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1、等差数列一、知识点：1、数列：按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做项，第一项称 为首项，最后一项称为末项。数列中共有的项的个数叫做项数。2、等差数列与公差：一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样 的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。3、常用公式等差数列的总和=（首项+末项）项数“ 2项数=（末项-首项）“公差+1末项=首项+公差（项数-1）首项=末项-公差（项数-1）公差=（末项-首项）（项数-1）等差数列（奇数个数）的总和 =中间项 项数二、典例剖析：例（1） 在数列3、6、9,201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少？分析：
2、（1）因为在这个等差数列中，首项 =3,末项=201，公差=3,所以根据公式： 项数=（末项-首项）亠公差+1,便可求出。（2）根据公式：末项=首项+公差（项数-1 ）解：项数=（201-3 ） - 3+ 仁67末项=3+3（201-1 ） =603答：共有67个数，第201个数是603练一练：在等差数列中4、10、16、22、中，第48项是多少？ 508是这个数列的第 几项？答案：第48项是286, 508是第85项例（2 ）全部三位数的和是多少？分析：所有的三位数就是从100999共900个数，观察100、101、102、998、999这一数列，发现这是一个公差为1的等差数列。要求和可以利
3、用等差数列求和公式来解答。解：（100+999）900 2=1099900 2=494550答：全部三位数的和是494550。练一练：求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。答案：1000例(3)求自然数中被10除余1的所有两位数的和。分析一：在两位数中，被 10除余1最小的是11,最大的是91。从题意可知，本题是求 等差数列11、21、31、91的和。它的项数是 9,我们可以根据求和公式来计算。解一：11+21+31 + +91=(11+91)9亠2=459分析二：根据求和公式得出等差数列11、21、31、91的和是459，我们可以求得这9个数的平均数是459 9=51，
4、而51恰好是这个等差数列的第五项，即中间的一项(称作中项)，由此我们又可得到 S=中项n,但只能是项数是奇数时，等差数列有中项，才能 用中项公式计算。解二：11+21+31 + +91=519=459答：和是459。练一练：求不超过500的所有被11整除的自然数的和。答案:11385例(4) 求下列方阵中所有各数的和:1、2、3、4、49、50;2、3、4、5、50、51；3、4、5、6、51、52;49、50、51、52、97、98;50、51、52、53、9& 99。分析一：这个方阵的每一横行(或竖行)都各是一个等差数列，可先分别求出每一横 行(或竖行)数列之和，再求出这个方阵的和。解一：
5、每一横行数列之和：第一行：(1+50)50 2=1275第二行：(2+51)50 2=1325第四十九行：(49+98)50 2=3675第五十行：(50+99)50 2=3725方阵所有数之和：1275+1325+1375+3675+3725= (1275+3725)50“ 2=125000分析二：观察每一横行可以看出，从第二行起，每一行和都比前一行多50，所以可以先将第一行的和乘以50，再加上各行比第一行多出的数，这样也能求得这个方阵所有数的和。解二：(1+50)50 250=6375050(1+2+3+49) =50【(1+49)492 】=6125063750+61250=125000
6、答：这个方阵的和是 125000练一练：求下列方阵中100个数的和。0、1、2、3、8、9;1、2、3、4、9、10;2、3、4、5、10 11;9、10、11、12、17、18。答案：900例（5）班级男生进行扳手腕比赛，每个参赛男生都要和其他参赛选手扳一次。若一共扳 了 105次，那么共有多少男生参加了这项比赛？分析：设共有几个选手参加比赛，分别是 A1、A2、A3 A4An。从A1开始按顺序分析 比赛场次：A1必须和A2、A3、A4、,An逐一比赛1场，共计（n-1 ）场；A2已和A1赛过，他只需要和 A 3、A4、A5、An各赛1场，共计（n-2 ）场A 3已和A1 A2赛过、他只需要
7、和 A4、A5、A6、An、各赛1场，共计（n-3 ）场。 以此类推，最后 An-1只能和An赛1场解：Sn= （n-1 ） + （n-2 ） +2+1=（1+n-1 ） x（ n-1 ）+ 2=0.5 x n （n-1）（场）根据题意，Sn=105（场），则nx （ n-1 ）=210,因为n是正整数，通过试算法，可知15 x 14=210. 则n=15,即共有15个男生参加了比赛。答：有15个男生参加了比赛。练一练：从1到50这50个连续自然数中，取两数相加，使其和大于50,有多少种不同的取法？答案：625种例（6）若干人围成16圈，一圈套一圈，从外向内圈人数依次少6人，如果共有912人，
8、问最外圈有多少人？最内圈有多少人？分析：从已知条件 912人围成16圈，一圈套一圈，从外到内各圈依次减少 6人，也就 是告诉我们这个等差数列的和是912，项数是16,公差是6。题目要求的是等差数列末项 an-a仁d（n-1）=6（16-1）=90（人）解：an+a仁S x 2n=9122 16=114（人）外圈人数=（90+114）- 2=102 （人）内圈人数=（114-90 ）- 2=12 （人）答：最外圈有102人，最内圈有12人。练一练：若干人围成8圈，一圈套一圈，从外向内各圈人数依次少4人，如果共有304人，最外圈有几人？答案： 52 人模拟测试（4 ）一、填空题（每小题5分）1、
9、有一串数，已知第一个数是6,而后面的每一个数都比它前面的数大4,这串数中第2003个数是。2、 等差数列0、3、6、9、12、45是这个数列的第项。3、从2开始的连续100个偶数的和是 。4、 一个剧院共有25排座位，从第一排起，以后每排都比前一排多2个座位，第25排有70个座位，这个剧院共有 个座位。5、所有除以4余1的三位数的和是 。6、 时钟在每个整点敲该钟点数，每半点钟敲一下，一昼夜这个时钟一共敲 下。7、 一个五层书架共放了600本书，已知下面一层都比上面一层多10本书。最上面一层放本书，最下面一层放 本书。8、 从200到500之间能被7整除的各数之和是 。9、在1949、1950
10、、1951、1987、1988、这40个自然数中，所有偶数之和比所有奇数之和多。10、 有一列数：1、2002、2001、1、2000、1999、1、从第三个数开始，每个数都是它前面两个数中大数减去小数的差，从第一个数开始到第2002个数为止这2002个数的和二、简答题（每小题10分）1、有10只盒子，54个乒乓球，能不能把 54个乒乓球放进盒子中去，使各盒子的乒乓球数 不相等？2、 小明家住在一条胡同里，胡同里的门牌号从1号开始摸着排下去。小明将全胡同的门牌 号数进行口算求和， 结果误把1看成10,得到错误的结果为114,那么实际上全胡同有多少 家？3、 有一堆粗细均匀的圆木，堆成如下图的形
11、状，最上面一层有7根园木，每面下层增加 1 根，最下面一层有 95根，问：这堆圆木一共有多少根？4、有一个六边形点阵，如下图，它的中心是一个点，算做第一层，第二层每边有两个点, 第三层每边有三个点 这个六边形点阵共100层，问，这个点阵共有多少个点？5、X+Y+Z=1993有多少组正整数解?模拟测试(4 )解答一、填空题1、80146+4 X( 2003-1 )=6+4X 2002=80142、16(45-0 )- 3+1=45 - 3+1=163 、 10100末项=2+ (100+1 )X 2=200和=(2+200)X 100-2=101004. 1150a仁70-(25-1)X 2=2
12、2(个)总座位数：(22+70 )X 25 - 2=1150 (个)5 、 123525所有除以4余1的三位数为：101、105、109、997。 项数：(997-101 )- 4+1=225和：(101+997)X 225- 2=1235256 、180(1+12)X12+1X 24=13X12+24=180（下）7、100、140中间一层本数：600 - 5=120(本)最上面一层:12-10 X 2=100(本)最卜面一层:120+1X 2=140(本)8 、 15050构成等差数列为：203、210、497。项数=(497-203 )- 7+ 仁43 数列和=(203+497)X 43
13、2=150509、20(1950+1988)X 20- 2- ( 1949+1987)X 20 - 2=3938 X 20- 2 -3936 X 20 - 2=39380-39360=2010、17822252001个数分其余的数是在原数列中，以数 1为标志，把三个数看成一组， 2002 - 3=6671,其中 为667组，有667个1,因为余下的一个数恰为 1，则2002个数中有668个1 2002则669有1334个数。668 X 1+ (2002+669 )X 1334 - 2=668+1781557=1782225二、简答题1解： 答：题中要求办不到。即全2、解：误把1看成10,错误结
14、果比正确结果多10-1=9，那么正确结果为114-9=105 ,胡同门牌号组成的数列求和为105设全胡同有n家，此数列为1、2、3、n。数列求和：（1+n）x n + 2=105（1+n）x n=210将 210 分解：210=2X 3X 5X 7=14X15则n为14答：全胡同实际有14家。3、解：7+95=102 （根）95-7+仁89（层）102X 89 - 2=4539 （根）答：这堆圆木一共有4、解：第100层有点：=6+98=6=594点阵只有点：1 +=1+600=29701答：这个点阵共有点5、 解：当 X=1991 时,4539 根。6+ (99-1 )X 6X 6X 99(个)(6+594)99-2X 99 - 2(个)29701 个。则 Y+Z=2, Y=Z=1当 X=1990 时，则 Y+Z=3,当 X=1989 时，贝U Y+Z=4.Y=1JJ十2Z=3或工=2或、有2组y =3z = 1有3组当 X=2 时，则 Y+Z=1991
