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1、2012年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（56分）：1（2012上海）计算：=_（i为虚数单位）2（2012上海）若集合A=x|2x+10，B=x|x1|2，则AB=_3（2012上海）函数f（x）=的值域是_4（2012上海）若=（2，1）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为_（结果用反三角函数值表示）5（2012上海）在的二项展开式中，常数项等于_6（2012上海）有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，Vn，则（V1+V2+Vn）_7（2012上海）已知函数f（x）=e|xa|（a为常数）若f（x）在区间1，+）上是增函数，则a的取值范围是
2、_8（2012上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的体积为_9（2012上海）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（1）=_10（2012上海）如图，在极坐标系中，过点M（2，0）的直线l与极轴的夹角a=，若将l的极坐标方程写成=f（）的形式，则f（）=_11（2012上海）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是_（结果用最简分数表示）12（2012上海）在平行四边形ABCD中，A=，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足=，则的取值
3、范围是_13（2012上海）已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、B（，5）、C（1，0），函数y=xf（x）（0x1）的图象与x轴围成的图形的面积为_14（2012上海）如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是_二、选择题（20分）：15（2012上海）若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）Ab=2，c=3Bb=2，c=3Cb=2，c=1Db=2，c=116（2012上海）在ABC中，若sin2A+sin2Bsin2C，则ABC的
4、形状是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不能确定17（2012上海）设10x1x2x3x4104，x5=105，随机变量1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量2取值、的概率也均为0.2，若记D1、D2分别为1、2的方差，则（）AD1D2BD1=D2CD1D2DD1与D2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关18（2012上海）设an=sin，Sn=a1+a2+an，在S1，S2，S100中，正数的个数是（）A25B50C75D100三、解答题（共5小题，满分74分）19（2012上海）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，E是PC
5、的中点，已知AB=2，AD=2，PA=2，求：（1）三角形PCD的面积；（2）异面直线BC与AE所成的角的大小20（2012上海）已知f（x）=lg（x+1）（1）若0f（12x）f（x）1，求x的取值范围；（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0x1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x1，2）的反函数21（2012上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设：失事船的移动路径可视为抛物线；定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；救援船出发t小时后
6、，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22（2012上海）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2y2=1（1）过C1的左顶点引C1的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OPOQ；（3）设椭圆C2：4x2+y2=1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OMON，求证：O到直线MN的距离是定值23（2012上海）对于数集X=1，x1，x2，xn
7、，其中0x1x2xn，n2，定义向量集Y=（s，t），sX，tX，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P例如1，1，2具有性质P（1）若x2，且1，1，2，x具有性质P，求x的值；（2）若X具有性质P，求证：1X，且当xn1时，x1=1；（3）若X具有性质P，且x1=1、x2=q（q为常数），求有穷数列x1，x2，xn的通项公式2012年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（56分）：1（2012上海）计算：=12i（i为虚数单位）考点：复数代数形式的乘除运算。专题：计算题。分析：由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1i，再由进行计算即可得到答案解答：解：故答案为12i点评
8、：本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭，复数的四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌握2（2012上海）若集合A=x|2x+10，B=x|x1|2，则AB=（，3）考点：交集及其运算。专题：计算题。分析：由题意，可先将两个数集化简，再由交的运算的定义求出两个集合的交集即可得到答案解答：解：由题意A=x|2x+10=x|x，B=x|x1|2=x|1x3，所以AB=（，3）故答案为（，3）点评：本题考查交集的运算，解题的关键是熟练掌握交集的定义及运算规则，正确化简两个集合对解题也很重要，要准确化简3（2012上海）函数f（x）=的值域是考点：二阶矩阵；三角函数中的恒
9、等变换应用。专题：计算题。分析：先根据二阶行列式的运算法则求出函数的解析式，然后化简整理，根据正弦函数的有界性可求出该函数的值域解答：解：f（x）=2sinxcosx=2sin2x1sin2x1sin2x则2sin2x函数f（x）=的值域是故答案为：点评：本题主要考查了二阶行列式的求解，以及三角函数的化简和值域的求解，同时考查了计算能力，属于基础题4（2012上海）若=（2，1）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为arctan2（结果用反三角函数值表示）考点：平面向量坐标表示的应用。专题：计算题。分析：根据直线的法向量求出直线的一个方向向量，从而得到直线的斜率，根据k=tan可求出倾斜角
10、解答：解：=（2，1）是直线l的一个法向量可知直线l的一个方向向量为（1，2），直线l的倾斜角为得，tan=2=arctan2故答案为：arctan2点评：本题主要考查了方向向量与斜率的关系，以及反三角的应用，同时运算求解的能力，属于基础题5（2012上海）在的二项展开式中，常数项等于160考点：二项式定理的应用。专题：计算题。分析：研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为0，得到相应的r，从而可求出常数项解答：解：展开式的通项为Tr+1=x6r（）r=（2）r x62r令62r=0可得r=3常数项为（2）3=160故答案为：160点评：本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定
11、项，同时考查了计算能力，属于基础题6（2012上海）有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，Vn，则（V1+V2+Vn）考点：数列的极限；棱柱、棱锥、棱台的体积。专题：计算题。分析：由题意可得，正方体的体积=是以1为首项，以为公比的等比数，由等不数列的求和公式可求解答：解：由题意可得，正方体的棱长满足的通项记为an则=是以1为首项，以为公比的等比数列则（V1+V2+vn）=故答案为：点评：本题主要考查了等比数列的求和公式及数列极限的求解，属于基础试题7（2012上海）已知函数f（x）=e|xa|（a为常数）若f（x）在区间1，+）上是增函数，则a的取值范围是
12、（，1考点：指数函数单调性的应用。专题：综合题。分析：由题意，复合函数f（x）在区间1，+）上是增函数可得出内层函数t=|xa|在区间1，+）上是增函数，又绝对值函数t=|xa|在区间a，+）上是增函数，可得出1，+）a，+），比较区间端点即可得出a的取值范围解答：解：因为函数f（x）=e|xa|（a为常数）若f（x）在区间1，+）上是增函数由复合函数的单调性知，必有t=|xa|在区间1，+）上是增函数又t=|xa|在区间a，+）上是增函数所以1，+）a，+），故有a1故答案为（，1点评：本题考查指数函数单调性的运用及复合函数单调性的判断，集合包含关系的判断，解题的关键是根据指数函数的单调性将
13、问题转化为集合之间的包含关系，本题考查了转化的思想及推理判断的能力，属于指数函数中综合性较强的题型8（2012上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的体积为考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）。专题：计算题。分析：通过侧面展开图的面积求出圆锥的母线，底面的半径，求出圆锥的体积即可解答：解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，可知，圆锥的母线为：l；因为4=l2，所以l=2，半圆的弧长为2，圆锥的底面半径为2r=2，r=1，所以圆柱的体积为：=故答案为：点评：本题考查旋转体的条件的求法，侧面展开图的应用，考查空间想象能力，计算能力9（2012上海）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（1）=1考点：函数奇偶性的性质；函数的值。专题：计算题。分析：由题意，可先由函数是奇函数求出f（
