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1、直线与抛物线唯一公共点的深入理解2019年武汉市中考数学压轴题，同样也考察了直线与 抛物线有唯一公共点的情形，但本题特殊之处在于，不需要 和以往类型的题目那样，通过联立方程，求根的判别式，逆 推法同样可行。对于函数综合中的几何部分，融合得较好。 最后一问看上去毫无头绪，实际上，只要对直线与抛物线有 唯一公共点有深入理解，几乎可以秒答。题目已知抛物线 C1:y=(x-1)2-4 和 C2:y=x2(1)如何将抛物线 C1平移得到抛物线 C2?(2)如图1,抛物线 C1与x轴正半轴交于点 A,直线 y=-4/3x+b经过点A,交抛物线C1于另一点B。请你在线段 AB上取点P,过点P作直线PQ/y轴
2、交抛物线 C1于点Q, 连接AQ若AP=AQ ,求点P的横坐标；若PA=PQ,直接写由点 P的横坐标；(3)如图2, ZWINE的顶点 M, N在抛物线 C2上，点 M 在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共 点，ME、NE均与y轴不平行。若WNE的面积为2,设M、 N两点的横坐标分别为 m、n,求m与n的数量关系。解析：(1)送分题，比较两抛物线的顶点坐标，由 (1,-4)到(0,0),向左1个单位，向上4个单位;(2)先按要求作曲线段 AB上的点P,它在不同位置，对应 本小题的和，当然，前期准备工作必不可少，我们先求 直线解析式，由抛物线 C1与x轴交点，求由点 A(3,0
3、),再 将点 A(3,0)代入 y=-4/3x+b ,求生 b=4,于是 y=-4/3x+4 :AP=AQ ,显然公PQ为等腰三角形，如下图：于是点P和点Q纵坐标互为相反数，抓住这一数量关系， 我们列方程特别简单。设 P(p, -4/3p+4), Q(p, (p-1)2-4),于 是得至k4/3p+4+(p-1)2-4=0,整理得 3P210p+3=0,解得 p=1/3;PA=PQ,显然PQ仍然是等腰三角形，不过腰为PA和PQ,如下图：我们依然可设 P(p,-4/3p+4) , Q(p,(p-1)2-4),于是 PQ=-4/3p+4-(p-1)2-4,在求AP的长时，其实可以利用三角函 数，直
4、线斜率为-4/3 ,因止匕tan / PAO=4/3 ,于是得到 AP=5/4(-4/3p+4)=-5/3p+5 ,可歹U方程-4/3p+4-(p-1)2-4=-5/3p+5 整理得 3t27t-6=0 ,解得 p=-2/3 ;(3)先研究直线与抛物线有唯一公共点时，我们通常做的 事，就是联立方程，而这个方程(一般是一元二次方程)有两个相等的实数根，我们的切入点就选在这里。点M的横坐标m一定是这个方程的根，且就是那两个相 等的实数根，而联立方程的化简后最终结果一定是(x-m)2=0,将它展开，并 还原”成联立方程的初始状态，得x2=2mx-m2,左边是抛物线的含自变量部分，右边一定是直线的自变
5、量部 分，所以可以得到直线 EM为y=2mx-m2,同理直线 EN为 y=2nx-n2,点E是它们的交点，联立方程得2mx-m2=2nx-n2,整理得x=(m+n)/2 ,于是得到点 E(m+n)/2,mn),至此E、M、 N坐标全部都用含 m、n的代数式表示由来，我们开始表示 EMN的面积，如下图：从刚才的推导过程中，我们其实可以发现，点E的横坐标恰为M、N横坐标和的一半，因此过点E作EF/y轴，它 与MN的交点F 一定是中点，即 F(m+n)/2,(m2+n2)/2),而 CM+DN=m-n ,所以4EMN的面积可表示为 1/2EF(m-n),把 EF=(m2+n2)/2-mn 代入，整理
6、后得 m-n=2.解题反思：作为二次函数压轴题，起手很容易，考察了坐标系内的 平移，过渡部分很平稳，选择了等腰三角形的存在性，并且 还不需要进行分类讨论，甚至第二个P点坐标可以直接写生来。而本题精华自然是最后一问，我在第一眼看到它之后， 下意识便开始用字母表示M点坐标，设E点坐标，然而1分钟后便醒悟了，这样的计算量是否太大？然后在思考唯一 公共点时，想到了判别式，想到了唯一交点，想到了两个相 等的实数根，最后便有了上述解法，而在AEMN的面积处理时，并没有采用补成梯形的方法，而是直接用EF分割成两个三角形，割补法，通常能割就能补。想通了这一层之后，再回顾这道题，瞬间感觉很简单，这种简单的基础，是对唯一公共点的深入理解，以及对斜率、三角函数的熟练运用，函数综合题，谁能高效使用这些知识， 便是胜者。
