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1、高考数学精品复习资料 2019.5第3讲函数的奇偶性与周期性考纲展示命题探究奇偶性的定义及图象特点奇函数偶函数定义如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数图象特点关于原点对称关于y轴对称注意点判断函数的奇偶性时需注意两点(1)对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义进行判断，同时应注意化简前后的等价性(2)所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性.1思维辨析(1)函数具备奇偶性的必要条件是函数的定义域在x轴上是关于坐标原点对称的()(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(
2、0)0.()(3)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称()(4)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)关于点(b,0)中心对称()(5)函数f(x)0，x(0，)既是奇函数又是偶函数()(6)若函数f(x)为奇函数，则a2.()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)2已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是()A B.C.D答案B解析由已知得a12a0，得a，又f(x)为偶函数，f(x)f(x)，b0，所以ab.3下列函数为奇函数的是()Ay2xByx3sinxCy2cosx1Dyx22x答案A解析由函数奇偶性的定义知，B、C中的函数为
3、偶函数，D中的函数为非奇非偶函数，只有A中的函数为奇函数，故选A.考法综述判断函数的奇偶性是比较基础的问题，难度不大，常与函数单调性相结合解决求值和求参数问题，也与函数的周期性、图象对称性在同一个题目中出现主要以选择题和填空题形式出现，属于基础或中档题目命题法判断函数的奇偶性及奇偶性的应用典例(1)下列函数为奇函数的是()AyBy|sinx|CycosxDyexex(2)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数D|f(x)g(x)|是奇函数解析(1
4、)因为函数y的定义域为0，)，不关于原点对称，所以函数y为非奇非偶函数，排除A；因为y|sinx|为偶函数，所以排除B；因为ycosx为偶函数，所以排除C；因为yf(x)exex，f(x)exex(exex)f(x)，所以函数yexex为奇函数，故选D.(2)由题意可知f(x)f(x)，g(x)g(x)，对于选项A，f(x)g(x)f(x)g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故A项错误；对于选项B，|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故B项错误；对于选项C，f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数
5、，故C项正确；对于选项D，|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故D项错误，选C.答案(1)D(2)C【解题法】判断函数奇偶性的方法(1)定义法(2)图象法1下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()AycosxBysinxCyln xDyx21答案A解析ycosx是偶函数且有无数多个零点，ysinx为奇函数，yln x既不是奇函数也不是偶函数，yx21是偶函数但没有零点，故选A.2若函数f(x)是奇函数，则使f(x)3成立的x的取值范围为()A(，1)B(1,0)C(0,1)D(1，)答案C解析f(x)，由f(x)f(x)得，即1a2x2x
6、a，化简得a(12x)12x，所以a1，f(x).由f(x)3得0x0时，f(x)x24x，则不等式f(x)x的解集用区间表示为_答案(5,0)(5，)解析f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)0.又当x0，f(x)x24x.又f(x)为奇函数，f(x)f(x)，f(x)x24x(x0时，由f(x)x得x24xx，解得x5；当x0时，f(x)x无解；当xx得x24xx，解得5xx的解集用区间表示为(5,0)(5，)8已知函数f(x)exex，其中e是自然对数的底数(1)证明：f(x)是R上的偶函数；(2)若关于x的不等式mf(x)exm1在(0，)上恒成立，求实数m的取值范围；(3)已知正数a
7、满足：存在x01，)，使得f(x0)0)，则t1，所以m对任意t1成立因为t11213，所以，当且仅当t2，即xln 2时等号成立因此实数m的取值范围是.(3)令函数g(x)exa(x33x)，则g(x)ex3a(x21)当x1时，ex0，x210，又a0，故g(x)0，所以g(x)是1，)上的单调增函数，因此g(x)在1，)上的最小值是g(1)ee12a.由于存在x01，)，使ex0ex0a(x3x0)0成立，当且仅当最小值g(1)0，故ee12a.令函数h(x)x(e1)ln x1，则h(x)1.令h(x)0，得xe1.当x(0，e1)时，h(x)0，故h(x)是(e1，)上的单调增函数所
8、以h(x)在(0，)上的最小值是h(e1)注意到h(1)h(e)0，所以当x(1，e1)(0，e1)时，h(e1)h(x)h(1)0；当x(e1，e)(e1，)时，h(x)h(e)0.所以h(x)0对任意的x(1，e)成立当a(1，e)时，h(a)0，即a1(e1)ln a，从而ea1h(e)0，即a1(e1)ln a，故ea1ae1.综上所述，当a时，ea1ae1.1周期函数对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期2最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那
9、么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期注意点常见的有关周期的结论周期函数yf(x)满足：(1)若f(xa)f(xa)，则函数的周期为2a.(2)若f(xa)f(x)，则函数的周期为2a.(3)若f(xa)，则函数的周期为2a.1思维辨析(1)若函数f(x)满足f(0)f(5)f(10)，则它的周期T5.()(2)若函数f(x)的周期T5，则f(5)f(0)f(5)()(3)若函数f(x)关于xa对称，也关于xb对称，则函数f(x)的周期为2|ba|.()(4)函数f(x)在定义域上满足f(xa)f(x)(a0)，则f(x)是周期为a的周期函数()(5)函数f(x)为R上的奇函数，且f(x2)
10、f(x)，则f(20xx)0.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意xR都有f(x4)f(x)f(2)，则f(20xx)等于()A0B3C4D6答案A解析f(x)是定义在R上的偶函数，f(2)f(2)，f(24)f(2)f(2)f(2)2f(2)，f(2)0，f(20xx)f(45032)f(2)503f(2)f(2)0，故选A.3设f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)2x(1x)，则f_.答案解析f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)2x(1x)，fff.考法综述函数周期性的考查在高考中主要以选择题、填空题形式出现常与函数的奇偶性、图象对称性结合
