黄金分割法机械优化设计

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1、机械优化设计黄金分割法班级：学硕一班学号：_姓名：黄金分割法黄金分割法也成为0.618法，是一种应用广泛的一维搜索方法。该方法对函数f （a ）无 特殊要求，函数甚至可以是不连续的。黄金分割法是利用序列消去原理，通过不断缩小单峰区间长度，使搜索区间不断缩小 从而不断逼近目标函数极小点的一种优化方法。一、基本思想在搜索区间a,b内必须按下述规则对称地取=b 一九(b - a)a2 = a +入（b 一 ，这两点把区间分为三段，计算插入点的函数值，如图1-1所示。根据 单峰函数的性质，通过比较函数值大小，删去其中一段，使搜索区间缩小。在新的区间继续 上面的过程，使搜索区间不断缩小，当搜索区间无限缩

2、小时，便可得到函数在极小点附近的 近似解。在第一次缩小区间后，新区间只需要再插入一点即可形成区间新三段。按比例九缩小， 新区间三段与原区间三段具有相同的比例分布，每次缩小所得新区间长度与原区间长度之比 成为区间收缩率九。设初始区间长度为L,为了保证区间收缩率不变，第一次收缩后的长度为九L，第二次收缩后的长度为L（1 一九），而第二次的收缩率应该相等。九L L = （1 九）入厶T九2 = （1 九）解次方程并舍去负根，就可得到到二厉一12 = 0.618。所以，a和a两点的取法为: 12a = b 一 0.618（b 一 a） ， a = a + 0.618（b 一 a ） 。所以，对于黄金分

3、割法，适用于设计变量少的优化问题中的一维搜索。二、黄金分割法的搜索过程1)给出初始搜索区间及收敛精度，将九赋以0.6182 )按坐标点计算公式计算a二b - 0.618(b - a), f二f (a ),1 1 1a = a + 0.618(b - a), f二f (a )；并计算其对应的函数值。2 2 23)根据区间消去法原理缩短搜索区间。为了能用原来的坐标点计算公式，需进行区间 名称的代换，并在保留区间中计算一个新的试验点及其函数值。如果f f，则新区间=a ,b1 2 1令 a a，a a，f f，记 N0=1 ；如图 2-1 所示。2 1 2 1 2畑畑畑畑图 2-14)检查区间是否缩

4、短到足够小和函数值收敛到足够精度，如果收敛条件满足，则取最后两试验点的平均值作为极小点的数值近似解。如果条件不满足则转向步骤5。5 )产生新的插入点，然后再进行新的区间缩小。总体如图2-2所示。图 2-2从迭代过程可以看出，除第一次缩小区间长度时需要在选定的单峰区间内增加两个点 外，以后每次缩小区间长度只需要增加一个点，因此区间长度缩小次数应等于缩小区间长度 所增加的点数减一。例如，为了达到规定的收敛精度所需要增加的点数为n,则为达到规定 的收敛精度所需缩小区间长度的次数k=n-l。第一次缩小后新区间长度a二0.618(b - a)第二次缩小后新区间长度b a = 0.618(b a)二0.6

5、182(b a)21第k次缩小后新区间长度bk - a - 0618(bki - a)- 0618k (b - a)设k次缩小后区间长度已缩到足够小，满足规定的收敛精度，即b 一 a = 0.618 k （b 一 a） +1ln0.618编程计算时，可以根据预先规定的精度求得所需插入的点数n,然后用n作为终止迭 代的标志。、算法框图四、机械优化的算例某公司要预制一零件工具箱，初始设计为使用一块长为4m,宽为3m的长方形铁板作 为原材料，利用这块铁板按照一定比例分配，围成一个矩形制成工具箱的4个侧面，应该如 何设计才能使工具箱的底面积最大？万案-一一二三四五长（a）0.30.611.21.8宽（

6、b）1.71.410.80.2面积（S）0.510.8410.960.36根据方案可以看到：选取不同的长宽比例，会影响到底面积的大小，并且底面积的大小类似正态分布的图形也就是会出现一个峰值，因此可以使用黄金分割法进行简单的运算。 如图： 我们可以先设围成工具箱底面的矩形的长为X,因此宽则为2-X,而工具 箱的底面积为S,这我们可以把题目传化为以下模型： 目标函数：S=(2-X)*X； 约束条件：0WXW2； 设置搜索区间为：a,b=0,2,迭代精度为0.000001实现程序#include#include/#include StdAfx.h#define f(x) (2-x)*xint mai

7、n()double F1,F2,F3,FP,x1,x2,x3,xp,a,b,e; int n;n=1;printf(设| 置目标函数为f(x) = (2-x) *xn);printf(迭代精度：e=);scanf(%lf,&e);printf(搜索左区间：a=); scanf(%lf,&a);printf(搜索右区间：b=); scanf(%lf,&b);printf(n abx1x2F1F2n);x1=b-0.618*(b-a);x2=a+0.618*(b-a);F1=-f(x1);F2=-f(x2);printf(%d %.4lf%.4lf%.4lf%.4lf%.4lf%.4lfn,n,a

8、,b,x1,x2,F1,F2) ;n=n+;doif(F1= e&fabs(F2-F1)/F2)= e); xp=(a+b)*0.5;FP=f(xp);printf(其中为迭代次数，最后求得和如下所示：n);printf(x*=%.5lf F*=%.5lfn,xp,FP);double c,d;c=xp;d=2-c;printf(取长a=%.5lf 宽b=%.5lfn,c,d);prin tf(所围成的最大底面积S=%.5lfn,FP); getchar();scanf(%lf,&e);运行结果： 输入迭代精度0.000001。 如图 3-1所示。o丨耳C:UsersacerDeskto伉化设

9、计JKYHSJ.DebugXYHSJ exebx2Fl0.00090.7t435.76400.76430-76430.7fc43Q.J4430.94432.0000 2.0OSQ 1.2362 1.2360 1.05581.SE571.S555?1.S5570.7S401.23G61.05581.05570.94430.9430.9443B.98E81.23601.22G21.236；?1.05E8 1 -阳 7 0.9443 .9868 S.9869-09443-9.9442-0.996?-0.V96V-0.99fi9-0.99G9-0U?96? -0-9998F2-6.?443-G；j94

10、42-6?443-0l?969-G：j?9G9-6l?998-6.9998最求得x*和F戚讣所示:1.0OH31 F-l.090B6a=l. 0KB01 宽b=O/卵沾图 3-1 精度为 0.000001 当精度为0.1 时，所得结果如图3-2 所示。Fl -09443 -9.9442x21.23601.22G2a.b8.000920.7t432.SOG0F2-6.?443 -G-j?442-C:U se riacerDes Icto pfyjwUt.1xH-JXYHSJ Debug JXYHSJ exef 1 0 2 d - 1 I. s a b7.-._-e i ffl县左右 置代xl0.

11、76461.23GG 最后求潯甘和环虻”所示:*=1.38200 F*=B.8S408諏卡=仁3眈删 Sh=B.fl8fi0务圉成的最大庭面S-0.854OB=（回图 3-2 精度为 0.1 当精度为 0.00001 时，所得结果如图3-3 所示。回X10.7S4S1.23G01.0558 1.05S7 H.94430.0009O.7t40Q.76400.76430.7643其中联选代次数：最后求得“4如下所示；h*=Q.?0989 F*=O.99188型长a-e.?0989 b=l.09011.圻围成的最大底面和Z 一咖朋x21.23601.22G21.23601.05E81.05E7F2-

12、G；j?442-6?443-6l?969Fl -09443 -9.9443 -0.996?-0.99fi9f X ) =*xJg：_e =0.00001 区耳欝 2间：騒b2 .脚丽2.0OSQ1.23621.23601.BS5R图 3-3 精度为 0.00001当精度为 0.1 时，迭代次数只有2 次；所得到的值精度一般；当精度为 0.00001时，迭代次数只有5 次；所得到的值精度比0.1所得的高； 当精度为 0.000001时，迭代次数有8 次；所得到的值精度较高，接近结果； 精度越高，则越接近最优解。验算黄金分割法的可行性：由 S=(2-X)*X=2X-X*X；求导后得到S2-2*X,另导数等于0,求的当X等于1的时候，面积S可以取最大值1。 与黄金分割法最后计算出来的面积相差甚少。因此,可验证黄金分割法可行。总结： 通过学习机械优化设计这门课。我学习到了很多关于机械设计的方法,有传统的和 现代的。并且通过上课和训练学习了多种优化方法的思想和步骤。在此次设计中,由于对 C 语言使用还不是很熟悉,所以程序设计上并不是很完美,以后还要多多训练。