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1、直线的回归方程教学设计一、课题引入引言：我们知道，通过散点图可以判断两个变量之间是否具有“正相关”或“负相关”，但这只是一个定性的判断，更多的时候，我们需要的是定量的刻画问题1：下列两个散点图中,两个变量之间是否具有线性相关关系？理由呢？是正相关还是负相关？设计意图：回顾上节课所学内容，使学生的思想、知识和心理能较快地进入本节课课堂学习的状态师生活动：学生回答，图1没有线性相关关系，图2有线性相关关系，因为图1中的所有点都落在某一直线的附近通过问题，使学生回忆前2节课核心概念：线性相关关系、正相关、负相关等，为后续学习打基础二、 本节课的新知识问题2：通过上一节课的学习，我们认为以“偏差”最小
2、的直线作为回归直线比较恰当，那你能用代数式来刻画“从整体上看，各点与此直线的偏差最小”吗？设计意图：几何问题代数化，为下一步探究作好准备，经历“几何直观”转化为“代数表达”过程，为引出“最小二乘法”作准备师生活动：先展示上一节课的讨论结果：学生提出的如下四种可能性：图3(1)表示每一点到直线的垂直距离之和最短，图3(2)表示每一点到直线的“偏差”之和最短，图3(3)表示经过点最多的直线，图3(4)表示上下点的个数“大概”一样多的直线通过上一节课的分析，我们认为选择偏差之和最短比较恰当，即图3（2）设回归直线方程为，（xi，yi）表示第i个样本点，将样本数据记为，学生思考，教师启发学生比较下列几
3、个用于评价的模型：模型3：师生一起分析后，得出用模型3来制定标准评价一条直线是否为“最好”的直线较为方便Q=（y1bx1a）2+（y2bx2a）2+（ynbxna）2= 问题3：通过对问题2的分析，我们知道了用Q=最小来表示偏差最小，那么在这个式子中，当样本点的坐标（xi，yi）确定时，a,b等于多少，Q能取到最小值呢？设计意图：体会最小二乘法思想，不经历公式化简无法真正理解其意义，而直接从n个点的公式化简，教学要求、教学时间、学生能力都没达到这个高度因而由具体到抽象，由特殊到一般，将是学生顺利完成这一认知过程的一般性原则通过这个问题，让学生了解这个式子的结构，为后续的学习打下基础，同时渗透最
4、小值的思想师生活动：偏差最小从本质上来说是最小，为了处理方便，我们采用n个偏差的平方和Q=（y1bx1a）2+（y2bx2a）2+（ynbxna）2表示n个点与相应直线在整体上的接近程度：记Q=（向学生说明的意义）通过化简，得到的其实是关于a、b的二元二次函数求最值的问题，一定存在这样的a、b，使Q取到最小值（1）在此基础上，视为的二次函数时，可求出使Q为最小值时的的值的线性回归方程系数公式：（2）教师指出，称为样本点的中心，可以证明回归直线一定过样本点的中心，所以可得上述方法求回归直线的方法，是使得样本数据的点到它的距离的平方和最小，由于平方又叫二乘方，所以这种使距离平方最小的方法，叫做最小
5、二乘法问题4：这个公式不要求记忆，但要会运用这个公式进行运算，那么，要求,的值，你会按怎样的顺序求呢？设计意图：公式不要求推导，又不要求记忆，学生对这个公式缺少感性的认识，通过这个问题，使学生从感性的层次上对公式有所了解师生活动：由于这个公式比较复杂，因此在运用这个公式求,时，必须要有条理，先求什么，再求什么，比如，我们可以按照、n、顺序来求，再代入公式我们一般可以列如下表格进行分布计算：三、知识深化：问题5：你能根据表一所提供的样本数据，求出线性回归方程吗？表一：人体的脂肪百分比和年龄设计意图：公式形式化程度高、表达复杂，通过分解计算，可加深对公式结构的理解同时，通过例题，反映数据处理的繁杂
6、性，体现计算器处理的优越性师生活动：步骤一，可让学生观察公式，充分讨论，通过计算：n、五个数据带入回归方程公式得到线性回归方程，体会求线性回归方程的原理与方法由此可以得到回归直线方程为：步骤二，教师分析求线性回归方程的基本步骤，然后带领学生用卡西欧FX-991 ES计算器求出线性回归方程并画出回归直线，教师可协同学生，对计算器操作方式提供示范，师生共同完成 问题6：利用计算器，根据以下表中的数据，请同学们独立解决求出表中两变量的回归方程：设计意图：让学生独立体验运用计算器求回归直线方程，在重复求解回归直线的过程中，使学生掌握用计算器求回归直线的操作方法。回归直线为：=0.6541x-4.565
7、9回归直线为：=0.4767x+4.9476回归直线为：= 0.5765x - 0.4478问题7：同样问题背景，为什么回归直线不止一条？回归方程求出后，变量间的相关关系是否就转变成确定关系？ 设计意图：明确样本的选择影响回归直线方程，体现统计的随机思想同时，明确其揭示的是相关关系而非函数的确定关系，而且最小二乘法只是某一标准下的一种数据处理方法，使学生更全面的理解回归直线这一核心概念案例：卖出热茶的杯数与当天气温的关系下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表（用计算器直接求回归直线）：（1）求回归方程；（2）按照回归方程，计算温度为10度时销售杯数为什么与表中不同？如果某天的气温是
8、5时，预测这天小卖部卖出热茶的杯数让学生完整经历求回归直线的过程其中第2问，让学生体会到即使是相比下“最优”的所获得的回归直线，也存在着一定的误差，从中体会无论方法的优劣，统计学中随机性无法避免而在预测值的计算中，体现了回归直线的应用价值通过对案例的分析，说明事件、样本数据、回归直线方程三者关系：1数据采样本身就具有随机性，同样23岁的人，脂肪含量可能9.5%，也有可能30%，这种误差我们称之为随机误差，随机误差是不可避免的2回归分析是寻找相关关系中非确定关系中的某种确定性，虽然一个数据具有随机误差，但总体还是具有某种确定的关系3在数据采样都符合统计要求的情况下，取三个回归直线方程中的任意一个都是合理的，不存在哪条最合适的问题，但一般情况下，选择数据多一些的比较合理四、小结：问题8：请同学们回顾一下我们怎样求出回归直线方程？事件、样本数据与回归直线三者之间有怎样的关系？师生活动：1.求样本数据的线性回归方程的方法(1)直接运用公式(2)借助计算器或计算机(使用方法见学案)2.样本数据与回归直线的关系
