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1、2019届数学人教版精品资料2.2等差数列教学过程第一课时来源:推进新课等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示).（1）公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；（2）对于数列an，若an-a n-1=d(与n无关的数或字母)，n2，nN*，则此数列是等差数列，d叫做公差.师 定义中的关键字是什么?(学生在学习中经常遇到一些概念，能否抓住定义中的关键字，是能否正确地、深入的理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他学科的重要一环.因此教师应该教会学生如何深入理解一
2、个概念，以培养学生分析问题、认识问题的能力)生 从“第二项起”和“同一个常数”.师 很好！师 请同学们思考：数列(1)、(2)、(3)、(4)的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？ 生 数列(1)通项公式为5n-5，数列(2)通项公式为5n+43，数列(3)通项公式为2.5n-15.5，. 师 好，这位同学用上节课学到的知识求出了这几个数列的通项公式，实质上这几个通项公式有共同的特点，无论是在求解方法上，还是在所求的结果方面都存在许多共性，下面我们来共同思考.合作探究来源:等差数列的通项公式师 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得到的，若一个等差数列an的首项是a1，公差是d，则据其定
3、义可得什么?生 a2-a1=d,即a2=a1+d.师 对，继续说下去!生 a3-a2=d,即a3=a2+d=a1+2d;a4-a3=d,即a4=a3+d=a1+3d;师 好！规律性的东西让你找出来了，你能由此归纳出等差数列的通项公式吗?生 由上述各式可以归纳出等差数列的通项公式是an=a1+(n-1)d.师 很好!这样说来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d，便可求得其通项an了.需要说明的是：此公式只是等差数列通项公式的猜想，你能证明它吗?生 前面已学过一种方法叫迭加法，我认为可以用.证明过程是这样的：因为a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,an-an-1=d.将
4、它们相加便可以得到：an=a1+(n-1)d.师 太好了!真是活学活用啊!这样一来我们通过证明就可以放心使用这个通项公式了.教师精讲由上述关系还可得：am=a1+(m-1)d,即a1=am-(m-1)d.则an=a1+(n-1)d=am-(m-1)d+(n-1)d=am+(n-m)d,即等差数列的第二通项公式an=am+(n-m)d.(这是变通的通项公式)由此我们还可以得到.例题剖析【例1】 （1）求等差数列8，5，2,的第20项;（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13的项？如果是，是第几项？分析（1）师 这个等差数列的首项和公差分别是什么?你能求出它的第20项吗?生1 这题太简单了!
5、首项和公差分别是a1=8,d=5-8=2-5=-3.又因为n=20，所以由等差数列的通项公式，得a20=8+(20-1)(-3)=-49.师 好!下面我们来看看第（2）小题怎么做.分析（2）生2由a1=-5,d=-9-(-5)=-4得数列通项公式为an=-5-4(n-1).由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-5-4(n-1)成立,解之,得n=100，即-401是这个数列的第100项.师 刚才两个同学将问题解决得很好，我们做本例的目的是为了熟悉公式，实质上通项公式就是an,a1,d,n组成的方程(独立的量有三个).说明:(1)强调当数列an的项数n已知时，下标应是确切的数字
6、；(2)实际上是求一个方程的正整数解的问题.这类问题学生以前见得较少，可向学生着重点出本问题的实质：要判断-401是不是数列的项，关键是求出数列的通项公式an，判断是否存在正整数n，使得an=-401成立.【例2】 已知数列an的通项公式an=pn+q，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？例题分析：师 由等差数列的定义，要判定an是不是等差数列，只要根据什么?生 只要看差an-an-1(n2)是不是一个与n无关的常数.师 说得对，请你来求解.生 当n2时，取数列an中的任意相邻两项an-1与an(n2)an-an-1=(pn+1)-p(n-1)+q=p
7、n+q-(pn-p+q)=p为常数,所以我们说an是等差数列，首项a1=p+q，公差为p.师 这里要重点说明的是：(1)若p=0，则an是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，.(2)若p0，则an是关于n的一次式，从图象上看，表示数列的各点(n，an)均在一次函数y=px+q的图象上，一次项的系数是公差p，直线在y轴上的截距为q.(3)数列an为等差数列的充要条件是其通项an=pn+q(p、q是常数)，称其为第3通项公式.课堂练习(1)求等差数列3，7，11，的第4项与第10项.分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项. 解：根据题意可知a1=3，d
8、=7-3=4.该数列的通项公式为an=3+(n-1)4，即an=4n-1(n1，nN*).a4=44-1=15，a 10=410-1=39.评述：关键是求出通项公式.(2)求等差数列10，8，6，的第20项.解：根据题意可知a1=10，d=8-10=-2.所以该数列的通项公式为an=10+(n-1)(-2)，即an=-2n+12，所以a20=-220+12=-28.评述：要求学生注意解题步骤的规范性与准确性.(3)100是不是等差数列2，9，16，的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由.分析：要想判断一个数是否为某一个数列的其中一项，其关键是要看是否存在一个正整数n值，使得an等于这个数
9、.解：根据题意可得a1=2，d=9-2=7.因而此数列通项公式为an=2+(n-1)7=7n-5.令7n-5=100，解得n=15.所以100是这个数列的第15项.(4)-20是不是等差数列0， ，-7，的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由.解：由题意可知a1=0，,因而此数列的通项公式为.令，解得.因为没有正整数解，所以-20不是这个数列的项.课堂小结师（1）本节课你们学了什么？（2）要注意什么？（3）在生活中能否运用？(让学生反思、归纳、总结,这样来培养学生的概括能力、表达能力)生 通过本课时的学习，首先要理解和掌握等差数列的定义及数学表达式a n-a n-1=d(n2);其次要会
10、推导等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d(n1).师 本课时的重点是通项公式的灵活应用，知道an，a1，d，n中任意三个，应用方程的思想，可以求出另外一个.最后，还要注意一重要关系式an=am+(n-m)d和an=pn+q(p、q是常数)的理解与应用.布置作业课本第45页习题2.2 A组第1题，B组第1题.板书设计等差数列的概念、等差数列的通项公式1.定义2.数学表达式 例1.(略)3.等差数列的通项公式 例2.(略) 练习第二课时 推进新课我们来给出等差中项的概念：若a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.根据我们前面的探究不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷
11、数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项.如数列：1，3，5，7，9，11，13中5是3与7的等差中项，也是1和9的等差中项.9是7和11的等差中项，也是5和13的等差中项.方法引导等差中项及其应用问题的解法关键在于抓住a，A，b成等差数列2A=a+b，以促成将等差数列转化为目标量间的等量关系或直接由a，A，b间的关系证得a，A，b成等差数列.合作探究师 在等差数列an中，d为公差，若m,n,p,qN*且m+n=p+q，那么这些项与项之间有何种等量关系呢？生 我得到了一种关系am+an=ap+aq.师 能把你的发现过程说一下吗？生 受等差中项的启发，我发现a2+a4=a1+a5,a4+
12、a6=a3+a7.从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq.师 你所得的这关系是归纳出来的，归纳有利于发现，这很好，但归纳不能算是证明！我们是否可以对这归纳的结论加以证明呢？生 我能给出证明，只要运用通项公式加以转化即可.设首项为a1，则am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d,ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=2a1+(p+q-2)d.因为我们有m+n=p+q,所以上面两式的右边相等，所以am+an=ap+aq.师 好极了！由此我们的一个重要结论得到了证明：在等差数列an的各项中，与首末两项等距离的两项的和等于首
13、末两项的和.另外，在等差数列中，若m+n=p+q,则上面两式的右边相等，所以am+an=ap+aq.来源:同样地，我们还有：若m+n=2p,则am+an=2ap.这也是等差中项的内容.师 注意：由am+an=ap+aq推不出m+n=p+q，同学们可举例说明吗?生 我举常数列就可以说明了.师 举得好!这说明在等差数列中，am+an=ap+aq是m+n=p+q成立的必要不充分条件. 例题剖析【例1】 在等差数列an中，若a1+a6=9，a4=7，求a3，a9.师 在等差数列中通常如何求一个数列的某项？生1 在通常情况下是先求其通项公式，再根据通项公式来求这一项.生2 而要求通项公式，必须知道这个数
14、列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项(知道任意两项就知道公差，这在前面已研究过了).生3 本题中，只已知一项和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手师 好，我们下面来解，请一个同学来解一解，谁来解？生4 因为an是等差数列，所以a1+a6=a4+a3=9a3=9-a4=9-7=2,所以可得d=a4-a3=7-2=5.来源:又因为a9=a4+(9-4)d=7+55=32，所以我们求出了a3=2，a9=32.【例2】某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4千米(不含4千米)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少元的车费?师 本题是一道实际应用题，它所涉及到的是什么知识方面的数学问题？生 这个实际应用题可化归为等差数列问题来解决.师 为什么？生 根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列来进行计算车费.师 这个等差数列的首项和公差分别是多少?生 分别是11.2，1.2.师 好，大家计算一下本题的结果是多少?生 需要支付车费23.2元.
