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1、第一章二次根式1. 二次根式的定义：表示算术平方根的代数式叫做二次根式，形如qa(a0).2. (2013和2014)二次根式有意义的条件：被开方数A0；分式有意义的条件：分母w0.例：产;有意义的条件是2-x0,即x0且1xw0,即xw2且xw1.1-x3. (2013)求含字母的二次根式的值.例：当x=4时，求二次根式38-2x的彳1.错误解法：(1).2x=8-2X4=0;(2)寸2x=司82X(4)=4.正确解法：12x=82X(4)=4.注意：代入负数时一定要注意符号！4. (2013和2014)二次根式的性质:(1)(洞2=a(a0);(2) .a2=| a |a( a0)a( a
2、w 0)(3)牺=50,.若无法判定注意：性质(2)中，当平方在根号里时，开方后要加上绝对值，再根据去绝对值法则去绝对值绝对值里的数的符号时，应分类讨论.例：4(姆-2)2=h/2-2|=2-2(因为成一2是负数，所以去掉绝对值后等于它的相反数.)5. (2014)最简二次根式必须满足两个条件：(1)根号内不含分母；(2)根号内不含开得尽方的因数或因式例：下列式子中，属于最简二次根式的是()A.市C. V20D. 7001解析：B和D的根号内是分数，不是最简二次根式,110V20 = 4X 5 =275.故选 A.C的被开方数20含有开得尽方的因数4,也不是最简二次根式,6. (2013和20
3、14)二次根式的运算(考试必考，解答题21题)例：(1)*x乖(2)(73-1)2+2(73-1)(3)V32-V8(4)(V5+V3)2-(V5-V3)2注意：完全平方公式和平方差公式.(a土b)2=a22ab+b2;(a+b)(ab)=a2b2.11（52）7 .分母有理化：例：曰=（百2）丫（市+2）=用2.技巧：利用分数的性质，分子分母同乘以一个式子，使分母可以用平方差公式计算8 .利用题目中的隐含条件一一二次根式被开方数0解题.例1:已知y=在二！+产方+3,则x=.分析：根据二次根式被开方数0得,2x-1R。且12x2即x0且xw,所以x=T2;例2：化简q（32x）2（后三）2原
4、式=|3-2x|-（2x-5）,要去掉|32x|的绝对值，必须知道3-2x的符号，由于隐含条件2x-50,即x5,所以3-2x2=和,因为/6于8寸25,即4巾8/b2_4ac0,方程有两个不相等的实数根;当b2-4ac=0,方程有两个相等的实数根；当b24acv0,方程没有实数根.例：若关于x的一元二次方程(k1)x22x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是分析：因为两个不相等的实数根，所以=b2-4ac0,即(一2)24(k1)X10,解得k2;又因为一元二次方程的二次项系数w0,即kw1;所以k0.解：b24ac=m24X1X(m2)=m24m+8=m24m+4+4=(m2)2
5、+4因为(m2)20,所以(m2)2+40,即b2-4ac0.注意：证明一个代数式大于0,要利用配方，根据平方的非负性证明.同时注意书写格式！0只能在最后出现，证明过程中千万不要出现.5 .一个二次三项式ax2+bx+c是完全平方式的条件：b24ac=0.特别的，若二次项系数为1时，满足一次项系数一半的平方等于常数项时，也是完全平方式；例：若4x2+8(n+1)x+16n是关于x的完全平方式，则满足b24ac=0,即8(n+1)24X4X16n=0.6 .一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)：xI+x2=x1x2=5.aa例：若x=2为一元二次方程x2-2x-m=0的一个根，则m=,另一个根
6、为.分析：把x=2代入方程即可解得m的值.在求另一个根时，有两种方法，一种方法是把m的值代入方程，解方程即可；另一种方法是利用韦达定理xI+x2=也可知两根之和等于2,所以另一个根为4.a7 .利用韦达定理求值时，几种常见的变形(把代数式变形成由x1+x2和x1x2组成)：(1) x12+x22=x2+2x1x2+x222x1?x2=(x1+x2)22x1x2(利用完全平方公式变形)(2) x12x2+x1x22=x1x2(x1+x2)(利用提公因式法因式分解)(3) (x1x2)2=x2+&22x1？x2=(x1+x2)24x1x2(利用完全平方公式变形)x1x2x12+x22(x1+x2)
7、22x1x2(4) 豆+=xx2=xx(利用通分和元全平方公式变形)注意：一定要理解记忆，不能死记！8. 若一个一元二次方程的两个根为x1、x2,则该一元二次方程可以写成(x-x1)(x-x2)=0,若再规定二次项系数为a,则该一元二次方程可以写成a(x-x1)(x-x2)=0.9. 若2b(bw0)是关于x的方程x22ax+3b=0的根，则a-b的值为.分析：把2b代入方程得(2b)22a2b+3b=0,即4b24ab+3b=0,提取公因式b得，b(4b-4a+3)=0,因为bw0,所以4b-4a+3=0,解得a-b=-3.10. 一元二次方程的应用，掌握三类问题.(1)(2013和2014
8、)变化率问题.一般方程的形式为a(1+x)2=b,a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量.解这类方程使用直接开平方法：先两边同除以a,再两边开平方即可求解.例：学校去年年底的绿化面积为5000平方米，预计到明年年底增加到7200平方米，求这两年的年平均增长率.解：设这两年的年平均增长率为x,根据题意得：5000(1+x)2=7200,即(1+x)2=1.44,开方彳导:1+x=1.2或1+x=1.2,解得：x=0.2=20%,或x=-2.2(舍去).(2)市场营销中单价、销量、销售额以及利润之间的相互关系问题.一般设增加或降价x,然后用x表示变化后每件商品的利润，用x表示变化后的销量，
9、最后根据“变化后每件商品的利润X变化后的销量=总利润”列出方程.例：某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件，要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？解：设每件商品应降价x元，则降价后每件商品的利润为(360x280)元，降价后每月的销量为(5x+60)件；由题意，得(360x280)(5x+60)=7200,解得：x1=8,x2=60二.更有利于减少库存，x=60.注意：要仔细审题，检验方程
10、的两个根是否都符合题意，有时题目中会出现“要使顾客获得最大利益”或“更有利于减少库存”，再或者对商品的价格有具体的要求，这时应判断该舍去哪一个根AB=20, BC=20.(3)(2014)根据图形中的线段长度、面积之间的相互关系建立方程的问题.例：如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB,BC各为多少米？解析：解：设AB的长度为x,则BC的长度为(1004x)米.根据题意得(1004x)x=400,解得x1=20,x2=5.则1004x=20或1004x=80.8025,，x2=5舍去.即11. (1)要组织一
11、次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安1排7天，每天安排4场比赛.设比赛组织者应邀请x个队参赛，根据题意可列出方程为：x(x1)=28.(2)某初三毕业班的每一个同学都把自己的照片向全班其他的同学各送一张留作纪念，全班共送了1560张照片.如果该班有x名同学，根据题意可列出方程为x(x-1)=1560.注意：理解什么情况下要除以2,什么情况下不用除以2.第三章数据分析初步1. (2014)平均数：表示平均水平，但易受极端值影响.2. (2014)众数：一组数据中出现次数最多的那个数.表示大多数水平，但如果一组数据出现多个众数时，就没有多大意义，也不能充分利
12、用所有的数据信息.3. (2014)中位数：将一组数据按大小顺序排列，位于最中间位置的一个数据(当有偶数个数据时，为最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.表示中等水平，但不能充分利用所有的数据信息.1C,C,CC4. (2014)方差的计算公式：S2=n【(X1x)2+(X2x)2+(X3x)2+(Xnx)2其中n表示数据个数，即样本容量；又表示这组数据的平均数.方差表示一组数据的波动大小(离散程度)，方差越大，说明数据波动越大，越不稳定；方差越小，说明数据波动越小，越稳定.5. 标准差等于方差的算术平方根，即S.6.5个连续整数的方差是2.例如：2,0,1,1,2这5个连续整数的方差等于2;标准差等于血.7.若一组数据x1,x2,，xn的平均数为x,方差为S2,则数据ax+b,ax2+b,，axn+b的平均数为a又+b,方差为a2S2.当一组数据的每一个数都加上或减去同一个数时，平均数变成原平均数加上或减去这个数，方差不变；当一组数据的每一个数都变成原数的a倍时，平均数变成原平均数
