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1、燕尾定理貝tw归例题精讲燕尾定理：在三角形ABC中，AD,BE,CF相交于同一点O,那么，S:S=BD:DCABOACOA上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO和ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题证明燕尾定理:如右图，D是BC上任意一点，请你说明：S:S=S:S=BD:DC1423S2ES3S1S4D【解析】三角形BED与三角形CED同高，分别以BD、DC为底，所以有S:S=BD:DC；亠14三角形A
2、BE与三角形EBD同高，s:S=ED:EA；_亠12三角形ACE与三角形CED同高，s:S=ED:EA，所以S:S=S:S；431423综上可得，S:S=S:S=BD:DC.1423【例1】（2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上,且BD:DC1：2，AD与BE交于点F.则四边形DFEC的面积等于.33F1【解析】方法一：连接CF,根据燕尾定理，SACF设S1份，则SBDFDCF5BDDC22份，ABFSCBF竺1,EC所以S丄SDCEF12ABC12SABF3份，S方法二：连接DE，由题目条件可得到SSAEFEFC3份，如图所标1SA
3、BD3ABC3page#of181所以BFS1FES1ADE1S-S-X-SADE2ADC23ABC3S-XS-X-XS-X-X-XSDEF2DEB23BEC232ABC12而S-X-XSCDE32ABC1所以则四边形DFEC的面积等于丄.312【巩固】如图，已知BDDC,EC2AE,三角形ABC的面积是30，求阴影部分面积.page#of18page#of18【解析】题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积.又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，（法一）连接CF，因
4、为BDDC,EC2AE，三角形ABC的面积是30,所以S1S10,SABE3ABCABDAE1根据燕尾定理，SSCBF所以S1S7.5，SABF4ABCBFDABFEC2S15-2ABCS/ABFSACFBDCD157.57.5，所以阴影部分面积是30-10-7.512.5.（法二）连接DE，由题目条件可得到S1S10,ABE3ABC112，所以AFS1SSXS10,所以ABE-BDE2BEC23ABCFDS1BDEpage#of18S1xS1x-XS1x-X-XS2.5，DEF2DEA23ADC232ABC而S2x1xS10所以阴影部分的面积为12.5.CDE32ABC【巩固】如图，三角形A
5、BC的面积是200cm2，E在AC上，点D在BC上,且AE:EC=3:5,BD:DC=2:3，AD与BE交于点F则四边形DFEC的面积等于page#of18page#of18【解析】连接CF,根据燕尾定理，SACFBDDC39设SABF6份，则S9份,SACFBCFABFSCBF10份，SAE36EC5109xEFC45份，sCDF10x6份，2,3所以S4545DCFE200一(6,9,10)x(,6)8x(,6)=93(cm2)【巩固】如图，已知BD3DC,EC2AE,BE与CD相交于点O，则AABC被分成的4部分面积各占AABC面积的几分之几？1912EO213.54.5CBD1C1份，
6、则其他部分的面积如图所示，所以S1+2+9+1830份，所以四部ABC分按从小到大各占ABC面积的丄2+4513931359【解析】连接CO，设SAEO,-3030一6030一103020【巩固】（2007年香港圣公会数学竞赛）如图所示，在AABC中,CP2CB，BQ与AP相交于点X，若ABC的面积为6，则AABX的面积等于【解析】方法一：连接PQ.由于CP1CB,CQ1CA，所以S23ABQ3ABC由蝴蝶定理知，AX:XPS:SA2S:1SABQBP當ABC6ABi1SBPQ2BCQ6ABC厶4：1，page#of18page#of18所以s4s4x1S2s2x62.4.ABX5ABP52A
7、BC5ABC5方法二：连接CX设sI份，根据燕尾定理标出其他部分面积，CPX所以S6,(1+1+4+4)x42.4ABX【巩固】如图，三角形ABC的面积是1,BD2DC,的面积各是多少?CE2AE，AD与BE相交于点F，请写出这4部分AEFBDCA61EF284DC【解析】连接CF，设SAEF1份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以sAEF121sABF21BDF8c2+42，321FDCE217【巩固】如图，E在AC上,D在BC上，且AE:EC=2:3,BD:DC=1：2，AD与BE交于点F.四边形DFEC的面积等于22cm2，则三角形ABC的面积.EFFBBDCD1.6E2F
8、2.412DCsBD1，sAE2ABF，ABF/sDC2sEC3ACFCBF2份/s2份，sDCFABF【解析】连接CF，根据燕尾定理，设s1份，则BDF4份，s4x-1.6AEF份,s4x2.4份，如图所标，所以s2+2.4=4.4份,s=2+3+4=9份EFCEFDCABC所以s22,4.4x945(cm2)ABC【巩固】三角形ABC中，C是直角，已知AC2，CD=2，CB=3部分）的面积为多少？AMBM，那么三角形AMN（阴影【解析】连接BN.ABC的面积为3x2,23根据燕尾定理，ACN:ABNCD:BD=2:1；同理HCBNCANbm:AM=1:1设HAMN面积为1份，则HMNB的面
9、积也是1份，所以5ANB的面积是1+1=2份，而5ACN的面积就是2,24份，ACBN也是4份，这样ABC的面积为4+4+1+1=10份，所以HAMN的面积为3十10，10.3.【巩固】如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC2DE,平方厘米?F是DG的中点.阴影部分的面积是多少EBBxyGCG【解析】设SDEF1份，则根据燕尾定理其他面积如图所示S5S阴影12BCD5平方厘米.12【例2】如图所示，在四边形ABCD中，AB3BE,形BODC的面积为AD3AF，四边形AEOF的面积是12，那么平行四边E1O6【解析】连接AO,BD根据燕尾定理S则其他图形面积，如图所标，所以S:SABOBD
10、OAF:FD1:2,S2S2,1224.BODCAEOF:SAODBODAE:BE2:1，设S1,BEO例3】ABCD是边长为12厘米的正方形，E、平方厘米F分别是AB、BC边的中点，AF与CE交于G，则四边形AGCD的面积是1份，根据燕尾定理得S1份，S1份，则S(1+1+1),26BGC正方形【解析】连接AC、GB，设SAGCAGB份，S3+14份，所以S122+6,496(cm2)ADCGADCG【例4】如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面积是平方厘米【解析】连接BH，根据沙漏模型得BG:GD1：2，设S=1份，根据燕尾定理S=2
11、份，S=2份，BHCCHDBHD因此S(1+2+2),210份，S=-+-=7,所以S=120一10,-=14(平方厘米).正方形BFHG236BFHG6【例5】如图所示，在AABC中,BE:EC3:1，D是AE的中点，那么AF:FCBECBEC【解析】连接CD由于S:S1:1,S:S3:4，所以S:S3:4,ABDBEDBEDBCDABDBCD根据燕尾定理，AF:FCS:S3:4ABDBCD【巩固】在ABC中，BD:DC3:2,AE:EC=3:1，求OB:OE=?EOEOBDCBDC【解析】连接OC.3S因为BD:DC3:2，根据燕尾定理，S:SBD:BC3:2，即SAOBAOCAOB2AO
12、C又AE:EC3:1，所以s4S.则S334S，S2SfAOC3AOEAOB2AOC23AOEAOE所以OB:OES:S2:1.AOBAOE【巩固】在ABC中，BD:DC2:1，AE:EC=1:3，求OB:OE=?AEO解析】题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的比本题的图形一看就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要连接OC.连接OCAEOBDC因为BD:DC2:1,根据燕尾定理，S:SBD:BC=2:1,即S=2SAOBAOCAOBAOC又AE:EC1:3，所以S4S.则S2S2,4S=8S,NAOCAAOENAOBNAOCAAOENAOE所以OB:OES:S8:1.AAOBAAOE例6】（2009年清华附中入学测试题）如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、BC上的点，且AE1AB,CF1BC,AF与CE相交于G，若矩形ABCD的面积为120,则AAEG与ACGF的34page#of18page#of18解析】（法1）如图，过F做CE的平行线交AB于H，则EH:HB=CF:FB=1:3,所以AE1EB2EH,AG:GF=AE:EH=2，即AG=2GF,2231
