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1、第二章 电阻电路的等效变换“等效变换”在电路理论中是很重要的概念，电路等效变换的方法是电路问题分析中经常使用的方法。所谓两个电路是互为等效的，是指（ 1）两个结构参数不同的电路再端子上有相同的电压、电流关系，因而可以互相代换；（2）代换的效果是不改变外电路（或电路中未被代换的部分）中的电压、电流和功率。由此得出电路等效变换的条件是相互代换的两部分电路具有相同的伏安特性。等效的对象是外接电路（或电路未变化部分）中的电压、电流和功率。等效变换的目的是简化电路，方便地求出需要求的结果。深刻地理解 “等效变换” 的思想， 熟练掌握 “等效变换”的方法在电路分析中是重要的。2-1 电路如图所示，已知。若
2、：（ 1）；（2）；（3）。试求以上 3 种情况下电压和电流。解：（ 1）和为并联，其等效电阻，则总电流分流有2）当，有3），有2-2 电路如图所示，其中电阻、电压源和电流源均为已知，且为正值。求：（ 1）电压和电流；（2）若电阻增大，对哪些元件的电压、电流有影响？影响如何？解：（ 1）对于和来说，其余部分的电路可以用电流源等效代换，如题解图（a）所示。因此有（ 2）由于和电流源串接支路对其余电路来说可以等效为一个电流源，如题解图（b）所示。因此当增大，对及的电 流和端电压都没有影响。但增大，上的电压增大，将影响电流源两端的电压，因为显然随的增大而增大。注：任意电路元件与理想电流源串联，均可将
3、其等效为理想电压源，如本题中题解图（ a）和（b）。但应该注意 等效是对外部电路的等效。图（a）和图（b）中电流源两端 的电压就不等于原电路中电流源两端的电压。同时，任意电路元件与理想电压源并联，均可将其等效为理想电压源，如本题中对而言，其余部分可以等效为，如题图（ c ）所示。但等效是对外部电路（如）的等效，而图（ c ）中上的电流则不等于原电路中中的电流。2-3 电路如图所示。（ 1）求；（2）当时，可近似为，此时引起的相对误差为当为的 100 倍、 10 倍时，分别计算此相对误差。解：（ 1）所以（ 2）设，带入上述式子中，可得相对误差为当时 时2-4 求图示电路的等效电阻，其中， 。解
4、： （a） 图中被短路，原电路等效为图 （a1） 所示。应用电阻的串并联，有(b) 图中和所在支路的电阻所以(c) 图可以改画为图 (c1) 所示，这是一个电桥电路，由于处于电桥平衡，故开关闭合与打开时的等效电阻相等。(d) 图中节点同电位(电桥平衡)，所以间跨接电阻可以拿去(也可以用短路线替代)，故(e) 图是一个对称的电路。解法一：由于结点与， 与等电位， 结点等电位， 可以分别把等电位点短接，电路如图 (e1) 所示，则解法二： 将电路从中心点断开 (因断开点间的连线没有电流)如图 (e2) 所示。则解法三： 此题也可根据网络结构的特点， 令各支路电流如图 (e3) 所示，则左上角的网孔
5、回路方程为故由结点的KCL方程得由此得端口电压所以(f) 图中和构成两个Y 形连接，分别将两个Y 形转化成等值的形连接，如图(f1)和(f2)所示。等值形的电阻分别为并接两个形，最后得图 (f3) 所示的等效电路，所以(g) 图是一个对称电路。解法一：由对称性可知， 节点等电位， 节点等电位， 连接等电位点，得图 (g1) 所示电路。则解法二： 根据电路的结构特点， 得各支路电流的分布如图（g2） 所示。由此得端口电压所以注：本题入端电阻的计算过程说明，判别电路中电阻的串并联关系是分析混联电路的关键。一般应掌握以下几点（ 1）根据电压、电流关系判断。若流经两电阻的电流是同一电流，则为串联；若两
6、电阻上承受的是同一电压，就是并联。注意不要被电路中的一些短接线所迷惑，对短接线可以做压缩或伸长处理。（ 2）根据电路的结构特点，如对称性、电桥平衡等，找出等电位点，连接或断开等电位点之间的支路，把电路变换成简单的并联形式。（ 3） 应用 Y， 结构互换把电路转化成简单的串并联形式，再加以计算分析。但要明确， Y,形结构互换是多端子结构等效，除正确使用变换公式计算各阻值之外，务必正确连接各对应端子，更应注意不要把本是串并联的问题看做Y, 结构进行变换等效，那样会使问题的计算更加复杂化。（ 4） 当电路结构比较复杂时， 可以根据电路的结构特点，设定电路中的支路电流， 通过一些网孔回路方程和结点方程
7、确定支路电流分布系数，然后求出断口电压和电流的比值，得出等效电阻。2-5 在图 (a) 电路中，。图(b) 为经电源变换后的等效电路。( 1)求等效电路的和；( 2)根据等效电路求中电流和消耗功率；( 3)分别在图 (a),(b) 中求出及消耗的功率；( 4)试问发出的功率是否等于发出的功率？消耗的功率是否等于消耗的功率？为什么？解：( 1 )利用电源的等效变换，图 (a) 中电阻与电压源的串联可以用电阻与电流源的并联来等效。 等效后的电路如题解 2-5 图所示，其中对题解 2-5 图电路进一步简化得图 (b) 所示电路，故( 2)由图 (b) 可解得三条并联支路的端电压所以的电流和消耗的功率
8、分别为(3)根据KVL,图(a)电路中两端的电压分别为则消耗的功率分别为（b） 图中消耗的功率（ 4） （a） 图中发出的功率分别为（b） 图中发出功率显然由（ 3）的解可知以上结果表明，等效电源发出的功率一般并不等于原电路中所有电源发出的功率之和； 等效电阻消耗的功率一般也并不等于原电路中所有电阻消耗的功率之和。这充分说明，电路的“等效”概念仅仅指对外电路等效，对内部电路（变换的电路）则不等效。2-6 对图示电桥电路，应用等效变换求：（ 1）对角线电压；（ 2）电压。解法一：把构成的形等效变换为形，如题解图 （a） 所示，其中各电阻值为：由于两条并接支路的电阻相等，因此得电流应用KVL得电压
9、又因入端电阻所以解法二：把构成的形等效变换为形，如题解图 (b) 所示，其中各电阻值为把图 (b) 等效为图 (c) ，应用电阻并联分流公式得电流由此得图 (b) 中电阻中的电流所以原图中电阻中的电流为，故电压由图 (c) 得注：本题也可把构成的形变换为 Y 形，或把构成的 Y形变换为形。 这说明一道题中变换方式可以有多种， 但显然， 变换方式选择得当，将使等效电阻值和待求量的计算简便， 如本题解法一显然比解法二简便。2-7 图示为由桥电路构成的衰减器。( 1)试证明当时，且有；( 2)试证明当时，并求此时电压比。解：( 1)当时电路为一平衡电桥，可等效为题解图 (a)所示电路，所以即( 2)
10、把由构成的形电路等效变换为形电路，原电路等效为题解图 (b) 。其中，因为所以2-8 在图 (a) 中，；，；在图 (b) 中，。利用电源的等效变换求图 (a) 和图 (b) 中电压。解 (a) ：利用电源的等效变换，将(a) 图等效为题解图(a1) ， (a2) 。其中把所有的电流源合并，得把所有电阻并联，有所以解(b):图(b)可以等效变换为题解图(b1) , (b2)其中等效电流源为等效电阻为所以注：应用电源等效互换分析电路问题时要注意，等效变换是将理想电压源与电阻的串联模型与理想电流源与电阻的并联模型互换，其互换关系为：在量值上满足或，在方向上有的参考方向由的负极指向正极。 这种等效是
11、对模型输出端子上的电流和电压等效。 需要明确理想电压源与理想电流源之间不能互换。2-9 利用电源的等效变换，求图示电路的电流。解： 利用电源的等效变换， 原电路可以等效为题解图 (a) ，(b) 和 (c) ，所以电流2-10 利用电源的等效变换，求图示电路中电压比。已知。解法一： 利用电源的等效变换， 原电路可以等效为题解图(a)所示的单回路电路，对回路列写 KVL方程，有把带入上式，则所以输出电压即解法二： 因为受控电流源的电流为， 即受控电流源的控制量可以改为。原电路可以等效为图 (b) 所示的单结点电路，则即又因即所以注：本题说明，当受控电压源与电阻串联或受控电流源与电阻并联时， 均可
12、仿效独立电源的等效方法进行电源互换等效。需要注意的是，控制量所在的支路不要变掉发，若要变掉的话，注意控制量的改变，不要丢失了控制量。2-11 图示电路中，的电压，利用电源的等效变换求电压。解：原电路可等效变换为题解2-11 图所示电路。图中对回路列KVL方程，有即所以电压2-12 试求图 (a) 和 (b) 的输入电阻。解 (a) ：在 (a) 图的 a， b 端子间加电压源，并设电流如题解 2-12 图 (a) 所示，显然有故得 a， b 端的输入电阻解 (b) ：在 (b) 图的 a， b 端子间加电压源，如题解图 (b) 所示，由KVL和KCL可得电压所以 a， b 端的输入电阻注： 不
13、含独立源的一端口电路的输入电阻 (或输出电阻)定义为端口电压和端口电流的比值，即。在求输入电阻时，( 1)对仅含电阻的二端电路，常用简便的电阻串联、并联和变换等方法来求；(2)对含有受控源的二端电阻电路，则必须按定义来求， 即在端子间加电压源 (如本题的求解)亦可加电流源，来求得端口电压和电流的比值。2-13 试求图 (a) 和 (b) 的输入电阻。解(a):在(a)图的端子间加电压源，设电流，如题解2-13图所示。根据KCL有有因由此可得即故输入电阻解 (b) ：在 (b) 图的端子间加电压源，设端口电流如题解图(b)所示。根据KVL,显然有由KCL得联立求解以上式子，可得即故输入电阻2-14 图示电路中全部电阻均为，求输入电阻。解： a， b 端右边的电阻电路是一平衡电桥， 故可拿去 c ，d 间联接的电阻，然后利用电阻串、并联和电源等效变换把原电路依次等效为题解 2-14 图 (a),(b),(c),(d)。在图 (d) 的端口加电压源，则有即电路的输入电阻
