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1、精 品 数 学 文 档最新精品数学资料2.2.2椭圆的几何性质(一)学习目标1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形知识点一椭圆的范围、对称性和顶点坐标思考观察椭圆1(ab0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？答案(1)范围：axa，byb；(2)对称性：椭圆关于x轴、y轴、原点都对称；(3)特殊点：顶点A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)梳理椭圆的几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(ab0)1(ab0)图形焦点坐标(c,0)(
2、0，c)对称性关于x轴、y轴轴对称，关于坐标原点中心对称顶点坐标A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)范围|x|a，|y|b|x|b，|y|a长轴、短轴长轴A1A2长为2a，短轴B1B2长为2b知识点二椭圆的离心率思考如何刻画椭圆的扁圆程度？答案用离心率刻画扁圆程度，e越接近于0，椭圆越接近于圆，反之，越扁梳理(1)焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率记为：e.(2)对于1，b越小，对应的椭圆越扁，反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当ab时，c0，两焦点重合，图
3、形变成圆，方程变为x2y2a2.(如图)1椭圆1(ab0)的长轴长是a.()2椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆()3若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为1.()4设F为椭圆1(ab0)的一个焦点，M为其上任一点，则MF的最大值为ac.(c为椭圆的半焦距)()类型一由椭圆方程研究其几何性质例1求椭圆9x216y2144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标解已知方程化成标准方程为1，于是a4，b3，c，椭圆的长轴长和短轴长分别是2a8和2b6，离心率e，又知焦点在x轴上，两个焦点坐标分别是(，0)和(，0)，四个顶点坐标分别是(4,0)，(4,0)，(0，3)和(
4、0,3)引申探究本例中若把椭圆方程改为“9x216y21”，求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标解由已知得椭圆标准方程为1，于是a，b，c.长轴长2a，短轴长2b，离心率e.焦点坐标为和，顶点坐标为，.反思与感悟解决由椭圆方程研究其几何性质的问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量跟踪训练1求椭圆9x2y281的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率解椭圆的标准方程为1，则a9，b3，c6，长轴长2a18，短轴长2b6，焦点坐标为(0,6)，(0，6)，顶点坐标为(0,9)，(0，9)，(3,0
5、)，(3,0)离心率e.类型二椭圆几何性质的简单应用例2求满足下列各条件的椭圆的标准方程(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为，焦距为8；(2)已知椭圆的离心率为e，短轴长为8.解(1)由题意知，2c8，c4，e，a8，从而b2a2c248，椭圆的标准方程是1.(2)由e得ca，又2b8，a2b2c2，所以a2144，b280，所以椭圆的标准方程为1或1.反思与感悟依据椭圆的几何性质求标准方程问题应由所给的几何性质充分找出a，b，c所应满足的关系式，进而求出a，b，在求解时，需注意椭圆的焦点位置跟踪训练2根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程：(1)长轴长是短轴长
6、的2倍，且过点(2，6)；(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且焦距为12.解(1)当焦点在x轴上时，设椭圆方程为1(ab0)依题意有解得椭圆方程为1.同样地可求出当焦点在y轴上时，椭圆方程为1.故所求椭圆的方程为1或1.(2)依题意有bc6，a2b2c272，所求的椭圆方程为1.例3椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e，已知点P到椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程解设所求椭圆方程为1(ab0)，a2b.椭圆方程为1.设椭圆上点M(x，y)到点P的距离为d，则d2x224b2y23y324b23，令f(y)324b23.当b，即b时，df4b237，解得b1，
7、椭圆方程为y21.当b，即0b0)，则此椭圆的离心率为_答案解析由2x23y2m(m0)，得1，c2，e2，又0e1，e.2与椭圆9x24y236有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是_答案x21解析由已知得c，b1，所以a2b2c26，又椭圆的焦点在y轴上，故椭圆的标准方程为x21.3若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是_答案解析由题意有，2a2c2(2b)，即ac2b，又c2a2b2，消去b整理得5c23a22ac，即5e22e30，又0e1，e或e1(舍去)4若焦点在y轴上的椭圆1的离心率为，则m的值为_答案解析焦点在y轴上，0mb0)的焦点分别为F1
8、，F2，F1F22，离心率e，则椭圆的标准方程为_答案1解析因为F1F22，离心率e，所以c1，a2，所以b23，椭圆方程为1.5中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点(2,0)的椭圆的标准方程是_答案y21或1解析若焦点在x轴上，则a2.又e，c.b2a2c21，方程为y21.若焦点在y轴上，则b2.又e，1，a24b216，方程为1.6椭圆1的左焦点为F1，点P在椭圆上，若线段PF1的中点M在y轴上，则点P的纵坐标是_答案解析设椭圆的右焦点为F2，由题意知PF2x轴，因为a212，b23，所以c2a2b29，c3.所以点P和点F2的横坐标都为3.故将x3代入椭圆方程，可得y.7椭圆(m1)x2my21的长轴长是_答案解析椭圆方程可化简为1，由题意知m0，a，椭圆的长轴长2a.8已知椭圆C的上，下顶点分别为B1，B2，左，右焦点分别为F1，F2，若四边形B1F1B2F2是正方形，则此椭圆的离心率e_.答案解析因为四边形B1F1B2F2是正方形，所以bc，所以a2b2c22c2，所以e.9若椭圆1的焦点在x轴上，
