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1、 长 沙 第 七 中 孙贤忠 在数学解题中类比法的应用长沙第七中学 孙贤忠 “类比是一个伟大的引路人”(波利亚)。“每当理智缺乏可靠论证的思路时,类比这个方法往往能指引我们前进”(康德)。 所谓类比(即类比推理)就是依据两个对象的已知相似性,有可能把一个(数学)对象的特殊知识转移到另一个数学对象上去,从而获得对后一个对象的新知识。 在数学解题过程中,当我们的思维遇到障碍时,运用类比推理,往往能实现知识的正迁移,将已学过的知识或已掌握的解题方法迁移过来,“柳暗花明又一村”。例如: 已知:x,y,z 均为正实数 求证: 分析:本题好像无从着手,但我们从整体上观察结论知:“三角形两边之和大于第三边”
2、与其相似,而被开方式与余弦定理相类比,从而设法构造一个三角形,用几何知识证明。 证明:作,如图, AOB=BOC=COA= 令OA=x, OB=y, OC=z 由余弦定理可得: AB= AC= BC= AB+ACBC 故原式得证。可见,类比在数学解题中有着十分重要的作用。类比推理可用如下图式描述: 类比根据 其中分别与相同或相似, 推论:B类对象也具有与d相同或相似的属性d。 我们知道正三角形内任一点P到各边距离之和为常数。分别从三条边相等与三个角相等类比,“在各边相同的凸多边形内任一点P到各边距离之和为常数”和“在各角相等的凸多边形内任一点P到各边距离之和为常数”。可以证明这两个命题都是正确
3、的(利用面积法证明)。 常用的类比有: 1、平面与空间的类比 把立体几何知识与相关的平面几何知识类比,是实现知识迁移的有效方法,也利于化难为易,启迪思维。如,关于勾股定理,可有几个类比:勾股定理:在直角边长为a,b,斜边长为c的直角三角形中,有 类比1:长、宽、高分别为p,q,r,对角线长为d的长方体中,有 类比2:长方体交于某一顶点的三个长方形面的对角线长分别为p,q,r,长方体对角线长为d,则有 类比3:四面体交于一个顶点O的三条棱两两互相垂直,与O相邻的三个面的面积分别为A,B,C,与O相对的面的面积为D,则有: 2、数与形的类比在数学研究中,数与形的类比经常在相反的方向上得到应用。即通
4、过与“形”的比较去推测“数”的有关性质,又通过与“数”的比较去推测“形”的有关性质。例:已知求k的值。分析:类比两直线 l1:ax+by+c=0与 l2:(b+c)x+(c+a)y+(a+b)=0重合 则有(a+b+c)(x+y)+(a+b+c)=0又例:k为何值时,方程组有一组解? 两组解? 无解? 利用数与形类比,解法直观,简单明了。方程组有一组解,即直线与半圆只有一个交点;有二组解,即直线与半圆有两个交点;无解,即直线与半圆无交点。所以,当时有两解; 当时有一组解; 当时无解。再例:过正方形ABCD的顶点C作任一直线与AB、AD的延长线分别与E、F,求证AE+AF4AB分析:原结论稍加变
5、形为(AE+AF)24AB(AE+AF)类比二次方程判别式 ,构造一元二次方程。证:如图,设AB=,AE=x, AF=y , 即 xy-a(x+y)=0, 又设x+y=m, 则y=m-x. 代入xy-a(x+y)=0, 得:x2-mx+ma=0 x为正实数,=m2-4ma0,即m4a AE+AF4AB 3、解题方法上的类比例:若求证:2y=x+z(即x,y,z成等差数列)分析:通过类比,类比为一元二次方程的根与系数的关系来解,构造一元二次方程因为1是方程的解,所以方程有两相等实根,都为1。由韦达定理,两根之积为 4、有限与无限的类比例:因为圆可看成是正多边形当边数趋于无穷时的极限情形。因此,依据“三角形的面积等于底与高的乘积的一半”的结论,可证:正多边形的面积等于周长与边心距乘积的一半。从而类比出:圆的面积等于其周长与半径乘积的一半,即,显然正确。当然,类比结果的正确性必须经严格的逻辑证明,“未加证明的结论(猜想)与真理是有本质区别的”。如“平面上,垂直于同一条直线的两条直线互相平行”,类推到空间,命题显然不成立。二七年二月十八日星期日 第 页