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1、广东省各市2015年中考数学试题分类解析汇编（20专题）专题7：函数的图像、性质和应用问题1.（2015年广东梅州3分）对于二次函数有下列四个结论：它的对称轴是直线；设，则当时，有；它的图象与轴的两个交点是（0，0）和（2，0）；当时，.其中正确结论的个数为【 】A. 1 B.2 C. 3 D. 4【答案】C.【考点】二次函数的图象和性质. 【分析】，二次函数图象的对称轴是直线.故结论正确.当时，随的增大而减小，此时，当时，有.故结论错误.的解为，二次函数图象与轴的两个交点是（0，0）和（2，0） .故结论正确.二次函数图象与轴的两个交点是（0，0）和（2，0），且有最大值1，当时，.故结论正
2、确.综上所述，正确结论有三个.故选C.2. （2015年广东深圳3分）二次函数的图像如下图所示，下列说法；，正确的个数是【 】A. 1 B. 2 C.3 D. 4【答案】B.【考点】二次函数的图像和性质. 【分析】二次函数图像的开口向下，. 故说法错误.二次函数图像的对称轴在轴右侧， 即.故说法正确.二次函数图像与轴的交点在轴上方，. 故说法错误.二次函数图像与轴有两个交点，.故说法正确.综上所述，正确的个数是2个.故选B.3. （2015年广东汕尾4分）对于二次函数有下列四个结论：它的对称轴是直线；设，则当时，有；它的图象与轴的两个交点是（0，0）和（2，0）；当时，.其中正确结论的个数为【
3、 】A. 1 B.2 C. 3 D. 4【答案】C.【考点】二次函数的图象和性质. 【分析】，二次函数图象的对称轴是直线.故结论正确.当时，随的增大而减小，此时，当时，有.故结论错误.的解为，二次函数图象与轴的两个交点是（0，0）和（2，0） .故结论正确.二次函数图象与轴的两个交点是（0，0）和（2，0），且有最大值1，当时，.故结论正确.综上所述，正确结论有三个.故选C.1. （2015年广东深圳3分）如图，已知点A在反比例函数上，作，点D为斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E，若的面积为8，则k= .【答案】16.【考点】反比例函数的应用；相似三角形的判定和性质；直角三角形斜边上中线
4、的性质；等腰三角形的性质.【分析】由题意，.点D为斜边AC的中点，. .又，. .1. （2015年广东梅州9分）九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：售价(元/件)100110120130月销量(件)200180160140已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元.（1）请用含x的式子表示：销售该运动服每件的利润是 元；月销量是 .件；（直接填写结果）（2）设销量该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？【答案】解：（1）；.（2）依题意可得：.当x=130时，y有最大值980.售价为每件130元时，当月的利润最大
5、，为9800元.【考点】二次函数和一次函数的应用（实际应用问题）；待定系数法的应用；直线上点的坐标与方程的关系；二次函数的最值.【分析】（1）根据“”得出结论.根据所给数据猜想月销量是售价的一次函数，可设为，将（100，200），（110，180）代入，得，解得.将其它各组数据代入检验，适合，月销量是件.（2）根据“”得出y关于的二次函数，应用二次函数的最值原理求解即可.2. （2015年广东梅州10分）如图，已知直线分别与x、y轴交于点A和B.（1）求点A、B的坐标；（2）求原点O到直线的距离；（3）若圆M的半径为2，圆心M在y轴上，当圆M与直线相切时，求点M的坐标.【答案】（1）当x=0时
6、，y=3 ，B点坐标（0，3）.当y=0时，有，解得x=4. A点坐标为（4，0）.（2）如答图1，过点O作OCAB于点C，则OC长为原点O到直线l的距离.在RtBOA中，OA=4，0B=3，由勾股定理可得AB=5，.原点O到直线l的距离为.（3）如答图2，3，过点M作MDAB交AB于点D，则当圆M与直线l相切时，MD=2，在BOA和BDM中，OBA=DBM，BOA=BDM，BOABDM.，即，解得.或.点M的坐标为M（0，）或 M（0，）.【考点】一次函数综合题；直线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；三角形面积公式的应用；相似三角形的判定和性质；直线与圆的位置关系；分类思想的应用.【分析】（
7、1）根据点在直线上点的坐标满足方程的关系，将y=0和x=0分别代入即可求得点A、B的坐标.（2）作辅助线：过点O作OCAB于点C，则OC长为原点O到直线l的距离，由勾股定理求得AB的长，从而根据三角形面积公式求得的长，即原点O到直线l的距离.（3）作辅助线：过点M作MDAB交AB于点D，则当圆M与直线l相切时，MD=2，根据BOABDM列式求得，分点M在直线的上、下方两种情况讨论即可.3. （2015年广东梅州10分）如图，过原点的直线和与反比例函数的图象分别交于两点A，C和B，D，连结AB，BC，CD，DA（1）四边形ABCD一定是 四边形；（直接填写结果）（2）四边形ABCD可能是矩形吗？
8、若可能，试求此时和之间的关系式；若不可能，说明理由；（3）设是函数图象上的任意两点，试判断，的大小关系，并说明理由【答案】解：（1）平行.（2）四边形ABCD可能是矩形，此时，理由如下：当四边形ABCD是矩形时，OA=OB.联立，得，.同理，.，得.， . .四边形ABCD可以是矩形，此时.（3）.理由如下：.x2 x1 0，.【考点】反比例函数和一次函数综合题；平行四边形的判定；矩形的性质；代数式化简；作差法的应用.【分析】（1）根据反比例函数的中心对称性，有，所以，四边形ABCD一定是平行四边形.（2）求出点A、B的坐标，根据矩形对角线互相平分且相等的性质得到OA=OB，即，据此列式化简得
9、证.（3）作差，化简，得出结论.4. （2015年广东佛山6分）若正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点坐标是.（1）求这两个函数的表达式； （2）求这两个函数图象的另一个交点坐标.【答案】解：（1）正比例函数的图象经过，解得.正比例函数的表达式为.反比例函数的图象经过，解得.正比例函数的表达式为.（2）联立，解得或，这两个函数图象的另一个交点坐标为.【考点】正比例函数图象和反比例函数图象交点问题；曲线上点的坐标与方程的关系.【分析】（1）根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，分别将代入两个解析式即可求得这两个函数的表达式.（2）联立两表达式，解方程组即可求得这两个函数图象的另一个交点坐
10、标.5. （2015年广东佛山10分）如图，一小球从斜坡点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画.（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；（2）小球的落点是A，求点A的坐标；（3）连结抛物线的最高点P与点O、A得POA. 求POA的面积；（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），MOA的面积等于POA的面积，请直接写出点M的坐标.【答案】解：（1），点P的坐标为.（2）联立，解得或.点A的坐标为.（3）如答图1，作二次函数图象的对称轴交于点，则点的坐标为，.（4）.【考点】二次函数的应用（实际问题）；二次函数的性质；曲线上点的坐标与方程的关系；等高三
11、角形面积的应用；待定系数法、转换思想和数形结合思想的应用.【分析】（1）化为顶点式即可得二次函数图象的顶点坐标.（2）联立和即可求出点A的坐标.（3）作辅助线“作二次函数图象的对称轴交于点”，将转化为和之和.（4）作辅助线“过点作交抛物线于另一点”，则MOA的面积等于POA的面积，设直线的解析式为，将代入，得，直线的解析式为.联立，解得，或.点M的坐标为.6. （2015年广东广州10分）已知反比例函数的图象的一支位于第一象限.（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求的取值范围；（2）如图，O为坐标原点，点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于轴对称，若的面积为6，求的值.【
12、答案】解：（1）反比例函数的图象的一支位于第一象限，该函数图象的另一支位于第三象限.，解得.的取值范围为.（2）设，点B与点A关于轴对称，.的面积为6，解得.【考点】反比例函数综合题；解一元一次不等式；轴对称点的性质.【分析】（1）根据反比例函数的性质：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限.由反比例函数的图象的一支位于第一象限，得另一支位于第三象限，得到，解之即可.（2）设，根据“关于轴对称的点的坐标特征是横坐标相同，纵坐标互为相反数”得到的长，根据的面积为6列方程求解即可.7. （2015年广东广州10分）已知O为坐标原点，抛物线与轴相交于点,.与轴交于点C，且O，
13、C两点之间的距离为3，点A，C在直线上.（1）求点C的坐标；（2）当随着的增大而增大时，求自变量的取值范围；（3）将抛物线向左平移个单位，记平移后随着的增大而增大的部分为P，直线向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点时，求的最小值.【答案】解：（1）令，得，.O，C两点之间的距离为3，解得.点C的坐标为或.（2），异号.若，把代入得，即.把代入得，即.异号，.，.把，代入，得，解得.当时，随着的增大而增大.若，把代入得，即.把代入得，即.异号，.，.把，代入，得，解得.当时，随着的增大而增大.综上所述，若，当随着的增大而增大时，；若，当随着的增大而增大时，.（3）若，则，向左平移个单位后
14、的解析式为，则当时，随着的增大而增大. 直线向下平移n个单位后的解析式为.要使平移后直线与有公共点，则当时，即，解得，与不符，舍去. 若，则，向左平移个单位后的解析式为，则当时，随着的增大而增大. 直线向下平移n个单位后的解析式为.要使平移后直线与有公共点，则当时，即，解得.综上所述，.，当时，的最小值为.【考点】二次函数综合题；线动平移问题；曲线上点的坐标与方程的关系；不等式和绝对值的性质；二次函数的最值；分类思想的应用.【分析】（1）一方面，由点C在抛物线得到，另一方面，由O，C两点之间的距离为3，得到，从而得到点C的坐标.（2）分和两种情况讨论.（3）分和两种情况讨论得到的范围内，从而根据二次函数最值原理即可求解.8. （2015年广东深圳9分）如图1，关于的二次函数经过点，点，点为二次函数的顶点，为二次函数的对称
