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1、【例1】 已知是数列an的前项和,npn（R，nN*）,那么数列an. A是等比数列当p0时是等比数列C当p0，p时是等比数列D.不是等比数列分析 由Snpn(N*），有a1=p,并且当n2时,n=SSn-pn-=(p-1)n-1但满足此条件的实数p是不存在的，故本题应选D.说明 数列an成等比数列的必要条件是a（n*),还要注【例】 已知等比数列1，x1，2,2，2，求x1x3x2n.解 1，x1,2，,xn，成等比数列，公比212n+1x2x3x2q32nq1+2+3+n式；(）已知a34a8，求a34aa6的值4=2【例】 已知a0,0且a,在a，b之间插入n个正数x，2，,xn，使得a
2、,x,x，,n,b成等比数列，求证明 设这+2个数所成数列的公比为q，则b=an+【例5】 设a、b、d成等比数列,求证:(bc)(ca)2（d)2(ad)2证法一 a、b、c、d成等比数列b2=ac,c2bd，ad=bc左边=b2bc2c2-2aca2-2bb2=(-ac）2（c2bd)+(a2-bc+d2)=2-2d+d(a-）2=右边证毕.证法二 a、d成等比数列，设其公比为q，则:b=aq,caq2，d=aq3左边=(a-aq2)2(aq2-a)+(aq-)2=a22a2q+a2q=(aaq3)=（ad)=右边证毕.说明 这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目.证法一是抓住了求
3、证式中右边没有、c的特点，走的是利用等比的条件消去左边式中的b、c的路子证法二则是把a、c、统一化成等比数列的基本元素a、去解决的.证法二稍微麻烦些,但它所用的统一成基本元素的方法，却较证法一的方法具有普遍性【例6】 求数列的通项公式:(1）an中,a=2，an+1=3n+2(2)a中，a1=2,a=,且n+-n+12an=0思路：转化为等比数列an+1是等比数列a+1=33n-1 an=n-1n1a是等比数列，即an1an（a1）2n=32n1再注意到213,3a2=321,aa3=322，an-an-1=2n-2，这些等式相加,即可以得到说明 解题的关键是发现一个等比数列,即化生疏为已知(
4、1)中发现an+是等比数列，(2)中发现an+1an是等比数列,这也是通常说的化归思想的一种体现证 a、a2、a3、a4均为不为零的实数上述方程的判别式0，即又、a、a为实数因而a、a、a成等比数列a即为等比数列1、2、a3的公比.【例】 若、b、c成等差数列，且a+、b、c与a、c+2都成等比数列，求的值.解 设a、b、c分别为b-d、b、bd,由已知bd1、b、+d与bd、b、b+d+2都成等比数列，有整理,得bd=2b-2d 即b=3代入,得9=(3d-d1)（3dd）92=（2d+1)4解之,得d4或d0(舍）=2【例9】 已知等差数列an的公差和等比数列bn的公比都是d，又知d1,且
5、=b，a10=b1:()求1与d的值；(2)b16是不是a中的项?思路：运用通项公式列方程(2)1=b1d1=-3b16=32b=-321,如果b6是an中的第项,则-32a1=a1+()(-)d=33a1=33k=34即b是n中的第4项.解 设等差数列的公差为d，则an=a1（-1）解这个方程组，得1-1，d=或a1=3，d=-2当1=-1,d2时，a=a1(n-1)d=23当a13,=时,an=a（n1)=52n【例11】 三个数成等比数列,若第二个数加4就成等差数列,再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列，求这三个数.解法一 按等比数列设三个数,设原数列为a，q,aq2由已知:a,a
6、q4,aq2成等差数列即:2(aq+)=aa2 ,aq+,aq2成等比数列即:(a+4)2=a（2+2)解法二 按等差数列设三个数，设原数列为-d,4,b+d由已知:三个数成等比数列即:(b)2=(d)(b+d)b-，b，b+d32成等比数列即2=（b)(+d2）解法三 任意设三个未知数，设原数列为a，a2,a3由已知：a1，a,3成等比数列a1，a+4,a3成等差数列得：(a24)=1a3 a，a24,a2成等比数列得:（2+4)2=a（a332) 说明 将三个成等差数列的数设为ad,a,ad;将三个成简化计算过程的作用.【例12】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且
7、第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是2，求这四个数.分析 本题有三种设未知数的方法方法一 设前三个数为ad，a,ad，则第四个数由已知条方法二 设后三个数为b,bq，bq2,则第一个数由已知条件推得为b-q方法三 设第一个数与第二个数分别为x,y,则第三、第四个数依次为1-y,16-.由这三种设法可利用余下的条件列方程组解出相关的未知数，从而解出所求的四个数,所求四个数为:，4，8，16或5,9,.解法二 设后三个数为：b，bq，b2，则第一个数为：bbq所求四个数为:0，4，8，16或1,3,.解法三 设四个数依次为x,y，1-y，16.这四个数为0，,8,1或15,3，1
8、【例13】 已知三个数成等差数列，其和为16；另外三个数成等比数列，把两个数列的对应项依次相加,分别得到5,7,84求这两个数列.解 设成等差数列的三个数为b-,b，d，由已知，bd+b+b+d16b2这三个数可写成2-d,42,42.再设另三个数为a，q，aq2由题设,得解这个方程组，得a1=1或a68当a=17时,q2，d=-2从而得到：成等比数列的三个数为17,3,68,此时成等差的三个数为8，42,16;或者成等比的三个数为68,34,7,此时成等差的三个数为1，42，67.【例14】 已知在数列an中,a、a2、a3成等差数列，、a3、a4成等比数列，a、a4、5的倒数成等差数列,证
9、明:1、3、a5成等比数列证明 由已知，有2a2=aa 即 a3(a3)=a5(a1+3)所以a1、a3、a5成等比数列【例15】 已知(bc）lgm+(-)lomy(ab)lom=(1）设a，,c依次成等差数列,且公差不为零,求证：x,z成等比数列(2）设正数x，z依次成等比数列，且公比不为，求证：，b，c成等差数列.证明 (1)a,b,c成等差数列,且公差0-cab=d,ca=2d代入已知条件，得:d(logmx-logmyogm)0logm+z=2lgy2=xzx，z均为正数x,y，z成等比数列(2)，,z成等比数列且公比q1y=x,=x代入已知条件得:（b-c)og(ca）lmx(a-)logxq2=0变形、整理得：(ca-2b)logm=0q1 lomqc+a=0 即2b=c即a，b，c成等差数列
