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1、北京市东城区2011-2012学年度第二学期高三综合练习（一）数学（理科）本试卷分第卷和第卷两部分，第卷1至2页，第卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若，是虚数单位，且，则的值为 （A） （B） （C） （D）（2）若集合，则“”是“”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （3）若实数，满足不等式组则的最小值为 （A） （B
2、） （C） （D） （4）右图给出的是计算的一个程序框图， 其中判断框内应填入的条件是 （A） （B） （C） （D） （5）某小区有排成一排的个车位，现有辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的个车位连在一起， 那么不同的停放方法的种数为（A）16（B）18（C）24（D）32（6）已知，若，成等比数列，则的值为 C （A）（B）（C）（D）（7）在直角梯形中，已知，若为的中点，则的值为 （A） （B） （C） （D）（8）已知函数若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（A） （B） （C） （D）第卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。（9）命题“”
3、的否定是 .（10）在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离为 （11）在如图所示的茎叶图中，乙组数据的中位数是 ；若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数后，两组数据的平均数中较大的一组是 组（12）如图，是的直径，直线切于点，且与延长线交于点，若，则= （13）抛物线的准线方程为 ；经过此抛物线的焦点是和点，且 与准线相切的圆共有 个（14）如图，在边长为的正方形中，点在上，正方形以为轴逆时针旋转角到的位置 ，同时点沿着从点运动到点，点在上，在运动过程中点始终满足，记点在面上的射影为，则在运动过程中向量与夹角的正切的最大值为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，
4、演算步骤或证明过程。（15）（本小题共13分） 已知函数.（）求的最小正周期；（）若函数的图象是由的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当,时，求的最大值和最小值. （16）（本小题共13分） 某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为，二等品率为；乙产品的一等品率为，二等品率为.生产件甲产品，若是一等品，则获利万元，若是二等品，则亏损万元；生产件乙产品，若是一等品，则获利万元，若是二等品，则亏损万元.两种产品生产的质量相互独立.（）设生产件甲产品和件乙产品可获得的总利润为（单位：万元），求的分布列；（）求生产件甲产品所获得的利润不少于万元的概率.（17）（本小题共13分）
5、如图1，在边长为的正三角形中，分别为，上的点，且满足.将沿折起到的位置，使二面角成直二面角，连结，.（如图2）（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的大小. 图1 图2 (18)（本小题共14分）已知函数在处的切线斜率为零（）求和的值；（）求证：在定义域内恒成立；() 若函数有最小值，且，求实数的取值范围.（19）（本小题共13分）已知椭圆：的离心率是，其左、右顶点分别为，为短轴的端点，的面积为（）求椭圆的方程；（）为椭圆的右焦点，若点是椭圆上异于，的任意一点，直线，与直线分别交于，两点，证明：以为直径的圆与直线相切于点（20）（本小题共14分）若对于正整数,表示的最大奇数因数，例如，.设 （
6、）求,的值；（）求，的值；（）求数列的通项公式北京市东城区2011-2012学年度第二学期高三综合练习（一）数学参考答案及评分标准（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）D （2）A （3）A （4）B（5）C （6）C （7）D （8）A二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9） （10） （11）84 乙（12） （13） （14）注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（）因为 , 6分所以函数的最小正周期为. 8分 （）依题意, . 10分 因为，所以. 11分 当，即时
7、，取最大值；当，即时， 取最小值. 13分 （16）（共13分）解：（）由题设知，的可能取值为，. 2分 ， ， ， . 6分 由此得的分布列为： 8分（）设生产的件甲产品中一等品有件，则二等品有件. 由题设知，解得，又，得，或. 10分所求概率为.（或写成）答：生产件甲产品所获得的利润不少于万元的概率为. 13分（17）（共13分）（）证明：取中点，连结.因为，所以，而，即是正三角形.又因为, 所以. 2分所以在图2中有，.3分所以为二面角的平面角. 图1又二面角为直二面角，所以. 5分又因为,所以平面,即平面. 6分（）解：由（）可知平面，如图，以为原点，建立空间直角坐标系，则，.在图中，
8、连结.因为，所以，且.所以四边形为平行四边形.所以，且.故点的坐标为（1，0）. 图2所以， ，.8分不妨设平面的法向量，则即令，得. 10分所以. 12分故直线与平面所成角的大小为. 13分 （18）（共14分）（）解：. 2分由题意有即，解得或（舍去）4分得即，解得 5分（）证明：由（）知， 在区间上，有；在区间上，有 故在单调递减，在单调递增，于是函数在上的最小值是 9分故当时，有恒成立 10分()解： 当时，则，当且仅当时等号成立，故的最小值，符合题意； 13分当时，函数在区间上是增函数，不存在最小值，不合题意；当时，函数在区间上是增函数，不存在最小值，不合题意综上，实数的取值范围是 14分（19）（共13分）（）解：由已知 2分 解得， 4分 故所求椭圆方程为 5分（）证明：由（）知，设，则 于是直线方程为 ，令，得；所以，同理 7分 所以，. 所以 所以 ，点在以为直径的圆上 9分 设的中点为，则 10分又，所以 所以 12分因为是以为直径的圆的半径，为圆心，故以为直径的圆与直线相切于右焦点 13分（20）（共14分）解：（）， 2分（）； ； 6分()由（）（）不难发现对，有 8分 所以当时， 11分于是，所以 ， 13分 又，满足上式， 所以对， 14分
