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1、绝密启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理科）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分.一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知（i为虚数单位），则复数z= ( )A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i2.设A、B是两个集合，则”AB=A”是”AB”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.执行如图1所示的程序框图.如果输入，则输出的 ( ) A. B. C D. 4.若变量满足约束条件则的最小值
2、为 ( ) A.-7 B.-1 C.1 D.2 5.设函数,则是 ( )A.奇函数，且在上是增函数 B.奇函数，且在上是减函数 C.偶函数，且在上是增函数 D.偶函数，且在上是减函数 6.已知的展开式中含的项的系数为30，则 ( ) 7.在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为 ( )A.2386 B.2718 C.3413 D.4772附：若，则8.已知点在圆上运动,且ABBC，若点的坐标为则的最大值为 ( )A.6 B.7 C.8 D.99.将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图象，若对满足的,有,则= (
3、 )A. B. C. D.10.某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件的利用率为（材料的利用率= 新工件的体积/原工件的体积.） ( ) A. B. C. D.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.)11._.12.在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图4所示 若将运动员按成绩由好到差编为1-35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间139,151上的运动人数为_.13.设为等比数列前项和，若成等差数列，则 .14.设是双曲线的一个焦点，若上存在点，使
4、线段的中点恰为其虚轴的一个端点，则的离心率为 .15.已知函数若存在实数使函数有两个零点，则的取值范围是_.三、解答题(本大题共6小题，共75分。接答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)16.(本小题满分12分)本小题设有I、II、III三个选做题，请考生任选两题作答，并将解答过程写在答题纸中相应题号的答题区域内，如果全做，则按所做的前两题计分.I.(本题满分6分)选修4-1：几何证明选讲如图5,在圆中，相交于点E的两弦AB、CD的中点分别是M、 N，直线MO与直线CD相交于点F.证明：(i)；(ii).(本题满分6分)选修4-4；坐标系与参数方程已知直线(为参数),以坐标原点为极点，轴的正
5、半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(i)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(ii)设点M的直角坐标为直线与曲线的交点为,求的值.(本题满分6分)选修4-5；不等式选讲设.证明（）；（）不可能同时成立.17.（本体满分12分）设ABC的内角A，B，C的对边分别为,且为钝角.（）证明（）求的取值范围.18.（本小题满分12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球，5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球.再摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖. (1)求顾客抽奖
6、1次能获奖的概率； (2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.19.（本小题满分13分） 如图6，已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1 底面ABCD.点P，Q分别在棱DD1,BC上. (1)若P是DD1的中点,证明ABPQ. (2)若PQ/平面ABB1A1,二面角P-QD-A的余弦值为,求四面体ADPQ的体积.20（本小题满分12分）已知抛物线：的焦点F也是椭圆 ：的一个焦点，与的公共弦的长为. (I)求的方程； (II)过点的直线与相交于，两点，与相交于，两点.且与同向. (i)若，求直线的斜率；(ii)设在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线绕点F旋转时，MFD总是钝角三角形.21.（本小题满分13分）已知函数记为的从小到大的第个极值点，证明：(I)数列是等比数列；(II)若，则对一切恒成立.
