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1、数学思想方法与初中数学教学分类讨论专题数学思想方法在初中数学教学中的重要性在初中数学课程标准的总体目标中，明确地提出了：“通过义务教育阶段的数学学习，学生应能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”。新课程把基本的数学思想方法作为基础知识的重要组成部分，在数学课程标准中明确地提出来，这不仅是课程标准体现义务教育性质的重要表现，也是对学生实施创新教育、培养创新思维的重要保证。什么是数学思想方法？数学思想是对数学知识和方法本质的认识，是解决数学问题的根本策略，它直接支配着数学的实践活动；数学方法是解决问题的手段和工具，是解决数学问题时的程序、途
2、径，它是实施数学思想的技术手段。数学思想带有理论性特征，而数学方法具有实践性的特点，数学问题的解决离不开以数学思想为指导，以数学方法为手段。数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一，数学思想方法揭示了概念、原理、规律的本质，是沟通基础与能力的桥梁。 在初中数学教学中，常见的数学思想有：转化思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等等；常见的数学方法有：待定系数法、配方法、换元法、分析法、综合法、类比法等等。在初中数学教学中，渗透数学思想方法，可以克服就题论题，死套模式，数学思想方法可以帮助我们加强思路分析，寻求已知和未知的联系，提高分析解决问题的能力，从而
3、使思维品质和能力有所提高。提高学生的数学素质、必须紧紧抓住数学思想方法这一重要环节，因为数学思想方法是提高学生的数学思维能力和数学素养的重要保障。在初中数学教材中集中了大量的优秀例题和习题，它们所体现的数学知识和数学方法固然重要，但其蕴涵的数学思想却更显重要，作为初中数学教师，要善于挖掘例题、习题的潜在功能。在初中数学教学中，教师应向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助学生在自主探索和合作交流的过程中，真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。学生只有领会了数学思想方法，才能有效地应用知识，形成能力
4、，从而为解决数学问题、进行数学思维起到很好的促进作用。因此，在初中数学教学中，教师必须重视对学生进行数学思想方法的渗透与培养。我下面主要对分类讨论思想做一下分析分类讨论思想是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法，当被研究的问题包含多种可能的情况不能一概而论时，就要按照可能出现的各种情况进行分类讨论，从而得出各种情况下的结论，这种处理问题的思维方法就是分类讨论思想。分类思想已渗透到中学数学的各个方面，如概念的定义、定理的证明、法则的推导等，也渗透到问题的具体解决之中，如含有绝对值符号的代数式的处理、根式的化简、图形的讨论等，这些问题若不分类讨论，就会无从着手或顾此失彼，导致错误的发生。比如，
5、在有关绝对值的概念中，当去掉绝对值符号时，便要把绝对值内的字母分大于0，小于0，等于 0三种情况进行讨论；若已知=3，=2，求的值。在解这道题时，由=3，得到或，由=2，得到或。因此，对于的取值，应分四种情况讨论，当，时，的值为5；当，时，的值为1；当，时，的值为1；当，时，的值为5，即的值为5；1；1；5。在解这个数学问题时，由于它的结果可能不唯一，因此需要对可能出现的情况一一加以讨论。在运用分类讨论思想研究问题时，必须做到“不重、不漏”，而且要按照相同的标准进行讨论，只有掌握了分类讨论思想，在解题时才不会出现漏解的情况。在渗透分类讨论思想的过程中，首要的是分类。教师要培养学生分类的意识，然
6、后才能引导学生在分类的基础上进行讨论。我们仔细分析教材的话应该不难发现，教材对于分类讨论思想的渗透是一直坚持而又明显的。比如在研究相反数、绝对值、有理数的乘法运算的符号法则等都是按有理数分成正数、负数、零三类分别研究的；在研究加、减、乘、除四种运算法则时也是按照同号、异号、与零运算这三类分别研究的；而在初中几何教学中，用分类讨论思想进行了角的分类、点和直线的位置关系的分类、两条直线位置关系的分类；在函数教学中将函数图象分为开口方向向上、向下，自变量的增、减来进行研究；在圆的教学中按圆心距与两圆半径之间的大小关系将两圆的位置关系进行了分类。从功能上看，这种分类讨论思想可以避免漏解、错解情况的出现
7、，从学生的思维品质上看，分类讨论思想有利于培养学生的思维严谨性与逻辑性。渗透分类讨论的思想方法，对培养学生全面观察事物、灵活处理问题的能力有积极促进作用。下面我以冀教版九年级数学上册第27章第2节 “圆周角”的教学为例，谈一谈教学中的一些设计与感受。1教学背景分析本节课是在学生掌握了圆的有关概念、圆的对称性、圆心角等知识的基础上，重点研究圆周角的概念以及圆周角定理，圆周角不仅与圆心角之间关系十分密切，而且在进行角的有关计算、证明角相等、弧相等、弦相等、研究圆内接四边形、判定相似三角形等常见几何问题中具有重要的作用，尤其是利用完全归纳法探索圆周角定理的过程，对培养学生分类讨论、转化等数学思想方法
8、以及从特殊到一般的认知规律具有促进作用。因此，我确定了本节课的教学重点是：圆周角的概念和圆周角定理。我所任教的初三年级学生，从知识上看，已掌握了圆的有关概念、圆的对称性、圆心角等知识，从思维上看，能够比较主动的进行观察、实验、比较、猜想、证明等数学思维活动，这对于本节课的学习很有帮助，但由于圆周角定理的证明，需要分三种情况进行讨论逐一证明，这对于学生较为生疏，很难把相关知识完整地纳入已有的知识系统，在教学中我力图通过直观展示、动手试验、验证探索圆周角定理，使学生逐步体会分类讨论、转化等数学思想方法以及特殊到一般的认知规律。因此，我确定了本节课的教学难点是：圆周角定理的证明及其应用。根据数学课程
9、标准中关于“圆周角”的教学要求，和对教材、学生的分析，结合我班学生已有的经验和知识基础，我确定了本节课的教学目标： 了解圆周角与圆心角之间的关系，理解圆周角的概念，掌握圆周角定理，能熟练运用圆周角定理进行有关证明和计算； 经历观察、实验、比较、猜想、证明等探索圆周角定理的过程，体会转化、分类讨论的数学思想方法以及从特殊到一般的认识规律； 在合作交流活动中，享受自主探究发现知识的乐趣，在几何图形的运动变化中，感受变化美、动态美，培养学生勇于探索和勤于思考的精神。2教学过程的设计创设情境，导入新课首先从学生已掌握的旧知识出发，提出问题：什么叫圆心角？图1中AOB的特点是什么？有哪些相关的性质？学生
10、思考后回答，师生共同纠正评价，进一步明确：顶点在圆心的角叫圆心角；在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等。然后我用多媒体展示在北京海洋馆里人们通过圆弧形玻璃窗AB观看窗内神奇的海底世界的图片，如图2，同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，同学丙和丁分别站在其他靠墙的位置D和E。在学生理解题意后，向学生提问：你知道哪位同学的观赏角度最好吗？学生结合图形大胆猜想，猜想的结果是否正确，并不给出明确的答案，而是设置一个悬念，并向学生说明：通过今天的学习，我们就可以解决这个问题，从而引入本节课的课题圆周角。合作探究，学习新知首先引导学生认识圆周角。提
11、出问题1：在图2中，AOB的顶点在圆心，AOB是圆心角；ACB、ADB和AEB这三个角有什么共同的特征吗？学生独立思考，回答问题后，师生共同纠正评价，明确共同的特征是：角的顶点在圆周上；角的两边都和圆相交。提出问题2：你能尝试叙述一下“圆周角”的概念吗？学生通过类比回答问题，师生修改、补充、达成共识得到圆周角的概念：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。提出问题3：圆周角与圆心角的概念有什么区别、联系吗？学生独立思考进行回答，其他学生补充完善后，我利用多媒体课件指出圆周角与圆心角概念之间的区别、联系：图形角的顶点角的两边圆心角AOB在圆心两边和圆相交（不必强调）圆周角ACB在圆上两边和圆相
12、交（必须强调）提出问题4:判断下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。学生独立思考后回答问题，图（3）（6）（8）中的角是圆周角。及时给予鼓励评价，并由学生总结强调：圆周角的概念中两个特征缺一不可：顶点在圆上；两边和圆相交。顺势引导学生观察图（3）（6）（8）中三个圆周角的位置特征，继续提问：问题5:圆心与圆周角之间存在几种不同的位置关系？学生先独立思考，再与同桌交流，借助几何画板，从运动的观点引导学生观察归纳，师生达成共识后明确指出：圆心与圆周角之间存在三种位置关系。圆心在角的一边上；圆心在角的内部；圆心在角的外部。为圆周角定理的分类证明做好铺垫，渗透分类讨论思想。然后我引导学生探究圆周角
13、的性质观察实验，测量比较同学们分成小组，先在学案纸上任意画同一条弧AB所对的圆心角和圆周角，再用量角器分别度量出这两个角的大小，填入表格中，并比较它们在度数之间有怎样的关系？参与学生小组活动，对于发现规律的学习小组，给予及时的表扬，并鼓励他们用准确简练的语言，归纳概括提出猜想。对于没有发现规律的小组，引导学生根据圆心与圆周角不同的位置关系，正确画出图形，渗透分类讨论思想，并测量比较圆心角和圆周角度数之间的关系，帮助他们发现规律。提出猜想，直观验证在学生分小组进行观察实验、度量比较、充分讨论的基础上，请小组代表阐述本组合作交流、探究发现的规律，提出猜想：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
14、。适时地利用几何画板进行直观演示，验证学生提出的猜想。拖动点C，观察到弧AB所对的圆周角虽然有无数个，但度量AOB和ACB的度数后，发现：圆周角ACB都等于它所对的圆心角AOB的一半。拖动点A，改变弧AB的大小，观察发现上述规律不变，即ACB=AOB。推理证明，归纳性质在几何画板直观验证的基础上，让学生分小组进一步对猜想进行推理证明。积极参与学生小组活动，对于能正确书写推理证明过程的学习小组，给予及时的鼓励表扬，并引导学生反思总结：在证明过程中，你运用了哪些数学思想方法？对于证明有困难的学习小组，分三步给予启发引导：第一步：让学生结合图形正确写出已知和求证；第二步：引导学生分三种情况进行讨论。
15、从第一种“圆心在角的一边上”的特殊情况开始，利用“三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质”加以证明；第三步：引导学生把其他两种一般情况“圆心在角的内部或外部”，通过添加直径这条辅助线，转化为第一种“圆心在角的一边上”的特殊情况来解决。给予学生足够多的时间，让学生进行充分的讨论证明，然后请小组代表运用实物投影进行展示交流，和学生共同进行修改、补充和完善，并用多媒体课件展示规范的推理证明过程，最后由学生总结概括得到圆周角定理，老师进行板书。圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。已知：在中，所对的圆周角是ACB，圆心角是AOB。求证：证明： 如图1，圆心O在ACB的边上 OC =OB，B =CAOB是OBC中COB的外角，AOB = C+ BAOB = 2ACB 即ACB = AOB 如图2，圆心O在ACB的内部作直径CD，利用（1）的结果，有ACD =AOD ，BCD =BODACD + BCD =（AOD +BOD）即ACB =AOB 如图3，圆心O在ACB的外部作直径CD，利用（
