《数学一轮精品复习学案28定积分》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学一轮精品复习学案28定积分（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2012版高三数学一轮精品复习学案：函数、导数及其应用第八节 定积分【高考目标导航】一、定积分的概念与微积分基本定理1、考纲点击（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念；（2）了解微积分基本定理的含义。2、热点提示（1）定积分的运算及其在几何或物理方面的简单应用是高考命题的热点,多以选择题、填空题的形式出现；（2）利用定积分求曲边梯形的面积也是高考常考考点。二、定积分的简单应用1、考纲点击（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念；（2）了解微积分基本定理的含义。2、热点提示（1）利用定积分求曲边梯形的面积；（2）利用定积分求变速直线运动的物体
2、的路程；（3）利用定积求变力作的功。【考纲知识梳理】一、定积分的概念与微积分基本定理1、定积分的概念（1）定积分的定义和相关概念如果函数f(x)在区间a,b上连续，用分点a=x0x1x2xi+1xixn=b将区间a,b等分成n个小区间，在每个小区间xi-1, xi上任意取一点i(i=1,2,n),作和式当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a,b上的定积分，记作，即=。在中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a,b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。（2）定积分折几何意义当函数f(x)在区间a,b上恒为正时，定积分的几何意
3、义是由直线x=a,x=b(ab),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积（左图中阴影部分）。一般情况下，定积分的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以直线x=a,x=b之间的曲边梯形面积的代数和（右图中阴影所示），其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下文的面积等于该区间上积分值的相反数。（3）定积分的基本性质；。注：上述基本性质的几何意义：如图所示，设在区间a,b上恒有f(x)0,c是区间（a,b）内的一点，那么从几何图形上看，直线x=c把大的曲边梯形分成了两个曲边梯形，因此，大曲边梯形的面积S是两个小曲边梯形的面积S1，S2之和，即S= S1+ S2，用定积分表示变是性质2、
4、微积分基本定理如果f(x)是区间a,b上的连续函数，并且F（x）=f（x）,那么=F(b)-F(a),这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿莱布尼兹公式。为了方便，常把F(b)-F(a)记成F（x）|ab,即二、定积分的简单应用1、几种典型的平面图形面积的计算求由一条曲线y=f(x)和直线 x=a,x=b(ab)及y=0所围成平面图形的面积S（1） 如图所示，f(x)0,S=.（2） 如图所示, f(x)0, S= .（3） 如图所示，由两条直线x=a,x=b(ab)，两条曲线y=f(x),y=g(x)(f(x)g(x)围成的平面图形的面积S=.（4）如图所示，当axc时，f(x)0,当cxb
5、时，f(x)0,.注：曲边梯形的面积和定积分的值不一定相等，当曲边梯形有部分在x轴上下方时就不相等，这时要分段计算。2、定积分在物理中的应用（1）变速运动的路程公式作变速直线运动的物体所经过的s，等于其速度函数v=v(t)( v(t)0)在时间区间a,b上的定积分，即。（2）变力作功公式一物体在变力F(x)（单位：N）的作用下作直线运动，如果物体沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到x=b(ab)(单位：m)，则力F(x)所作的功为。【热点、难点精析】一、定积分的概念与微积分基本定理（一）定积分的计算（利用定义）1、相关链接（1）由定积分定义求定积分的步骤为分割；近似代替；求和；取极限。（2）
6、关于定积分的概念应注意的问题积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母无关，即定义中区间的分法和的取法都是任意的。在定积分的定义中，限定下限小于上限，即ab,为了方便计算，人们把定积分的概念扩大，使下限不一定小于上限，并规定：=，=0。2、例题解析例1用定积分的定义计算定积分的值。分析：n等分区间a,b近似代替求和取极限解答：将区间a,b等分，设分点分别为a=x0x1x2xi+1xixn=b,取i=,显然，作和式于是，即例2用定积分的定义求直线x=1,x=2,y=0和曲线y=x3围成的图形的面积解析：（1）分割用分点将区间1，2等分成个小区间，如图所示，每个区间的长度为x=,过各分点
7、作x轴的垂线，把曲边梯形ABCD分割成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作（2）近似代替取各小区间的左端点记为，用以点的纵坐标为一边，以小区间长为其邻边的小矩形面积代替第i个小曲边梯形的面积，可近似地表示为（3）求和因为每个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD面积S的近似值，即（4）取极限当分点数目越多，即x越小，和式的值就越接近于曲边梯形ABCD的面积S，当，即x0时，和式的极限就是所求的曲边梯形ABCD的面积。（二）定积分的计算（利用微积分基本定理）1、相关链接（1）求函数f(x)在某个区间上的定积分，关键是求函数f(x)的一个原函数，
8、正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系；若原函数不易寻找时，先把f(x)进行变形。（2）计算简单定积分的步骤把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和与差；分别用求导公式找到F(x)，使得F(x)=f(x);利用牛顿莱布尼兹公式求出各个定积分的值；计算所求定积分的值。2、例题解析例（1）；（2）；（3）解析：（1）（2）因为，所以；（3）（三）求分段函数（带绝对值的函数）的积分1、相关链接（1）分段函数的定积分分段函数在区间a,b上的积分可分成几段积分的和的形式；分段的标准是使每一段上的函数表达式是确定的，一般按
9、照原函数分段的情况分，无需分得过细。（2）奇偶函数在对称区间上的积分若f(x)为偶函数，且在关于原点对称的区间-a,a上连续，则;若f(x)为奇函数，且在关于原点对称的区间-a,a上连续，则2、例题解析例1（1）求函数在区间上的积分。（2）求。思路解析（1）f(x)在0，5上的定积分，可按照f(x)的分段标准，分成0，1，三段的定积分的和；（2）由，可分为二段定积分，再求和。解答：（1）由定积分性质知（2）例2求的定积分思路分析：利用微积分基本定理，但不能直接应用求解，可先通过换元转化为可利用定积分公式求解的形式。解答：令于是。=注：为了消去被积函数中的根式，可令，则，因为定积分与定积分的变量
10、符号无关，所以，从而将问题转化为我们熟悉的被积函数式，再利用定积分公式求得积分值。（四）利用定积分的几何意义求定积分例利用定积分的几何意义求的值。思路解析：画出被积函数的图象，求出对应图形的面积，由定积分的几何意义便可求出积分值。解答：表示的图象与所围成的图形的面积，如图：由得且（y0），表示以原点为圆心，a为半径的上半圆，其面积为，方法提示：1.定积分的几何意义非常重要，函数的奇偶性又是解决定积分有关问题的重要工具，利用这两点能简捷地解决定积分的有关问题，结论如下：设函数f(x)在闭区间-a，a上连续，则：(1)若f(x)是偶函数，则 =2 f(x)dx;(2)若f(x)是奇函数，则=0.2
11、.当函数f(x)在区间a,b上恒为正时，定积分 f(x)dx的几何意义是由直线x=a，x=b(ab)，y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积.3.根据定积分的几何意义，若f(x)0，则在a,b上的阴影面积S=；若f(x)0，则在a,b上的阴影面积S=-. 注：当被积函数的原函数不易求，而被积函数的图象与所围成的曲边梯形面积易求时，用曲边梯形面积的代数和的方法求定积分。二、定积分的简单应用（一）利用定积分求图形的面积1、相关链接（1）利用定积分求曲边梯形面积的步骤画出曲线的草图，确定图形范围；借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；将曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和
12、或差；计算定积分，写出答案。注：利用定积分（2）关键环节认定曲边梯形，选定积分变量；确定被积函数与积分上、下限。注：被积函数实际上就是曲边梯形上边界的函数减去下边界的函数，当某一边界是不同函数的图象时就要分段去求。2、例题解析例1求由抛物线，直线x=2，y=0所围成的图形的面积思路分析：画出图象求出抛物线与x轴交点用定积分求面积解答：作出直线x=2，曲线的草图，所求面积为图中阴影部分的面积。由得抛物线与x轴的交点坐标是（-1，0）和（1，0），因此所求图形的面积为：例2求曲线与直线y=x-4围成的图形面积解答：作出直线y=x-4，曲线的草图，所求面积为图中阴影部分的面积。解方程组得，即直线y=
13、x-4与曲线交点的坐标分别为（2，-2）和（8，4）所以所求图形的面积为（二）定积分在物理方面的应用1、相关链接（1）物体作变速直线运动的速度v(t)等于加速度函数a=a(t)在时间区间m,n上的定积分。（2）求变力作功的方法求变力作功，要根据物理学的实际意义，求出变力F(x)的表达式，这是求功的关键；由功的物理意义知，物体在变力F(x)的作用下，沿力F(x)的方向做直线运动，使物体从x=a移到x=b(ab).因此，求功之前还应求出位移起始位置与终止位置；根据变力作功公式即可求出变力F(x)所作的功。2、例题解析例列车以72km/h速度行驶，当制动时列车获得加速度a=-0.4m/s2，问列车应
14、在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？思路分析：作变速运动的物体在一段时间间隔内所走过的路程，可以利用该物体运动的速度关于时间的函数在该时间段上的积分来解。所以一个物体在一段时间内的位置，只要求出其运动的速度函数，再求出该时间段上的定积分即可。解答：已知列车速度v=72km/h=20m/s，列车制动时获得的加速度为a=-0.4m/s2，设列车开始制动到经过t秒后的速度为v，则v=v0+，令v=0，得t=50s。设该列车由开始制动到停止时所走路程是，则所以列车应在进站前50s，以及离车站500m处开始制动。（三）定积分的综合应用例如图所示，已知曲线与曲线交于点O、A，直线x=t(0t1)与曲线C1、C2分别相交于点D、B，连接OD、DA、AB。（1）写出曲边四边形ABOD（阴影部分）的面积S与t的函数关系式S=f(t)；（2）求函数S=f(t)在区间上的最大值。思路分析：（1）曲边四边形分为ABD和曲边三角形ODB，求出A、B、D三点的坐标，可求面积；（2）可利用导数求最大值。解答：（1）由解得或O（0，0），A（a,a2）。又由已知得B（t,-t2+2at）,D(t,t2),（2）f(t)=t2-2at+a2,令f(t)=0，即t2-2at+a2=0。解得t=(2-)a或
