an|的前n项和.解:(1)设等差数列an的公差为d,则a2=a1+d,a3=a1+2d,由题意得解得或所以由等差数列通项公式可得an=2-3(n-1)=-3n+5,或an=-4+3(n-1)=3n-7.故an=-3n+5,或an=3n-7.(2)当an=-3
7、n+5时,a2,a3,a1分别为-1,-4,2,不成等比数列;当an=3n-7时,a2,a3,a1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件.故|an|=|3n-7|=记数列|an|的前n项和为Sn.当n=1时,S1=|a1|=4;当n=2时,S2=|a1|+|a2|=5;当n3时,Sn=S2+|a3|+|a4|+|an|=5+(33-7)+(34-7)+(3n-7)=5+=n2-n+10.当n=2时,满足此式.综上,Sn=14.(2010年山东卷,文18)已知等差数列an满足:a3=7,a5+a7=26,an的前n项和为Sn.(1)求an及Sn;(2)令bn= (nN*),求数列bn的前n项
8、和Tn.解:(1)设等差数列an的首项为a1,公差为d,由于a3=7,a5+a7=26,所以a1+2d=7,2a1+10d=26,解得a1=3,d=2.所以an=a1+(n-1)d=2n+1,Sn=na1+d=n2+2n.(2)因为an=2n+1,所以-1=(an-1)(an+1)=4n(n+1),因此bn=(-).故Tn=b1+b2+bn=(1-)+(-)+(-)=(1-)=.所以数列bn的前n项和Tn=.考点二 等差数列的通项和前n项和公式1.(2013年安徽卷,文7)设Sn为等差数列an的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9等于()(A)-6(B)-4(C)-2(D)2解析:由S8
9、=4a3得=4a3,即a1+a8=a2+a7=a3,所以公差d=a3-a2=a7=-2,a9=a7+2d=-2+(-4)=-6.故选A.答案:A2.(2013年陕西卷,文17)设Sn表示数列an的前n项和.(1)若an为等差数列,推导Sn的计算公式;(2)若a1=1,q0,且对所有正整数n,有Sn=.判断an是否为等比数列,并证明你的结论.解:(1)设an的公差为d,则Sn=a1+a2+an=a1+(a1+d)+a1+(n-1)d,又Sn=an+(an-d)+an-(n-1)d,2Sn=n(a1+an),Sn=.(2)当n=1时,S1=1.当n=2时,S2=1+q,a1+a2=1+q,a2=q
10、.当n=3时,S3=1+q+q2,a1+a2+a3=1+q+q2,a3=q2;初步断定数列an为等比数列.证明如下:Sn=,an+1=Sn+1-Sn=-=qn.a1=1,q0,当n1时,有=q,因此,an是首项为1且公比为q的等比数列.3.(2010年新课标全国卷,文17)设等差数列an满足a3=5,a10=-9.(1)求an的通项公式;(2)求an的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值.解:(1)由an=a1+(n-1)d及a3=5,a10=-9得可解得所以数列an的通项公式为an=11-2n(nN*).(2)法一由(1)知,Sn=na1+d=10n-n2.因为Sn=-(n-5)2+25,
11、所以当n=5时,Sn取得最大值.法二由(1)知Sn=na1+d=10n-n2,an=11-2n令an=0得n=5.5,a5=1,a6=-1,所以数列an前5项都为正数,从第6项起都是负数,因此Sn的最大值是S5,S5=25.故当n=5时,Sn取得最大值.4.(2010年浙江卷,文19)设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列an的前n项和为Sn,满足S5S6+15=0.(1)若S5=5,求S6及a1;(2)求d的取值范围.解:(1)由题意知S6=-3,a6=S6-S5=-8,所以解得a1=7,d=-3.所以S6=-3,a1=7.(2)因为S5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a
12、1+15d)+15=0,即2+9da1+10d2+1=0.故(4a1+9d)2=d2-8,所以d28,故d的取值范围为d-2或d2.来源:考点三 等差数列的综合应用1.(2012年四川卷,文12)设函数f(x)=(x-3)3+x-1,an是公差不为0的等差数列,f(a1)+f(a2)+f(a7)=14,则a1+a2+a7等于()(A)0 (B)7(C)14(D)21解析:an是公差不为0的等差数列,且f(a1)+f(a2)+f(a7)=14,(a1-3)3+a1-1+(a2-3)3+a2-1+(a7-3)3+a7-1=14,(a1+a2+a3+a7)-7=14,来源:a1+a2+a3+a7=2
13、1.故选D.答案:D2.(2011年湖北卷,文9)九章算术“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为()(A)1升(B) 升(C)升(D)升解析:设自上而下各节容积成等差数列的公差为d,首节容积为a1,则由已知得解得第5节容积为a1+4d=(升).故选B.答案:B3.(2011年陕西卷,文10)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10米.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边.现将树坑从1到20依次编号,为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小,树苗可以放置的两个最佳
14、坑位的编号为()(A)和(B)和(C)和(D)和解析:设树苗放置在第n个坑,则各位同学从各自树坑前来领树苗所走的总路程为s=201+2+3+(n-1)+201+2+3+(20-n)=20+=20=20(n2-21n+210),对称轴为n=10.5,又nN*,n=10或11.故选D.答案:D模拟试题考点一 等差数列的概念与基本运算1.(2013山师大附中模拟)设等差数列an的前n项和为Sn,a2、a4是方程x2-x-2=0的两个根,S5等于()(A)(B)5 (C)-(D)-5解析:因为a2、a4是方程x2-x-2=0的两个根,所以a2+a4=1.又S5=.故选A.答案:A来源:数理化网2.(20
