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1、宁夏大学学报（自然科学版）1989年第1期（总第25期）1一7页XI个独立同均匀分布的随机变量之和及算术平均的分布欧阳枢在谋差理论中，服从均匀分布的兀个独立随机变ft之和XX及算术平均麺概率分布 都 有着极为重要的地位和作用。然而，瑞典数学家H. Cramer著的统计数学方法】切中， 只在曲立同均匀分布（0, 1 ）的特殊倚形下给出了XX的概率分布。苏联数学家B. 厂毗恥叶字的槪率论教程心|中，也只在独立同分布（ 1 ,1 ）的特殊情形下提出算术平均壬取值落入区间（一小兀）中的概率Pr（x）,但Pn（x的表达式是错误的。本文的主要工作，是对吏一般的均匀分布b ）,其中a, 0均为实数，讨论 独
2、立同分布的随机变量之和2X及算术平均来的概率分布。其次，是纠正2中Pn（x）的表达式的错误，给出P3的正确结果。1 算术平均戈的概率分布设随机变量X在区间“力上服从均匀分布，简记为XU （a, b ）,其中“ b均为 实数.按均匀分布定义，随机变凰X具有分布密度函数其它.再根据随机变量的特征函数的定义，不难算得X的特征函数是= Qsin- t / t Qem 八 2,其中ER.现假设有九个相互独立且都服从均匀分布U 5的随机变量，Xt9 Xi,，X,由特征函数的性质知随机变jgx , a 2,，处的特征函数也应是再利用待征函数的性质不难求得仝的特征函数但显燃随机变蚩竽字n,互是独立同分布妁，又
3、由于X X，X”前算术平均 n戈二二、 - 乂 7 X、a - 1毛*. * .=弓Jc（P心皿的连续型随机变屋（其证明见3 3由于待征函数一（。于R上显慕绝对可积，耙（1 ）代入（2有f(x) = f C匸(Od (dt5 J -7x2n2” f 1_：, b-a .、a-Vb 、，一 2i(.b-aY *，n (-莎一 )tOJ (厂一尤皿其中 gz w4HJQ%S=0, 1, 2，,n-1乔访佥二访艺（7 （级族一心Cn n也我是说f n釣明嵋衣达丈赳打p个C的每一令取伎就对应地有一卜武子。 根据引理i；f知丈是一令连续型隧机变竝；其分布密厘为i 而二曲二1亓工（2）-“皿一小 u(b
4、lr 2, lj共它.顶便指出，也可以利用卷积必式 f O= Jfi .1 (x z)g (z)dz f = 2 3y .具中 g (v)-0, 其它，知小，f. W是X i -r -Y 2 4- 4- X，的分布点度函数。经归纳推出与（3）宛全相同的结乘。根苹分布阳薮的定:心 由于无是呉冇口度函薮d的逐续型随机艾呈，则有 A F_（ax= J QOcLr乔刀注一厂艺（Ted肚一“一心一小任厉一疗:Ll）j 3（-小（为 J：.一-心FJ 任T 0艺（一 2厂（；林一加一心一小JnQb.n所以，我们得到X的分布雨数r 0,(ba) *而且，经过简单计算，我们不难得到无的数学期望和方差(E (X
5、)= (a + 6/2-(5 )Z(X)= (ba) 2/12.这表明无取值的中心在区何S刃的中点处，而随的增大，无的取值就越向中点集中。 下面指出，当随机变量X” X2,X.相互独立且都服从均匀舍布D( a, a)时，只要在(3 ) p ( 4 ) / ( 5 )中用一a代替Q用a代替5,便立即可到文的分布密度函数(_nx-na 2ra)f0和相应的分布函数0,2ka-na_x2(-l)ana901 2,n-1,nn(nx-na 2ra ) 12na.以及数学期望和方差公(戈=0, D(X)a2/3n.不难验证，此时灭的分布关于中心EX) =0对称，即有F.(龙)=1F.(力XX其中&(一刃
6、=缶工(一1)nxna2ra )彳, 2 (上 + la +( 2ka-Vna ) g 0,1,2,我们现在来计算衣取值落入区间(一*,兀(兀 R )的槪率(弟) 由于 p.(x) =F.(x)F.(x) = 1 2F(x)P.Mna nx2ra )其中 一2(k + Da+MfnWxW2ka + naJn、上=0, 1, 2/ ,n1. 显然，也可以记z=竺尹，即丘只取笃尹的整数部分。特别地，当a=l时，便得到个独立同均匀分布Cf -1.的廉机变fltX” X” ,X的算术平因巫值落于区间（一尢，尢中的概率PXX)= 1_-7T A-) ( nx 2r,因此，我们可以断言C2J中提出的X取值
7、落入 -x,北）中的概率数这个表达式是错谋旳，正确的结果应是我们给岀的结果 9 ）.2 独立和另x的概率分布为了求同分布U 5 方的力个独立随机变&Xlf X”，X”之和另X的概率分布, 只需对上面的结果 3 ） , 4 ）作适当变换即可。事实上，作变换Y = n袁,即有ynx, 0=丄.ft其它.f y r J Z-Sa 门ynb9t数学期望及方差分别为特别地，当a=0, b= 1时，便得同分布（0” 1的划个独立随机变蚤和X的分布密度函数; *1 1 0( f(y)= (- 1)1 厶&r - 0I 0,- 亠 “ r Q：)- r J斤= 0J,2,-1| ， 12) *其它.期望及方差
8、分别为E（Y.x）二导 及 。（丫*=誇结果（12正是H. Cramer在23中给出的结果。、.；疑后指出，相互独立且同分布17（-6 a）的”个琐机变 呈和另X的分 布，利 用结果 （6 ） , （ 7作变换，或利用结果（10） , （11 ） X-a代替a；以，2代皆从更可得到分布 密度函数ri 2W=t）t2矽 V naf2（丫了 加）2r/?Fgi 2! N八卩14；2肋如W矽W2（1）書力宀 W = 0J,2,1;.1 , 期琨攻方茎分别为C：X）- 0 Q（2X） = ”/3例 若顋机变JiX-XzXs相互独立且同分布”（一 4 ）,我们由结果（13；,（14八 取”=3,=寺直接可求出亍十孔的兮布经简单 计算求得分市密度函 Z数f(x)=、分布函数0,Z+)S-XT”今參考资科1 H. Cramer,统计数学方法上海：上海科学技术出版社，1966： 2352362 E. B. rHejeHKO.槪率论教程.北京：人民孜育出版社1961： 1483 中山大学数学力学系.概率论及数理统计(上册.北京：人民教育岀版社，1986：220 2417
