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1、-高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：一些初等函数： 两个重要极限：和差化积公式：积化和差公式：倍角公式：半角公式：正弦定理：余弦定理：反三角函数性质：高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式：中值定理与导数应用：曲率：定积分的近似计算：定积分应用相关公式：空间解析几何和向量代数：多元函数微分法及应用微分法在几何上的应用：方向导数与梯度：多元函数的极值及其求法：重积分及其应用：柱面坐标和球面坐标：曲线积分：曲面积分：高斯公式：斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：常数项级数：级数审敛法：绝对收敛与条件收敛：幂级数：函数展开成幂级数：一些函数展开成幂级数：欧拉公式：三角级数
2、：傅立叶级数：周期为的周期函数的傅立叶级数：微分方程的相关概念：一阶线性微分方程：全微分方程：二阶微分方程：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*)式的通解两个不相等实根两个相等实根一对共轭复根二阶常系数非齐次线性微分方程概率公式整理1随机事件及其概率吸收律：反演律：2概率的定义及其计算若对任意两个事件A, B, 有加法公式：对任意两个事件A, B, 有3条件概率乘法公式全概率公式Bayes公式4随机变量及其分布分布函数计算5离散型随机变量(1) 0 1 分布(2) 二项分布 若P ( A ) = p *Possion定理有 (3) Poisson 分布 6连续型随机变量(1) 均匀分布 (
3、2) 指数分布 (3) 正态分布 N (m,s2 )*N (0,1) 标准正态分布7.多维随机变量及其分布二维随机变量( * ,Y )的分布函数边缘分布函数与边缘密度函数8.连续型二维随机变量(1)区域G 上的均匀分布，U ( G )(2)二维正态分布9.二维随机变量的条件分布10.随机变量的数字特征数学期望随机变量函数的数学期望* 的k阶原点矩* 的k阶绝对原点矩* 的k阶中心矩* 的方差* ,Y 的k + l阶混合原点矩* ,Y 的k + l阶混合中心矩* ,Y 的二阶混合原点矩* ,Y 的二阶混合中心矩 * ,Y 的协方差* ,Y 的相关系数* 的方差D (* ) = E (* - E(
4、*)2) 协方差相关系数线性代数部分 梳理：条理化，给出一个系统的，有内在有机结构的理论体系。 沟通：突出各部分内容间的联系。 充实提高：围绕考试要求，介绍一些一般教材上没有的结果，教给大家常见问题的实用而简捷的方法。 大家要有这样的思想准备：发现我的讲解在体系上和你以前学习的有所不同，有的方法是你不知道的。但是我相信，只要你对它们了解了，掌握了，会提高你的解题能力的。基本运算或。转置值不变逆值变，3阶矩阵有关乘法的基本运算 线性性质 ， 结合律 不一定成立！，与数的乘法的不同之处不一定成立！无交换律 因式分解障碍是交换性 一个矩阵的每个多项式可以因式分解，例如无消去律（矩阵和矩阵相乘） 当时
5、或 由和由时（无左消去律）特别的设可逆，则有消去律。 左消去律：。 右消去律：。如果列满秩，则有左消去律，即可逆矩阵的性质i）当可逆时，也可逆，且。也可逆，且。 数，也可逆，。ii），是两个阶可逆矩阵也可逆，且。 推论：设，是两个阶矩阵，则 命题：初等矩阵都可逆，且 命题：准对角矩阵可逆每个都可逆，记伴随矩阵的基本性质： 当可逆时， 得， （求逆矩阵的伴随矩阵法） 且得： 伴随矩阵的其他性质,，。 时， 关于矩阵右上肩记号：，*i) 任何两个的次序可交换， 如，等ii)，但不一定成立！线性表示有解有解有解，即可用A的列向量组表示， 则。，则存在矩阵，使得 线性表示关系有传递性 当， 则。 等价
6、关系：如果与互相可表示 记作。线性相关，单个向量，相关，相关对应分量成比例 相关向量个数=维数，则线性相（无）关，有非零解如果，则一定相关的方程个数未知数个数如果无关，则它的每一个部分组都无关如果无关，而相关，则 证明：设不全为0，使得 则其中，否则不全为0，与条件无关矛盾。于是。当时，表示方式唯一无关 （表示方式不唯一相关）若，并且，则一定线性相关。 证明：记，则存在矩阵，使得 。有个方程，个未知数，有非零解，。 则，即也是的非零解，从而线性相关。各性质的逆否形式如果无关，则。如果有相关的部分组，则它自己一定也相关。如果无关，而，则无关。如果，无关，则。推论：若两个无关向量组与等价，则。极大
7、无关组一个线性无关部分组，若等于秩，就一定是极大无关组无关 另一种说法： 取的一个极大无关组也是的极大无关组相关。 证明：相关。可用唯一表示矩阵的秩的简单性质行满秩：列满秩：阶矩阵满秩：满秩的行（列）向量组线性无关可逆只有零解，唯一解。矩阵在运算中秩的变化初等变换保持矩阵的秩时，可逆时， 弱化条件：如果列满秩，则 证：下面证与同解。是的解是的解可逆时，若，则（的列数，的行数）列满秩时行满秩时解的性质1的解的性质。 如果是一组解，则它们的任意线性组合一定也是解。 2如果是的一组解，则也是的解是的解特别的：当是的两个解时，是的解如果是的解，则维向量也是的解是的解。解的情况判别 方程：，即有解无解唯
8、一解无穷多解 方程个数：当时，有解当时，不会是唯一解 对于齐次线性方程组， 只有零解（即列满秩） （有非零解）特征值特征向量是的特征值是的特征多项式的根。 两种特殊情形： （1）是上（下）三角矩阵，对角矩阵时，特征值即对角线上的元素。 （2）时：的特征值为特征值的性质 命题：阶矩阵的特征值的重数 命题：设的特征值为，则 命题：设是的特征向量，特征值为，即，则对于的每个多项式，当可逆时， 命题：设的特征值为，则的特征值为可逆时，的特征值为的特征值为的特征值也是特征值的应用求行列式判别可逆性是的特征值不可逆可逆不是的特征值。当时，如果，则可逆 若是的特征值，则是的特征值。不是的特征值可逆。n阶矩阵
9、的相似关系 当时，而时，。 相似关系有i）对称性：，则 ii）有传递性：，则，则 命题 当时，和有许多相同的性质，的特征多项式相同，从而特征值完全一致。与的特征向量的关系：是的属于的特征向量是的属于的特征向量。正定二次型与正定矩阵性质与判别可逆线性变换替换保持正定性变为，则它们同时正定或同时不正定，则，同时正定，同时不正定。 例如。如果正定，则对每个 （可逆，！）我们给出关于正定的以下性质正定存在实可逆矩阵，。的正惯性指数。的特征值全大于。的每个顺序主子式全大于。 判断正定的三种方法：顺序主子式法。特征值法。定义法。基本概念对称矩阵。反对称矩阵。简单阶梯形矩阵：台角位置的元素都为1 ，台角正上
10、方的元素都为0。如果是一个阶矩阵，是阶梯形矩阵是上三角矩阵，反之不一定 矩阵消元法：（解的情况）写出增广矩阵，用初等行变换化为阶梯形矩阵。用判别解的情况。i）如果最下面的非零行为，则无解，否则有解。ii）如果有解，记是的非零行数，则时唯一解。时无穷多解。iii）唯一解求解的方法（初等变换法） 去掉的零行，得，它是矩阵，是阶梯形矩阵，从而是上三角矩阵。 则都不为。就是解。一个阶行列式的值：是项的代数和每一项是个元素的乘积，它们共有项 其中是的一个全排列。 前面乘的应为的逆序数代数余子式为的余子式。定理：一个行列式的值等于它的*一行（列），各元素与各自代数余子式乘积之和。一行（列）的元素乘上另一行
11、（列）的相应元素代数余子式之和为。 *德蒙行列式个乘法相关的位元素是的第行和的第列对应元素乘积之和。 乘积矩阵的列向量与行向量 （1）设矩阵，维列向量，则 矩阵乘法应用于方程组 方程组的矩阵形式， 方程组的向量形式 （2）设，的第个列向量是的列向量组的线性组合，组合系数是的第个列向量的各分量。的第个行向量是的行向量组的线性组合，组合系数是的第个行向量的各分量。 矩阵分解当矩阵的每个列向量都是的列向量的线性组合时，可把分解为与一个矩阵的乘积特别的在有关对角矩阵的乘法中的若干问题对角矩阵从右侧乘一矩阵，即用对角线上的元素依次乘的各列向量对角矩阵从左侧乘一矩阵，即用对角线上的元素依次乘的各行向量 于是，两个对角矩阵相乘只须把对角线上对应元素相乘对角矩阵的次方幂只须把每个对角线上元素作次方幂对一个阶矩阵，规定为的对角线上元素之和称为的迹数。 于是 其他形式方阵的高次幂也有规律 例如：初等矩阵及其在乘法中的作用 （1）：交换的第两行或交换的第两列 （2）：用数乘的第行或第列 （3）：把的第行的倍加到第行上，或把的第列的倍加到第列上。初等矩阵从左（右）侧乘一个矩阵等同于对作一次相当的初等行（列）变换乘法的分块法则 一般法则：在计算两个矩阵和的乘积时，可以先把和用纵横线分割成若干小矩阵来进行，要求的纵向分割与的横向分割一致。 两种常用的情况 （1）都分成4块， 其中的列数
