第十章第5节 直线与圆锥曲线

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1、第十章 圆锥曲线第五节 直线与圆锥曲线题型126 直线与圆锥曲线的位置关系2013年1. (2013天津文18)设椭圆的左焦点为,离心率为,过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为(1) 求椭圆的方程;(2) 设, 分别为椭圆的左右顶点,过点且斜率为的直线与椭圆交于,两点若,求的值2.(2013山东文22)在平面直角坐标系中,已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,短轴长为,离心率为(1)求椭圆的方程;(2),为椭圆上满足的面积为的任意两点,为线段的中点,射线 交椭圆于点,设,求实数的值3. (2013安徽文21)已知椭圆的焦距为,且过点.(1)求椭圆的方程;(2)设为椭圆上一点,过点作轴的垂线,垂

2、足为.取点,连接,过点作的垂线交轴于点.点是点关于轴的对称点,作直线,问这样作出的直线是否与椭圆一定有唯一的公共点?并说明理由.2014年1.(2014湖北文8)设是关于的方程的两个不等实根,则过,两点的直线与双曲线的公共点的个数为( ).A B C D2.(2014大纲文22)已知抛物线C:的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且.()求C的方程;()过F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线与C相交于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求l的方程.2015年1.(2015安徽文20)设椭圆的方程为,点为坐标原点,点 的坐标为,点的坐标为,点在线段上,满足

3、,直线的斜率为.(1)求的离心率; (2)设点的坐标为,为线段的中点,求证:.1. 分析(1)由且,可得.又因为的斜率为,所以,根据椭圆的性质,即可求出离心率;(2)由题意可知点的坐标为,所以,推出 ,即可证明结果.解析 (1)由,且,可得.又因为的斜率为,所以,则,即,亦即,得.(2)由题意可知点的坐标为,所以,所以,所以.2. (2015北京文20)已知椭圆,过点且不过点的直线与椭圆交于,两点,直线与直线交于两点.(1)求椭圆的离心率;(2)若垂直于轴,求直线的斜率;(3)试判断直线与直线的位置关系,并说明理由.2. 解析(1)椭圆即,离心率.(2)若垂直于轴,则所在的直线方程为,不妨设,

4、.又,直线所在的方程为:,联立直线与直线的方程,得,故直线的斜率是1.(3)由(2)知,当垂直于轴时,直线的斜率为1,且,得,故直线与直线平行.若直线不垂直于轴时,直线与直线也保持平行的位置关系.下面来进行验证,即验证.设,直线的方程为,令,得,要证明,只需证明,即, 联立直线与椭圆方程,消建立关于的一元二次方程得,.将式整理得将,代入上式的左边得:右边.因此,直线的斜率为1,说明直线与直线的位置关系是平行.3.(2015江苏18)如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,且右焦点到直线(其中)的距离为(1)求椭圆的标准方程;(2)过的直线与椭圆交于两点,线段的垂直平分线分别交直线和于点,

5、若,求直线的方程3. 解析 (1)由题意得,故,即,从而,故椭圆的标准方程为(2)解法一(正设斜率):若的斜率不存在时,则方程为,此时,易知此时,不满足题意;当的斜率为0时,此时亦不满足题意;因此斜率存在且不为0,不妨设斜率为,则方程,不妨设,联立直线与椭圆,即,因为点在椭圆内,故恒成立,所以,故,又,故,因为,故,即,即,整理得,即,即,解得,从而直线方程为或解法二(反设):由题意,直线的斜率必不为0,故设直线方程为,不妨设,与椭圆联立,整理得,因为点在椭圆内,故恒成立,故,因此,则点的纵坐标为,于是点的横坐标为,又,故,所以,因为可得,化简得,即,化简得,计算得,从而直线方程为或.2016

6、年1.(2016浙江文19)如图所示,设抛物线的焦点为,抛物线上的点到轴的距离等于.(1)求的值;(2)若直线交抛物线于另一点,过与轴平行的直线和过与垂直的直线交于点,与轴交于点.求的横坐标的取值范围.1.解析 (1)因为抛物线上点到焦点的距离等于点到准线的距离,由已知条件得,即.(2)由(1)知抛物线的方程为,可设,.由题知不垂直于轴,可设直线,由消去得,故,所以.又直线的斜率为,故直线的斜率为,从而直线,直线,所以.设,由,三点共线得:,整理得,(,),此函数为偶函数,且和上单调递减,分析知或.所以点的横坐标的取值范围是.2.(2016全国乙文20)在直角坐标系中,直线交轴于点,交抛物线于

7、点,关于点的对称点为,联结并延长交于点.(1)求;(2)除以外,直线与是否有其他公共点?请说明理由.2.解析 (1)如图所示,由题意不妨设,可知点的坐标分别为,从而可得直线的方程为,联立方程,解得,.即点的坐标为,从而由三角形相似可知.(2)由于,可得直线的方程为,整理得,联立方程,整理得,则,从而可知和只有一个公共点.2017年1.(2017全国1文20)设,为曲线上两点,与的横坐标之和为4.(1)求直线的斜率;(2)设为曲线上一点,在处的切线与直线平行,且,求直线的方程.1.解析 (1)不妨设,则,即直线的斜率为(2)设,由的导函数知在处的切线斜率为,所以,故因为,易知的斜率存在且不为,因

8、此,即 设直线的方程为,与抛物线联立得,所以,故,由根与系数的关系知,代入式得,解得,符合题意,因此直线的方程为评注 此题这一条件,也可以转化成向量数量积为,利用坐标的来解决,但用向量法计算得到或,注意联立后保证2.(2017江苏卷17)如图所示,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为,离心率为,两准线之间的距离为点在椭圆上,且位于第一象限,过点作直线的垂线,过点作直线的垂线(1)求椭圆的标准方程;(2)若直线的交点在椭圆上,求点的坐标2.解析 (1)设椭圆的半焦距为,由题意,解得,因此,所以椭圆的标准方程为(2)由(1)知,设,因为点为第一象限的点,故当时,与相交于,与题设不符当时,直线

9、的斜率为,直线的斜率为因为,所以直线的斜率为,直线的斜率为,从而直线的方程为 直线的方程为 联立,解得,所以因为点在椭圆上,由对称性得,即或又点在椭圆上,故由,解得;由,无解因此点的坐标为题型127 弦长与面积及最值问题2013年1.(2013湖北文22) 如图,已知椭圆与 的中心坐标原点,长轴均为且在轴上,短轴长分别为,(),过原点且不与轴重合的直线与,的四个交点按纵坐标从大到小依次为记, 和的面积分别为和(1) 当直线与轴重合时,若,求的值;(2) 当变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线,使得?并说明理由第22题图 2. (2013重庆文21) 如图,椭圆的中心为原点,长轴在轴上,离心率,

10、过左焦点作 轴的垂线交椭圆于两点,.(1)求该椭圆的标准方程;(2)取平行于轴的直线与椭圆相交于不同的两点,过作圆心为的圆,使椭圆上的其余点均在圆外,求的面积的最大值,并写出对应圆的标准方程.3. (2013湖南文20)已知,分别是椭圆的左、右焦点,关于直线的对称点是圆 的一条直径的两个端点.(1)求圆的方程;(2)设过点的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为,.当最大时,求直线的方程.2014年1(2014新课标文10)设为抛物线的焦点过且倾斜角为的直线交于两点则( )A B. C. D.2.(2014四川文10)已知为抛物线的焦点,点,在该抛物线上且位于轴的两侧,(其中为坐标原点),则与面积之

11、和的最小值是( ).A. B. C. D.3.(2014陕西文20)已知椭圆经过点,离心率为,左、右焦点分别为,.(1)求椭圆的方程;(2)若直线与椭圆交于A,B两点,与以为直径的圆交于两点,且满足求直线的方程.4.(2014湖南文20)如图所示,为坐标原点,双曲线和椭圆均过点,且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(1)求的方程;(2)是否存在直线,使得与交于两点,与只有一个公共点,且?证明你的结论.5.(2014四川文20)已知椭圆:的左焦点为,离心率为.(1)求椭圆的标准方程;(2)设为坐标原点,为直线上一点,过作的垂线交椭圆于,.当四边形是平行四边形时,求四边形的

12、面积.6.(2014山东文21)在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程;(2)过原点的直线与椭圆交于两点(不是椭圆的顶点). 点在椭圆上,且,直线与轴、轴分别交于两点.(i)设直线的斜率分别为,证明存在常数使得,并求出的值;(ii)求面积的最大值.6. (2014浙江文22)已知的三个顶点都在抛物线上,为抛物线的焦点,点为的中点,;(1)若,求点的坐标;(2)求面积的最大值.2015年1.(2015全国I文5)已知椭圆的中心在坐标原点,离心率为,的右焦点与抛物线的焦点重合,是的准线与的两个交点,则( ).A. 3 B. 6 C. 9 D. 121.B

13、解析 的焦点为,准线方程为.由得右焦点与的焦点重合,可得.又,得,所以椭圆方程为.当时,得,即.故选B.2.(2015全国I文16)已知是双曲线:的右焦点,是的左支上一点, ,当周长最小时,该三角形的面积为 2. 解析 由题意作图,如图所示.由双曲线的定义知,.所以.又,所以,所以当点,在同一条直线上时,周长取得最小值.所在直线方程为,同理直线的方程为.联立,解得.则.又,所以.3.(2015湖南文20)已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点,与的公共弦长为,过点的直线与相交于,两点,与相交于,两点,且与同向.(1)求的方程;(2)若,求直线的斜率.3.解析 (1)由知其焦点的坐标为,因为也是椭圆的一个焦点,所以; 又与的公共弦长为,与都关于轴对称,且的方程为,由此易知与的公共点的坐标为,所以, 联立得,故的方程为.(2)如图所示,设,因与同向,且,所以,从而,即,于是 设直线的斜率为,则的方程为,由得,由是这个方程的两根,由得,而是这个方程的两根, 将,代入,得.即所以,解得,即直线的斜率为.4.(2015天津文19)已知椭圆的

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