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1、杨阳晟超 11级商学院国际经济与贸易一班 201102013017江西师范大学商学院学士论文导数的计算方法技巧及其应用The calculation method of derivative skills and its application姓 名： 杨阳晟超学 号： 201102013017学 院： 商学院 专 业： 国际经济与贸易指导老师： 桂国祥完成时间： 2012年12月8日I导数的计算方法技巧及其应用杨阳晟超【摘要】 导数是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续
2、的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。 导数亦名纪数、微商（微分中的概念），是由速度变化问题和曲线的切线问题（矢量速度的方向）而抽象出来的数学概念，又称变化率。物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如：导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度（就匀速直线加速度运动为例：位移关于时间的一阶导数是瞬时速度，二阶导数是加速度）；可以表示曲线在一点的斜率（矢量速度的方向）；还可以表示经济学中的边际和弹性。以上说的经典导数定义可以认为是反映局部欧氏空间的函数变化。为了研究更一般的流形上的向量丛截面（比如切向量场）的变化，导数
3、的概念被推广为所谓的“联络”。有了联络，人们就可以研究大范围的几何问题，这是微分几何与物理中最重要的基础概念之一。【关键词】导数 微分 高阶导数 运算法则 导数的应用杨阳晟超 11级商学院国际经济与贸易一班 201102013017The calculation method of derivative skills and its applicationYang Yangshengchao【Abstract】 The derivative is the important basic concepts in calculus. When the independent variable in
4、crement tends to zero, the dependent variable and the increment of the independent variable increment business limit. In a function derivative, call this function can be mediated or differential. Differentiable function must be continuous. Discontinuous function must not guide. The derivative is ess
5、entially a demand limit, derivative of the four arithmetic operations from the limit of four arithmetic operations.The derivative is also named counting, derivative ( differential concept), by the speed change and curve tangent problem ( vector velocity direction ) and the abstract mathematical conc
6、epts, also known as the rate of change. In geometry, physics, economics and other disciplines in some important concepts can be expressed by derivative. Such as : the derivative can be expressed in a moving object ( the instantaneous speed and acceleration on uniform linear acceleration motion for e
7、xample: displacement on the time derivative is the instantaneous velocity, two derivative is acceleration ); can be expressed at a point of a curve slope ( vector velocity direction ); also can be expressed in the economics of the margin and elasticity. The above said classic definition of derivativ
8、e can be considered to reflect locally Euclidean space function change. In order to study more general manifolds vector bundle section (such as the tangent vector field ) changes, the concept of derivative being promoted as a so-called contact . A contact, people can study a wide range of problems i
9、n geometry, differential geometry and physics, which is one of the most important basic concepts.【Key words】Derivative Differential Higher order derivative Rules of operation The application of derivative1杨阳晟超 11级商学院国际经济与贸易一班 201102013017目录一、引言5二、导数概念5（一）导数定义5（二）导数几何意义6（三）左右导数6（四）可导与连续的关系7三、导数的基本公式与
10、运算法则7（一）基本求导法则与导数公式7（二）复合求导9（三）反函数求导9（四）隐函数求导10四、高阶导数11五、小结12参考文献141杨阳晟超 11级商学院国际经济与贸易一班 201102013017一、引言 数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学。微分学与积分学统称为微积分学。微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一。 从15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展，形成了一个新的经济时代。而十六世纪的欧洲，正处在
11、资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展。生产实践的发展对自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展。在各类学科对数学提出的种种要求中，下列三类问题导致了微分学的产生： (1) 求变速运动的瞬时速度；(2) 求曲线上一点处的切线；(3) 求最大值和最小值。这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题。牛顿从第一个问题出发，莱布尼茨从第二个问题出发，分别给出了导数的概念。二、 导数概念（一） 导数定义定义：设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义, 当自变量x在
12、x0处取得增量x(点x0+x仍在该邻域内)时, 相应地函数y取得增量y=f(x0+x)-f(x0); 如果y与x之比当x0时的极限存在, 则称函数y=f(x)在点x0处可导, 并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数, 记为, 即： 也可记为：，或（二） 导数的几何意义 函数y=f(x)在点x0处的导数f (x0)在几何上表示曲线y=f(x)在点M(x0, f(x0)处的切线的斜率, 即 f (x0)=tan其中是切线的倾角. 如果y=f(x)在点x0处的导数为无穷大, 这时曲线y=f(x)的割线以垂直于x 轴的直线x=x0为极限位置, 即曲线y=f(x)在点M(x0, f(x0)处具有
13、垂直于x轴的切线x=x0. : 由直线的点斜式方程, 可知曲线y=f(x)在点M(x0, y0)处的切线方程为 y-y0=f (x0)（x-x0） 过切点M(x0, y0)且与切线垂直的直线叫做曲线y=f(x)在点M处的法线如果f (x0)0, 法线的斜率为, 从而法线方程为 .（三） 左右导数 f(x)在的左导数: f(x)在的右导数: 如果极限存在,则称此极限值为函数在x0的左导数 如果极限存在,则称此极限值为函数在x0的右导数（四） 可导与连续的关系 设函数y=f(x)在点x0 处可导, 即存在. 则 这就是说, 函数y=f(x)在点x0 处是连续的。所以, 如果函数y=f(x)在点x处
14、可导, 则函数在该点必连续。另一方面, 一个函数在某点连续却不一定在该点处可导。三、 导数的基本公式与运算法则（一） 基本求导法则与导数公式1 基本初等函数的导数(1) (C)=0(2) (xm)=m xm-1(3) (sin x)=cos x(4) (cos x)=-sin x(5) (tan x)=sec2x(6) (cot x)=-csc2x(7) (sec x)=sec xtan x(8) (csc x)=-csc xcot x(9) (a x)=a x ln a(10) (e x)=ex(11) (12) (13) (14) (15) (16) 2函数的和、差、积、商的求导法则设u=u(x), v=v(x)都可导, 则(1) (u v)=uv(2) (C u)=C u(3) (u v)=uv+uv(4) 例1y=2x 3-5x 2+3x-7, 求y 解: y=(2x 3-5x 2+3x-7)= (2x 3)-（5x 2)+（3x)-（7)= 2(x 3)- 5（x 2)+ 3（x) =23x 2-52x+3=6x 2-10x+3例2. , 求f (x)及. 解: （二） 复合函数
