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1、圆锥曲线综合训练题、求轨迹方程:.AB-AC=3BC5即AB-AC=6(*)1、（1）已知双曲线C与椭圆C:x2y2=1有公共的焦点，并且双曲线的离心率e与椭圆的1236491离心率e之比为7，求双曲线C的方程.231（2）以抛物线y2二8x上的点M与定点A（6,o）为端点的线段MA的中点为P,求P点的轨迹方程.点A的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）V2a=6,2c=10a=3,c=5,b=4）解：C1的焦点坐标为（，土13），2=13e713由1=得e=c设双曲线的方程为7e3132x2y2所求轨迹方程为-让=1（x3）916a2b2=13解得a2=9,b2=4双曲线的方程为再-=1点评：要注
2、意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）3、如图，两束光线从点M（-4,1）分别射向直线y=-2上两点P（x1，y1）和Q（x2，y2）后1反射光线恰好通过椭圆C：解：设点M（Xo,yo），P（X，y），则02y02x=2x-60y=2y0x2-x1=5，求椭圆C的方程.解：设a=2k,c=k,kO,代入y2=8x得：y2=4x-12.此即为点P的轨迹方程.002、（1）AABC的底边BC=16,AC和AB两边上中线长之和为30,建立适当的坐标系求此三3角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹.（2）ABC中，B（-5,0）,C（5,0）,且sinC-sinB=、sinA,求
3、点A的轨迹方程./b0）的两焦点,有b=6,故其方程为+=1（y丰0）.设A，y）,Gy）,则10036+=1（y丰0）由题意有10036其轨迹是椭圆（除去x轴上两点）._x=3代入，得A的轨迹方程为y9003y2324=1（y丰0）,（2）分析：由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R（R为外接圆半径），可转化为边长的关系.解:sinC-sinB=sinA2RsinC-2RsinB=2RsinA由、解得：k=1,11x1=-5x2=-1,所求椭圆C的方程为:244、在面积为1的APMN中，tanM=2,tanN=-2,建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点且过P点的椭圆
4、方程.解：以MN的中点为原点，MN所在直线为x轴建立直角坐标系,设P（x,y）.所求椭圆方程为4x2y2=1153yx-cyxccy=1.=-2,5x=3c43r口丿y=c且c=32pg.f254.r15+1,1512a23b2a2,12a3b得,43a2-b2=_,b23.4I5、已知点P是圆x2+y2=4上一个动点，定点Q的坐标为(4，0)(1)求线段PQ的中点的轨迹方程；(2)设ZPOQ的平分线交PQ于点R(O为原点)，求点R的轨迹方程由OPOQ0,即OP(x,y),OQ(x,y),于是xx+yy0,11221212即k2(y-1)(y-1)+yy0,(k2+1)yy-k2(y+y)+k
5、20,121212124k(k2+1)一k24k+k20,解得k-4或k0(舍去)，又kf直线l存在-其方程为x丨4%解：(1)设线段PQ的中点坐标为M(x,y),由Q(4,0)可得点P(2x-4,2y),代入圆的方程x2+y2=4可得(2x-4)2+(2y)2=4,整理可得所求轨迹为(x-2)2+y2=1.|OP|1(2)设点R(x,y),P(m,n),由已知IOPI=2,IOQI=4,.，由角平分线性质可y2x27、设双曲线-1的两个焦点分别为F、F,离心率为2.求此双曲线的渐近线/、Ia2.1212的方程；(II)若A、B分别为l、l上的点，且2IABI5IFFI,求线段AB的中点M的轨
6、迹1212方程，并说明轨迹是什么曲线；(III)过点N(1,0)能否作出直线l,使l与双曲线交于P、Q6、得IRQj=2，又.点R在线段PQ上,AIPRI=|RQI,A点R分有向线段PQ的比两点,且OPOQ0.若存在，求出直线l的方程；若不存在,解：(I)e2,c24a2说明理由.x为1，由定比分点坐标公式可得2,y1/m+2X42m+41+-2n+x021+丄2，即,2n，代入圆的方程x2+y2=4可得c2a2+3a1c23x-4m2，.点P的坐标为3yn一24丫3丿已知动圆过定点(1,0),且与直线x-1相切.(1)求动圆的圆心轨迹C的方程；是否存在+y2=19涉0).点R的轨迹方程为Ix
7、-316+y2=(y0).直线l,使l过点(0,1),并与轨迹C交于P,Q两点，且满足OPOQ0?若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.解:(1)如图，设M为动圆圆心，F(1,0),过点M作直线x1的垂线，垂足为N,由题意知：|MF|=|MN|,即动点M到定点F与定直线x-1的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线,其中F(1,0)为焦点,x-1为准线,动点R的轨迹方程为y24x(2)由题可设直线l的方程为xk(y-1)(k0),xk(y-1)由,得y2一4ky+4k0y24x16k2-160,k“-1或k1设P(x,y),Q(x,y),则y+y4k,yy4k11221212x
8、23双曲线方程为y2-31,渐近线方程为y丁x(II)设A(x,y),B(x,y),AB的中点MC,y)11222IABI5IFFI12.ABI5IFFI5x2c102122(xx)2+(yy)210121233x,2xx+x,2yy+y21212又y133() y+y(x-x),1231- 3(y+y)1+12y-y(x+x)123123(x+x)31272101x23y23(2y)2+严2100，即帀+看14分则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为103,短轴长为3(iii)假设存在满足条件的直线l设l：yk(x一1),l与双曲线交于P(x,y)、Q(x,y)1122103的椭圆.
9、(9分)由(i)(ii)得k2+3二0(ii)，P=OPOQ=0xx+yy=01212xx+k2(x-1)(x-1)=01212xx+k2xx-(x+x)+1=0(i)121212y=k(x-1)x2得(3k-1)x2-6k2x+3k2-3=0y2-=136k23k2-3则x+x=,xx=1 23k21123k21k不存在，即不存在满足条件的直线l.x2y28、设M是椭圆C:+；=1上的一点，P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的对称点,JL厶IN为椭圆C上异于M的另一点，且MN丄MQ,QN与PT的交点为E,当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程.解：设点的坐标M(x,y),N(x,y)(x
10、yb0)的左、右焦点分别是耳(c，0)、巧(c,0)，Q是椭圆a2b212外的动点，满足I件QI=2a.点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足cPT-TF=0,ITFIa,知a+x-c+a0，所以丨FPI=a+x.a1a证法二：设点P的坐标为(x,y).记IF1P1=EF2P=厂2,MN丄MQ，k-k=-1,kMNMQ即IFPI=cIx-a2I=Ia-cxI.aca由x一a,知a+Cxaxyy1,所以k=1.直线QN的方程为y=(x+x)-y，.叫1QN.3x,3x111x11_又直线PT的方程为y=-1x.从而得x=x,y=-y.所以x=2x,y=-2y.代入(1)可得y21211113+y2=1(xy0).设A、B关于L的对称点分别为A/、B/，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：A/则r=(x-c)2-y2,r=(x-c)2-y2.12c由r+r=2a,r2一r2=4cx,得IFPI=r=a+x.121211ac证法三：设点P的坐标为(x,y).椭圆的左准线方程为a+x=0.a由椭圆第二定义得丨F1PI,a2Ix+cc所以IFP1=a+x.1a(II)解法一：设点T的坐标为(x,y).当IPTI=0时，点(a,0)和点(一a,0)在轨迹上.当iPTIhO且ITF圧0时，由IPTIITF1=0,得PT丄TF.222又I
