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1、二次根式的混合运算 【教学进度】二次根式11.6【教学内容】 二次根式的混合运算【重点难点剖析】一、主要知识点 1有理化因式：见课本 P198 第 11 行第 12 行 2二次根式混合运算(1) 二次根式的加、减、乘与整式的加、减、乘类似，在实数范围内，过去学过的运算律仍然适用(2) 二次根式的除法，一般是先写成分式的形式，然后通过分母有理化来进行。二、重点剖析1. 有理化因式_(J)二次根式的有理化因式不是唯一的，它可以相差一个常数，例如込的有理化因式可以是、3,2舅,3打但在一般情况下，手们所找的有理化因式应是最简单的，例如：-J8的有理化因式为1，5 J2 - 3运的有理化因式为52 +
2、 35。(2)一般常见的互为有理化的两个代数式有如下几种情形： m、】a + nb 和 m：a njb2. 分母有理化的一般方法：用分母的有理化因式同时乘以分子和分母。3. 二次根式混合运算注意事项(1) 二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先乘方、再乘除，最后加减，整式与分式的运算法则根 式中仍然适用。(2) 二次根式的混合运算结果是根式的，一般应表示为最简二次根式。(3) 二次根式混合运算中，每一个根式可看作是一个“单项式”，多个不是同类二次根式之和可以看成 一个多项式，因此多项式乘法法则及乘法公式在根式运算中，仍然适用，以简便计算。(4) 在二次根式的综合运算中，除按运算顺序进行以外，
3、还要注意分式性质的灵活运用。a +b 1 1abab3 -迈 +J1 111=+例如可以由=+ 丁来计算= = = + （抒-（迈1）2 1 3-迈二迈+1 +打+迈=1 + 2迈+运典型例题】例 1 计算1）5 忑2 + 丁3/ I n ab ； n 阪、, n（3） （a2 mn +）十 a2b21m mm X nm（4） *b 十（.：3 + ：2） + （、：3 +、：2）十 ；6分析（1）可运用a2 - b2二（a + b）（a - b）计算（ 2）每个二次根式分别进行分母有理化，再进行二次根式的加减运算（ 3 ）把括号中的每一项化成最简二次根式，再根据整式除法法则，a十b二a -
4、进行运算。b解（1）（4）可把除式成分式，再根据分母有理化进行计算。 1 1+ J5 1-V5、+ J5 1 -45,1，- 1原式=（2+ 亠）（2 -）=5 U = 1（2 +、-3）22）原式=2 2込（訂-1）223G-5 + v3）3）（訂+叽3 -1） 蒂-朽）（杼+打）（2-朽）（2 +再）15 f5 - 15 + 3 - （7 + 4 一2 2.a2 ；ab 、 1 、1 m原式二（mn - mn + mn） mmma 2 b 2 na2 ab +1 .1 a2 ab +1a2 + ab +1=mn -v mn = mn =a 2 b 2 mn6G；3 -迈）ab :ma 2
5、b 2 na 2 b 2 mna 2 b 2v 63 + 迈6G；3 - 、）G：3 +、） 、帀+ = +3 + 迈a 6G/3 + 迈）（再-迈）6 話=3迈-2壬3 +丄託+1再=-2 - 5密232376 + 4 J3 + 3 J2例2 化简（*6 + 3）（神 3 + ! 2）分析本题如果按一般方法分母有理化，不容易作出来， 6 + 43 + 3i：2 = G 6 + ；3） + 3（3 + 丫 2），可运用关系：4）原式=又不可能直接约分，但如果注意到a +b 1 1+ 来计算。abab3G/3 + 迈）解原式=（話+朽）（启+迈）+ （韶+ + +迈）13=+ 爲+帝 6 + 3
6、=y3 -迈+ ：6 -打=屈-迈 例3先化简再求值。4a + b a -、+-，其中 a=3，b=4（弋 a +、. b）（ a - i b）ab （、b -、. a）、ab分析根据本题特点，可先通分做加法，后做除法进行化简，一再代入。（i：a + 9 b ）24 Jabab 解原式=-xab（：a + x；b）（、a - *b） vab（ = a + 斗b）（*a -、：b）Ja .耳b（v a 亍 b）2y ab=x =abG;a + x/b）（、. a -、 b）a - x/bva + fba-ba-b例4已知xS3 + 当 a=3 b=4 时求代数式3x2 - 5xy + 3y2的值
7、分析 先将x, y化简，多项式可用x+y及xy的形式表示，为此求出x+y, xy,最后代值计算。. x + y 二 5 - 2品 + 5 + 2 屈=10xy = (5 - 26)(5 + 26)二 1/ 3x2 一5xy + 3y2 = 3(x2 + y2) 一5xy = 3(x + y)2 一 2xy 一5xy二 3(x +1)2 一 11xy将 x+y=10， xy=1 代入，得原式=3 x 102 11 x 1 = 2892例5设丫11-62的整数部分为x,小数部分为y,求x + y + 的值。分析 先对v 11 - 6迈进行化简，11- 6迈可以进行配完全平方。解 11 - 6迈=v
8、 11 - 2価=f 9)2 - 18 + (迂)2 = “3-迈)2= 9 J2 = 3 - :2 通过估算可知3 -巨 的整数部全为1，则 y = (3 -迈)-1 = 2 -迈/. x + y + = 1 + (2 一、：2) +. = 3 一、；2 + 2 + 2 = 5y 2-2例6把下列各式分母有理化12 1(1) (2)分析分母里所含根号的个数多于两个，分母有理化时注意技巧，(1)题可分子分母同乘以、辽+ 43 + 45 , (2)题先用因式分解的方法把分母化为积的形式12/2 + 爲 + J5)12(血+爲 + 45解(1)原式=(J2 + P3 - J5)&2 + 43 +
9、巧)2J6=2込+ 3迈+顾(2)原式=(1 +、+ 朽(1+迈)=G/2 +1)/3 +1)(p2 1)(*3 1)v6 - J2 - !3 +1例 7 已知 a = v 17 1，求(a5 + 2a4 17a3 a2 + 18a 17)19的值分析 直接把a的值代入代数式计算，显然太繁，可把条件和要求的代数式同时变形，再代入计算解 *.* a 17 1 a +1 =、：17(a+1) 2=17原式=L5 + 2a4 - (a +1)2 - a3 - a2 + (a +1)2 +1 - (a +1)2 999=a 5 + 2a 4 (a 5 + 2a 4 + a 3) a 2 + (a 2
10、+ 2a + 2)a a 2 2a 11999=(-a 3 一 a 2 + a 3 + 2a 2 + 2a 一 a 2 一 2a 一 1)1999 = (-1)1999 = -1点评：由a +1 = J17 即(a +1)2 二 17，本题中的一 17a3写成-(a +1)2 -a3 , 18a 写成 17a+a=(a +1)2 + 1a，以便对所求代数式进行化简求值例8计算I： 2 斗 3 、 2 + . 3分析注意 2 -13 - 丫 2 + I：3 02 -訂2 +运都不能配成完全平方可用方程的思想方法求解。解令x = 2一 *3 一、：2 + 3 则 x2 = (.2 一、3 - .2
11、 +、：3)x2 = 2 一 3 + 2 +、： 3 2(2 一、： 3、： 2 + /3 x2 = 2TxvO x = 一、： 2【巩固练习与测试】_1.已知x二3 2f2 , y是x的倒数，则x2y xy2的值为2已知x二,y 二,3 + J2頁-迈贝9 x2 + y2的值为3.若门=m +丄，则S的结果为“ y4.若、:2a = a + 1：2，1贝 y a +=a5. 已知5 +、门的小数部分为a， 5 - :7的小数部分为b，则 ab+5b=6. 化简(、巨- 2冃历斗=_y xx 2 y7. 计算(2 迈 - 36)十(3.2 + 26)8.计算64 10迈+ 2込+勇Gt- 2
12、+、.：3)(叮5 +3)求下列各式的值10已知x =11.已知a b = x3 +、.：2 , b c =壬3 2求 a2 + b2 + c2 一 ab 一 bc 一 ac 的值求出2a3 a2 2a 1的值13 .已知 a = 2 + 2 (b 十)亠ab + b ab a a + ；bb = 2 -迈ab求代数式ab蔷市的值x214. =2 + x 一、2 一 x 、：4 x 2 + x 2)(4 1 -) (0X 2X15 .已知x二n +1 +、：nn +1 jnn 为自然数)5.67.8.1332439.10 .1)11.12.11-113.-2 提示，原式化简为咛2问n为何值时，代数式19x2 +136xy +19y2的值为1998【练习与测U试参政答案或提示】1. 4*2 ；2. 983. m2+24.3 辽22x+y14.15 .-1 ； n=2 提示 x+y=4n+2 xy=119x2 + I36xy = 19y2 = 19(x + y)2 + 98 9+将 x+y、xy 的值代入。
