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1、第一讲 三角形的三线知识体系一、三角形相关概念1三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：三条线段；不在同一直线上；首尾顺次相接2三角形的表示通常用三个大写字母表示三角形的顶点,如用A、B、C表示三角形的三个顶点时,此三角形可记作ABC,其中线段AB、BC、AC是三角形的三条边,A、B、C分别表示三角形的三个内角二、三角形中的三种重要线段三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段1三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线注意：三角形的角平分线是一条线段,可以度量,而角的平分线是经过角
2、的顶点且平分此角的一条射线三角形有三条角平分线且相交于一点,这一点一定在三角形的内部三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同,可以用量角器画,也可通过尺规作图来画2三角形的中线：在一个三角形中,连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线注意：三角形有三条中线,且它们相交三角形内部一点画三角形中线时只需连结顶点与对边的中点即可3三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线,顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线,简称三角形的高注意：三角形的三条高是线段画三角形的高时,只需要向对边或对边的延长线作垂线,连结顶点与垂足的线段就是该边上的高三、三角形三边关系定理三角形两边之和大于第三边,故同时满足
3、ABC三边长a、b、c的不等式有：a+bc,b+ca,c+ab三角形两边之差小于第三边,故同时满足ABC三边长a、b、c的不等式有：ab-c,ba-c,cb-a注意：判定这三条线段能否构成一个三角形,只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可四、三角形的稳定性三角形的三边确定了,那么它的形状、大小都确定了,三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理例题解析例1填空1、按角分类 ：可分为三角形、三角形、三角形； 按边分类：等腰三角形和不等边三角形；等腰三角形又可分为：三角形和不相等的等腰三角形；2、1如图,若,则AD是ABC的中线；三角形有条中线；三
4、角形的中线将三角形分成相等的两个三角形；2如图,若,那么CE是ABC的角平分线；三角形有条角平分线；3如图,则BF是ABC的BC边上的高；三角形有条高；锐角三角形条高在三角形内部；直角三角形条高在三角形内部；钝角三角形条高在三角形内部；3、下列图形中有稳定性的是 A. 正方形 B. 长方形 C. 三角形 D. 平行四边形例2对下面每个三角形,过顶点A画出中线,角平分线和高.练下列四个图形中,线段BE是ABC的高的图形是例3如图,在ABC中,AE是中线,AD是角平分线,AF是高.填空：1BE= ；2BAD= ；3AFB=90；4SABC=.练如图,在ABC中, 1=2,G为AD中点,延长BG交A
5、C于E,F为AB上一点,CFAD于H,判断下列说法那些是正确的,哪些是错误的.AD是ABE的角平分线BE是ABD边AD上的中线 BE是ABC边AC上的中线CH是ACD边AD上的高例4如图,在ABC中,D,E分别是BC,AD的中点,=4,求_EDBC_A练如图,在ABC中,D是AD的中点,=4,求例5如图,ACB中,ACB=90,1=B1试说明CD是ABC的高；2如果AC=8,BC=6,AB=10,求CD的长练已知AD,CE为三角形ABC的两条高,AB=4cm,CE=2cm(1) 求三角形ABC的面积(2) 若AD=1.5cm求BC的长例6如图,在三角形ABC中,AD是BC边上的中线,三角形AB
6、D的周长比三角形ACD的周长小5,你能求出AC与AB的边长的差吗？练在ABC中,AD是BC边上的中线,若ABD和ADC的周长之差为4ABAC,AB与AC的和为14,求AB和AC的长例71.以下各组线段为边,能组成三角形的是 A1cm,2cm,4cm B8cm,6cm,4cm C12cm,5cm,6cm D2cm,3cm,5cm练1.在中,若,则第三边的长度的取值范围是2.2011#已知三角形三边长分别为2,x,13,若x为正整数则这样的三角形个数为A、2B、3C、5D、13练已知三角形的两边长为2cm和7cm,第三边的长是一个奇数,则第三边的长是cm.3.已知等腰三角形三边长分别是4,8,X,
7、求X的值练等腰三角形的一边长为5cm,它的另一边短6cm,求三角形的周长例8已知a,b.c分别是三角形的三边长,且b,c满足b-c2+/c-3/=0,a满足/a-4/=2(1) 求的周长(2) 判断的形状练已知a,b.c分别是三角形的三边长,化简+例10小华在 中问小明：已知一个三角形三边长分别是4,9,12,如何求这个三角形的面积？小明提示说：可通过作最长边上的高来求解小华根据小明的提示作出的图形正确的是BADC家庭作业1、如图：1在ABC中,BC边上的高是_2在AEC中,AE边上的高是_3在FEC中,EC边上的高是_4若AB=CD=2cm,AE=3cm,则SAEC=_cm2,CE=_cm2
8、. 如图,在直角三角形ABC中,ACB=90,CD是AB边上的高,AB=13cm,BC=12cm,AC=5cm,求ABC的面积；CD的长.3、如图所示,AD是ABC的中线,AB=6cm,AC=5cm,求ABD和ADC的周长的差4、如图所示,AD是ABC的中线,AE是ACD的中线,已知DE=2cm,求BD,BE,BC的长5、如图,ABC中,ABC=40,C=60,ADBC于D,AE是BAC的平分线1求DAE的度数；2指出AD是哪几个三角形的高7、如图在ABC中,CD是高,点E、F、G分别在BC、AB、AC上,且EFAB,1=2,试判断DG与BC的位置关系？并说明理由8、 三角形的三边长分别为5,
9、1+2x,8,则x的取值范围是_.第二讲: 三角形角度计算基础回顾1、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于；引申：直角三角形中,两内锐角；几何形式：在ABC中,A+B+C=；或A+B =-C；或A =-C-B；2、1三角形的与另一条边组成的角叫三角形的外角；2三角形的一个外角等于和它的两个内角的和；几何形式：A+B =；或A =-B；3三角形的一个外角大于任何一个和它的内角；几何形式：ACD ；或ACD ；引申：4三角形的外角与它相邻的内角；几何形式：ACD+ACB =；（5） 三角形的外角和每个顶点取一个外角等于；3、多边形的对角线条对角线n边形的内角和为多边形的外角和为 例题解析 例
10、1选择题1、已知等腰三角形的一个外角是120,则它是A.等腰直角三角形 B.一般的等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰钝角三角形2、如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180,那么与这个外角相邻的内角的度数为A. 30 B. 60 C. 90 D. 1203、已知三角形的三个外角的度数比为234,则它的最大内角的度数.A. 90 B. 110 C. 100 D. 1204、如图,下列说法错误的是A、B ACDB、B+ACB =180AC、B+ACB B5、若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是.A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、无法确定6、如图,
11、若A=10,B=45,C=38,则DFE等于A. 120 B. 115 C.93 D. 1057、如图,1=_.8、如图,则1=_,2=_,3=_,9、已知等腰三角形的一个外角为150,则它的底角为_.例21如图,在ABC中,A=60,BD、CE分别是AC、AB上的高,H是BD、CE的交点,求BHC的度数练1如图,已知：在 中, , ,BD是 的高,求 的度数.2如图,已知：在 中, , , ,求 的度数.例3如图ABC中,A=20,CD是BCA的平分线,CDA中,DE是CA边上的高,又有EDA=CDB,求B的大小练如图,已知ABC的高AD,角平分线AE,B=26,ACD=56,求AED的度数
12、例4在ABC中,点D在BC上,且AD=BD=CD,AE是BC边上的高,若沿AE所在直线折叠,点C恰好落在点D处,则B等于多少？ 练如图,已知ABC为直角三角形,A=90,若沿图中虚线减去A,求1+2的值例5如图把一张三角形纸片沿DE折叠,当点A落在四边形BCDE的内部时,探索A、1、2之间的关系？练将ABC沿EF折叠,使点C落在点C处. 1如图1,试问1、2与C之间有何关系？为什么？2若点C在ABC的外部,如图2所示,试问1、2与C之间又有何关系？为图 1图 2什么？例6已知,如图,ABCD,AE平分BAC,CE平分ACD,求E的度数练如图4,1+2+3+4等于多少度例7如图1,求证A+B=C+D 如图2,求证A+B+C=BDC 如图3,求A+B+C+D+E=_如图4,F=58,则A+B+C+D+E=_如图5,求A+B+C+D+E=_如图6,A+B+C+D+E+F+G=；如图7,A+B+C+D+E+F=； 图1 图2 图3 图4 图5 图6 图7例8已知ABC的三个内角的度数之比A：B：C=1：3：5,则B=0 C=0练等腰三角形两内角的度数之比是1：2,求顶角的度数.例9如图1,ABC中,A=50,点P是ABC与ACB平分线的交点1求P的度数；
