三点共线、线共点

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1、第三讲点共线、线共点在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理 的应用。1.点共线的证明点共线的通常证明方法是：通过邻补角关系证明三点共线：证明两点的连线 必过第三点；证明三点组成的三角形面积为零等。力（心4）点共线可转化为三点 共线。例1如图，设线段初的中点为GBFCG。乂作平行四边形67彻, 以M和 伪为对角线作平行四边形力应D CGKE.求证：H. G &三点共线。四边形AKGD是 样可证AK邑HB。 其对角线月S KH 线段胡过C点，证连必；DG. HB。山题意，ADECKG,知 平行四边形，于是恥。同 四边形肋弘是平行四边形， 互相平分。而。是曲中点， 故久G

2、 三点共线。例2如图所示，菱形個中，ZJ=120 , 0为/!庞外接圆，为其上一点，连接必交曲于 劝交3延长线于斤 求证：A E,尸三点共线。证如图，连月G DF、DE。因为弭在0上，则 Z&炉60 二ZABUZACB,有如ezum得MCCF _ CFMA CACD 乂因为AAMOBAC.所以 AMCEAC.得MC AC ADPP，肋与 虑的延长线交于点III Q作该圆的两条切线他和0；切点分 别为 F。求证：P, E, F三点共线。证 如图。连接尸并在上取一点必使得B, C,尸四点共圆，连QA欣设厅与圆的另一交点为F ,并作丄PF,垂足为G。易如QE 二 QM QKQC QBAPMOAABO

3、APDQ.从而G D, 0, %四点共圆，于是PMPgPCPD 由，得PM P3QI PgPC PDQC QB、艮卩PgQC Q陕PCPD.易知 PD PUPE PF, 乂 QF二QC QB、有PE PHQF二PD PC+QC AB=P,即欣p&pQ-qF。又P QF二PC GFKPSGA (PG-GF)二PFPG- Gf), 从而 W 二PG GUPG GF , B|J GFGE,故 F 与疋重合。 所以只E.尸三点共线。例4以圆0外一点只引圆的两条切线副PB、A,尸为切点。割线他交圆0 于G D. 乂由方作G?的平行线交圆0于Z若尸为CD中点,求证：A, F, 疋三点共线。BF, OF,乙

4、 EFXZFEB.证 如图，连处；E0 OA. OB、0P. 延长阳交处于G。易如创丄处，0B丄BP,OF丄 CP,所以尸，A, F, 0, B 五点共圆，有ZAF&ZAO&ZPO庆 乙 PFB。乂因CD/BE.所以有ZPF严乙 FBE、而尸0G为庞的垂直平分线，故沪丹，ZFE彷乙EBF、 所以乙AF古乙EFD A, F、疋三点共线。2.线共点的证明证明线共点可用有关定理(如三角形的3条高线交于一点)，或证明第3条直 线通过另外两条直线的交点，也可转化成点共线的问题给予证明。例5以遊的两边川7向外作正方形昶疋，ACFG。遊的高为必。求证：AH. BF, G?交于一点。AZMAUZBCF。证 如

5、图。延长旳到必 使 AA匸 BC。连 CM BM. 设CM与BF交于点、K。 在如W和附中，ABCF, ASBC, Z%1GZ旳0180 , ZHAGZHCA=90 , 并且 ZBC0 +乙 HCA, 因此 ZBC丹 ZHA（二 8V从而曲dBCE ZAC护ZCFBc所以ZMK&ZKCF+ ZKF*ZKCF+ ZMCa90 ,即BF丄MC同理67?丄肪。AH. BF, Q为M%的3条高线，故肋，BF, Q三线交 于一点。例6 设尸为遊内一点，ZAPB- ZACBZAPC- A ABC. 乂设D F分别是比交于一点。别为凡5, ToACE 交 AP 千 N也叨及/!的内心。证明：AP, BD,

6、证 如图，过P向三边作垂线，垂足分 连斤S, ST, RT,设勿交仲于必 易知只 E A, S； P, T, B, R；P，S, C, 7分别四点共圆，则 ZAPB ZAC庆 ZPAGZPBC 二乙 PRS+ZPRT 二 ZSRT。同理，AAPC- AABOARST.山条件知ZSR&ZRST,所以尺PS几 乂 RhPBsinB, SFPCsinC, 所以 PBsinPCsinC,那么PB _ PCAC由角平分线定理知AN _ AC _ 43 _ AMNPPCPBMP 故必重合，即月只BD.比交于一点。例7 q与a外切于尸点，购为两圆的公切线，其中q.斤分别为a，a上的切点，过&且垂直于処的直线

7、与过斤且垂直于的直线交于点匚 刖垂直于aa,垂足为用 刑与加交于点必 证明：pm, Rg g三条直 线交于一点。证 如图，设也与血交于点。 连也PO.因为 ZQQ 疟 ZQMU90。 而 zma 二 90 =zm， 所以ziq由乙ga, 故厶QI2得所以q a. a; m四点共圆，有Z0fi=zma.QOL=O1OLQM MI同理可证豁二箸因此QM _ QO因为如也，所以有0.0 _ QOX山，得MO QgPg RS所以OXO _ OQ _ OP页_莎_莎即护他。从而MO/ QOJ/ Ra/ 0P.故胚0、尸三点共线，所以/, R0 0Q三条直线相交于同一点。3.塞瓦定理、梅涅劳斯定理及其应用

8、定理1 （塞瓦（Ceva）定理）：设只Q斤分别是宓的应；CA,力万边上的点。若AP,BQ, G?相交于一点必则ABP CQ AR t = 1 OPC QA RB证 如图，由三角形面积的性质，有AR _ Smmc BP _ SmmbB 占CCQ _ SgMCRB S mwcPC S“MC0人S、4mb以上三式相乘，得竺 - = 1.PC QA RB定理2 （定理1的逆定理）：设P, Q，斤分别是磁的必创初上的点。若參器篇则,BQ、G?交于一点。证如图，设肿与図交于必连侧交朋于R O竺冬.竺“而竺空.兰九-PC QA RBPC QA RB所以AR _ AR于是用与斤重合，故AP, BQ, 67?交

9、于一点。定理3 （梅涅劳斯（Menelaus）定理）：一条不经过遊任一顶点的直线和三角形三边应；CA, M（或它们的延长线）分别交于只Q. E则BP CQ AR t =PC QA RB证 如图，山三角形面积的性质，有AR = S mrp BP = S Mp CQ = S、crp RB S Rp PC S 乂pr QA S、Rp将以上三式相乘,得等迸篇“定理4 （定理3的逆定理）：设只Q水分别是遊的三边万G CA,初或它们延长线上的3点。若BP CQ AR则只Q、斤三点共线。定理4与定理2的证明方法类似。塞瓦定理和梅涅劳斯定理在证明三线共点和三点共线以及与之有关的题H 中有着广泛的应用。例8如图

10、，在四边形中，对角线平分ABAD.在G?上取一点E BE与 相交于尺 延长矿交必于久 求证：ZGAC=ZEACo证如图，连接BD交AC于乩过点。作月万的平行线交肋的延长线于L过点C作加?的平行线交血的延长线于/对磁用塞瓦定理，可得巴阻匹GB HD EC因为月是Z她的角平分线,由角平分线定理知鬻=涪。代入式得CG.AB.DJGB AD EC因为 CI/ AB.代入式得67/，则 CG - CI , DE_AI)GB AB EC CJCI AB AD 而75 W=1.从而CFCJ。又由于ZACI=180 Z场0180 -ADAOAACJ, 所以竺川M 故AIAOAJAC,即AGAOAEAC.例9

11、宓9是一个平行四边形，尸是 肋上的一点，尸为G?上的一点。AF交ED 于G, EC交FB予H。连接线段阳并延长交血于厶交BC予业求证：证 如图，设直线厶与场的延长线交于点/与的延长线交于点人在砲与祕中分别使用 梅涅劳斯定理，得EGDICHGDICHEAGFHBJ _GFHBJA _因为/4万 CD.所以EG _ AG CH _ FHg5gf * HeHb从而眷BJ1aCD + CIciA3+A 丿AJ故CI=AJ.而3M BJ DI DL且 B出MBBUAIAL+LD.所以 B护DL例10在直线1的一侧画一个半圆T, G 0是7上的两点，7上过C和0的切线 分别交2于万和月，半圆的圆心在线段4

12、上，厅是线段和加的交点, 尸是上的点，疗垂直人求证：疗平分乙CFD。证 如图，设血?与恭相交于点只于仏连血OC. OP.由题意知 Rt/OADRt/PAH. 于是有AH _ HPADDO类似地，RtOCBsRtPHB. 则有BH BC用0表示半圆7的圆心。过尸作 刃丄1HPCO(右 AH BH U7f-AH BC PD t111 CODO. 有=,从而=1.AD BCHB CP DA山塞瓦定理的逆定理知三条直线BD,刃相交于一点，即疋在刃上, 点与尸重合。因Z0呼ZOC0，所以O、D、C、P四点共圆，直径为加 乂ZPFU90 , 从而推得点尸也在这个圆上，因此乙DFK乙DO巴乙C0&乙CFP.

13、所以矿平分乙CFD。例11如图，四边形力砲内接于圆， 交于E AD.兀延长线交于尸，P 一点，恋丹分别交圆于/?,S若 劭相交于T.求证：R、T. S三点共线。 先证两个引理。引理1:AAC皿R为圆内接六边形，若交于一点，则有色卑旦如=1.BC D、E FA如图，设AA，BE，Cf交于点0, 的性质易知 OARSHOEg 0&(sOFE、 OCXOAR.从而有AB, %延长线 为圆上任意 对角线AC与Ag BE, C、F圆内接多边形Ad BO EjFj _ Ffl C _ DQD、E DO EG B0F/ FXO将上面三式相乘即得色卑旦如=1,BC DEi FA引理2：圆内接六边形九凡若满足Ad . CQ E、F =BC DE FXAX则其三条对角线A几眼交于一点。 该引理与定理2的证明方法类似，留给读者。例11之证明如图，连接刃，AS, RC, BR, AP, SD. 沁ebrsepa, fdss、fpa.知BR _ EB PA _ FP莎一乔 D5 75*两式相乘，得BR _ EB FP预 一 EP FD乂由应a旳，FP2FAS、知,PD EP 得PD FPAS FA