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1、分式方程的增根与无解甲：增根是什么？乙：增根是解分式方程时，把分式方程转化为整式方程这一变形中，由于去分母扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值.比如1 3_2例、解方程：签签一2狂-，。为了去分母，方程两边乘以张一力，得仗-十她=-2由解得袈。甲：原方程的解是盜=口。乙：可是当盜=0时，原方程两边的值相等吗？甲：这我可没注意，检验一下不就知道了。哟！当毯时，原方程有的项的分母为，没有意义，是不是方程变形过程中搞错啦？乙：求解过程完全正确，没有任何的差错。甲：那为什么会出现这种情况呢？乙：因为原来方程中未知数的取值范围是忽川且盜舲，而去分母化为整式方程后，未知数的取值范围扩大为全体实数。这样
2、，从方程解出的未知数的值就有可能不是方程的解。甲：如此说来，从方程变形为方程，这种变形并不能保证两个方程的解相同，那么，如何知道从整式方程解出的未知数的值是或不是原方程的解呢？乙：很简单，两个字：检验。可以把方程解出的未知数的值一一代入去分母时方程两边所乘的那个公分母，看是否使公分母等于，如果公分母为，则说明这个值是增根，否则就是原方程的解。甲：那么，这个题中盜就是增根了，可原方程的解又是什么呢？乙：原方程无解。甲：啊？！为什么会无解呢？乙：无解时，方程本身就是个矛盾等式，不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等，如上题中，不论取何值，都不能使方程两边的值相等，因此原方程无解，又如对于方程签
3、，不论取何值也不能使它成立，因此，这个方程也无解。甲：是不是有增根的分式方程就是无解的，而无解的分式方程就一定有增根呢？乙：不是！有增根的分式方程不一定无解，无解的分式方程也不一定有增根，你看：2 _梵十1例2解方程瓦+1艺*+超赛，去分母后化为広伝+1)=口，解得“3或袈=_1，此时，是增根，但原方程并不是无解，而是有一个解3而方程盜，去分母后化为。七=-2，原方程虽然无解，但原方程也没有增根。乙：增根不是原分式方程的解，但它是去分母后所得的整式方程的解，利用这种关系可以解决分式方程的有关问题，你看：1 2_k例、已知关于的方程12宀S有增根，求的值。首先把原方程去分母，化为盜+M+2仪-1
4、)=氐。因为原方程的最简公分母是盜一仅十”，所以方程的增根可能是盜=1或毯=一2若增根为盜，代入方程，得3+0=k若增根为=-2，代入方程，得-d=k，k=-5故当k=3或氐=-丘时，原方程会有增根。甲：虽然无解的分式方程不一定有增根，有增根的分式方程不一定无解，但我还觉得无解与增根之间似乎有种微妙的关系，这是怎么一回事？乙：你说的没错，增根与无解都是分式方程的“常客”，它们虽然还没有达到形影不离的程度，但两者还是常常相伴而行的，在有些分式方程问题中，讨论无解的情形时应考虑增根，例如：x+m=1IL例、已知关于的方程3无解，求的值。先把原方程化为盜+皿=皿仪-为。()若方程无解，则原方程也无解
5、，方程化为【l-mb=-4m,当1一皿=口，而时，方程无解，此时m=1()若方程有解，而这个解又恰好是原方程的增根，这时原方程也无解，所以，当方程的解为签时原方程无解，代入方程，得3+m=0故m=-3综合(1)、(2)，当皿=1或=-3时，原方程无解。妙用分式方程的增根解题在解分式方程的过程中，我们还可以利用增根来求分式方程中的待定字母的值.请看下面几例.例1若关于X的方程ax1B0有增根，则a的值为.x1析解：去分母并整理，得ax1x1，因为原方程有增根，增根只能是x1，将x1代入去分母后的整式方程，得a例2若关于x的方程竺2无解，则m的值是x3x3析解：去分母并整理，得xm4O解之，得x4
6、m因为原方程无解，所以x4m为方程的增根又由于原方程的增根为x3所以4m3，m11k例3已知方程+2二亠有增根，则k二4x2x2析解：把原方程化成整式方程，得12(4x2)c(x2)因为原方程有增根，所以增根只能是x2或x将x2代入12(4x2)k(x2)，得k!；41将x代入12(4x2)(x2)，无解故应填一.4练一练：1如果分式方程丄旦无解，则m的值为()x.1x.1(A)1(B)0(C)一1(D)-22如果方程xx2有增根x1，则k=x211x答案：1C；21；分式方程的增根及其应用一、增根的原因解分式方程时，有时会产生增根，这是因为我们把分式方程转化为整式方程过程中，无形中取掉了原分
7、式方程中分母不为零的限制条件，从而扩大了未知数的取值范围，于是就产生了如下两种情况：(1)如果整式方程的根都在分式方程未知数的取值范围内，那么整式方程的根就是分式方程的根；(2)如果整式方程的有些根不在分式方程未知数的取值范围内，那么这种根就不是分式方程的根，是分式方程的增根因此，解分式方程时，验根是必不可少的步骤二、利用增根解题不可否认，增根的出现给我们的解题带来了一定的麻烦，然而任何事物都有其两面性，由增根的原因知道，分式方程的增根一定是所化成的整式方程的根，同时还能使其最简公分母的值为零，据此可以解决一些相关的问题，常见的类型有如下几种：1已知方程有增根，确定字母系数值例1若方程丄2有增
8、根，则m的值为()x3x3A.3B.3C.0D.以上都不对析解：把分式方程两边同乘以公分母x3，得整式方程x2(x3)=m.若原方程有增根，必须使公分母x3等于0，即x=3，代入整式方程得3=6m，解得m=3.故应选B.点评：方程有增根，一定是公分母等于0的未知数的值.解这类题的一般步骤把分式方程化成的整式方程;令公分母为0,求出x的值；再把x的值代入整式方程，求出字母系数的值.2. 已知方程无解，确定字母系数值例2：若方程35弐5竺无解，则m的值为()x533x3A.1B.3C.1或3D.1或分析：把分式方程化为整式方程，若整式方程无解，则分式方程一定无解；若整式方程有解，但要使分式方程无解
9、，则该解必为使公分母为0时对应的未知数的值，此时相应的字母系数值使分式方程无解.解：去分母，得(32x)(2+mx)=3x,整理，得(m+1)x=2.若m+1=0，则m=1，此时方程无解；若m+12 233H0,则x=是增根.因为=3，所以m=.所以m的值为一1或,故应选D.mImI55点评：方程无解的条件，关键是看转化后的整式方程解的情况.既要考虑整式方程无解的条件，又要考虑整式方程有解，但它是分式方程增根的可能性，考虑问题要全面、周到.3. 已知方程无增根，确定字母系数值例3：若解关于x的方程亠亠不会产生增根，则k的值为()xIx2IxIA.2B.1C.不为2的数D.无法确定析解：去分母，
10、把分式方程化为整式方程，x(x+1)k=x(x1)，解关于k的方程，得k=2x由题意，分式方程无增根，则公分母x21H0，即xH1,则kH2.故应选C.点评：方程无增根，就意味着对应的整式方程的根使分式方程的公分母不等于0，利用这一点可以确定字母系数值或取值范围.解分式方程时，常通过适当变形化去分母，转化为整式方程来解，若整式方程的根使分式方程中的至少一个分母为零，则是增根，应舍去，由此定义可知：增根有两个性质：(1)增根是去分母后所得整式方程的根；(2)增根是使原分式方程分母为零的未知数的值，灵活运用这两个性质，可简捷地确定分式方程中的参数（字母）值，请看下面例示：一、分式方程有增根，求参数
11、值x2*xa例1a为何值时，关于x的方程x=0有增根？分析：先将原分式方程转化为整式方程，然后运用增根的两个性质将增根代入整式方程可求a的值解：原方程两边同乘以（x-3）去分母整理，得x2-4x+a=0（探）因为分式方程有增根，增根为x=3，把x=3代入（探）得，9-12+a=0a=3x24xa所以a=3时，x=0有增根。点评：运用增根的性质将所求问题转化为求值问题，简捷地确定出分式方程中的参数（字母）值1m2m例2m为何值时，关于x的方程x+x=x2x2有增根。分析：原分式方程有增根，应是使分母为0的x值。将这样的x值代入去分母的整式方程可求出m的值。解：原方程两边同乘以（x-1）（x-2）
12、去分母整理，得（1+m）x=3m+4（探）3 因为分式方程有增根，据性质（2）知：增根为x=1或x=2。把x=1代入（力解得m=-込；把x=2代入（探）得m=-23所以m=-或-2时，原分式方程有增根k22点评：分式方程有增根，不一定分式方程无解（无实）如方程x+1=（x）（x2）有增根，可求得k=-乜，但分8式方程这时有一实根x=。二、分式方程是无实数解，求参数值xm例3若关于x的方程肓5=xB5+2无实数根，求m的值。分析：因原方程无实数根，将原方程去分母得到整式方程解出的x值为原方程的增根，又x=5是原方程的增根，故可求出m的值解：去分母，得x-2=m+2x-10，x=-m+8因为原方程
13、无解，所以x=-m+8为原方程的增根。又由于原方程的增根为x=5，所以-m+8=5所以m=3点评：这类型题可通过列增根等于增根的方程求出参数值。分式方程的非常规解法抓特点选方法有些分式方程利用一般方法解非常麻烦，若能根据题目的特点，采用一些特殊的方法，就可避免不必要的麻烦，巧妙地求得方程的解，获得意外的惊喜，现结合几道习题予以说明一、分组化简法1111例1.解方程：0x2x3x4x5分析：本题的最小公分母为（x2）（x3）（x4）（x5），若采用一般解法，就会出现高次项数，计算相当繁琐，而且也极易出错，我们注意到丄丄-，丄丄1，在此基础上再通过比较上x2x3（x2）（x3）x4x5（x4）（x
14、5）面两式即可将本题求解.111111解：原方程化为：（五殛）.（XS4忌）0上式可变为：声面时丽即（x2）（x3）（x4）（x5）,解这个整式方程得：x3.5，当x3.5时，该分式方程中各分式的分母的值均不为0，所以x3.5为原方程的解.二、拆项变形法3 114例2解方程一x23x2x2x2xx22x分析：本题求解时应首先将题目中的第1，3，4个分式的分母因式分解，再将这几个分式分解成两个分式差的形式，目的是通过整理将其化繁为简，使方程变得简捷易解解：原方程变形为：（虫丄）（1）（-2）x2x.1x.2xxx2x34化简后整理得：-丄，3（x1）4x,解得：x,当x时，分式方程中的各分式的分母均不为0,故xx1x是原方程的解.三、利用特殊分式方程x1a1求解.xa111分式方程x-a的解为xa，x-,若一个方程等号两边的项分别互为倒数时，则此时便可套用上面xa12a的方程的解法求解例.解方程：王21x13x2分析：因本题中仝与，2与1分别互为倒数，符合方程x1a1的特点，故可将该方程转化为这种x13x2xa方程的形式求解解:原方程变形为竺21，设则丄，此时原方程变形为：y12!,y2或y1.即x.13x23xyy22竺2或空1，解得：x2,x.经检验得：x2,x1都是原方程的解.原方程的解为xx.121251251x2,x.
