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1、极限的求法与技巧极限是解决数学问题的一种有效的工具。以下列举种方法，并附有例 题。1. 运用极限的定义例：用极限定义证明：limx3x 21x 2x24 x 4x 2则当02 时,就有x 2 2x 2x 23x 2x 2由函数极限定义有:x2 3x 2limx 2 x 22. 利用单调有界准则求极限预备知识：若数列an收敛，则a为有界数列，即存在正数M，使得对一切正整数n ,有an此方法的解题程序为：1、 直接对通项进行分析或用数学归纳验证数列an单调有界；2、设an的极限存在，记为”man A代入给定的表达式中，则该 式变为A的代数方程，解之即得该数列的极限。例：若序列an的项满足4. a
2、(a 0)且a. 112 an旦，(n 1,2,),试证an有极限并求此极限。解由 a1. a1a?a2a12a1a2、a12a, aa12a1a1用数学归纳法证明ak一 a需注意1ak ak2a12 ak一2a2aka1-a .ak2akak又anan1ana2ana012anw2anan为单调减函数且有下界。令其极限为A由an 1anaan有:aanlim an in即A丄A旦2AA2 aA、a(A0)从而lim an a .3. 利用等价无穷小替换常用的等价无穷小关系:x 0,sin x x,tan x x,arcs in x xarctan x x,n 1 x 1 1 x, exn1
3、- x, loga(1x)xIn aax 1 x In a, 1J x 1 2x, (1 x) 1 x, in(1 x)x,等价无穷小代换法设，都是同一极限过程中的无穷小量，且有：I， ，lim r 存在，则 lim 也存在，且有lim = lim2例：求极限xgCosx 2 sin x解：sin x2 x21 cosx2/ 22(x )1 cos x22 2(x )lim 222 2x 0 x2 sin x2x2x22注：在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时往往改变了它的无穷小量之比的阶数”4.利用极限的四则运算法则极限的四则运算法则叙述如下:若 lim f (x) A lim
4、 g(x) Bx x0X xo(I)lim f (x) g(x) lim f(x)x xox xolim g(x) A Bx xo(II)lim f (x) g(x) lim f (x)XX。x x)lim g(x) A Bx 冷(III)f(x)Wx)Alimx $ g(x) lim g(x) Bx x0可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，(IV ) lim c f (x) c lim f (x) cA (c 为常数)X xx X)上述性质对于X , X , X时也同样成立总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、 差、积、商。2例：求x 3x 5
5、limx 2 x 42lim x 2 x 43x 5_ 223 2 5241)5、利用两个重要的极限sin x(A) lim1x 0 X(B)lim (1X1)Xx但我们经常使用的是它们的变形:(A)lim3!,( (x)0)(x)(B)lim(1 ire,( (x)例：求下列函数极限X(1)、宀ln cosax(2)、limx 0 ln cosbx解：(1)令axu,则X世于是ln au l n aln(1 u)又当x0时，uX 1 故有:lim a1x 0 xlimu 0ln(1 u)ln a lim u 0 ln(1 u)uIn alimu 0ln(1 u)In (1 (cosax(2卜
6、原式 limx 0 ln1 (cosbx 1)lim In(1 (cosax 1) cosbx 1x 0 cosax 1 cosax 1 ln1 (cosbx 1)cosbx 1cosbx 1limx 0 cosax 1a sin x22si n2 x lim2x 02 b2si n x2fa .2(2x) lim x 2 bsin x2/b、2(訐a 2(訐/b 、2（2x）6. 利用重要公式求极限或转化为函数的极限此方法必须在牢记重要极限的形式和其值的基础上，对所求式子作适当变形，从而达到求其极限的目的，这种方法灵活，有相当的技巧性。d n 1 d例:limnn 1. 1nsin.nnli
7、mnlimnlimnn 1 1sin -n.1 sin n1n.1 sin n1nlimn.1sinn1n例：求极限limx asin x x asin alimx asin xsin alimx asin x sin asin a1 sin a cosalimx a2coss in2 2cos a sin asin asin acos asin alimx a2cosasi诗cos a (x a)sinalimx ax a2cosas in 2sin acosa (x a)ctgasin actgax a x a一 esin 2 27、利用无穷小量与无穷大量的关系。(1 )若:lim f(x
8、)则lim0且1 0 f (x)f(x)工 0 贝 S lim 1f(x)(II)若:lim f(x)例:求下列极限lim limx x 5x 1 x 1解:由 lim (x 5)x故lim0x x 5由 lim(x 1)0x 1limx 1 x 18. 变量替换例求极限分析当时,分子、分母都趋,不能直接应用法则,注意到,故可作变量替换解原式二引进新的变量，将原来的关于的极限转化为的极限.)(9. 分段函数的极限型,最咼次幂在分母上)讨论在点处的极限是否存在分析 所给函数是分段函数是分段点，要知是否存在，必须从极限存在的充要条件入手.解因为所以不存在.注1因为的左边趋于因为的右边趋于10、利用
9、函数的连续性(适用于求函数在连续点处的极限)(j)若f(x)在x x0处连续，则 lim f (x)f(x0)x xo(ii)若f (x)是复合函数，又lim (x) a且X xof (u)在u a处连续，则 lim f ( (x) f lim (x) f (a)X xox xo例：求下列函数的极限x(1)、x叫x厂e cosx 52x ln(1 x)(2)ln(1 x)解：由于x 0属于初等函数故由函数的连续性定义有:Xr e cosx 5lim 2f(0)x 01 x ln(1 x)1(2)、由x)ln(1 x)：x1令 x (1 x)x故有：1lim ln(1 x) lim ln(1 x
10、)xx 0 xx 0Xle cos x 5f (x)2的定义域之内1 x ln(1 x)61ln(lim (1 x)lne 1x 011、洛必达法则(适用于未定式极限)定理：若(i)lim f (x) 0,lim g(x)(ii) f与g在x0的某空心邻域u0 (x0)内可导，且g (x)(iii)lim丄里 A(A可为实数，也可为 或)，则 x x0 g (x)limlim f,(x) Ax xo g(x) x x0 g (x)此定理是对0型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法0注：运用洛必达法则求极限应注意以下几点：1、 要注意条件，也就是说，在没有化为 0 -时不可求导。02、 应
11、用洛必达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是 求整个分式的导数。3、 要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍 是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则， 否则会引起错误。本法则失效，但并不是说极限不存在,4、当lim f(x)不存在时， x a g (x)此时求极限须用另外方法。例：求下列函数的极限 limex (1 爭x 0 ln(1 x2) Jim(a0,x 0)解：令f(x)二xe (1f (x) ex(12x)f (x)ex(12x) 2，g2xf2, g(x)= l n(1 x2)g (x)21 x2(1 x2)(x) (122x )由于f(0)f(0)0,g(0) g(0)但 f(0) 2,g (0) 2从而运用洛必达法则两次后得到有:lim e22xx 0 ln(1 x2)由lim In xxlim呼x xlimxxlim x 0,limx1命xim12(12x) 22x1
