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1、研究新教材，教好函数课一次函数一章的教学研究山东沂南教育局 李树臣 【发表咋中学数学杂志2006年第5期】注明：本文以人民教育出版社出版的义务教育课程标准实验教科书数学（七九）年级为版本（简称“新教材”）展开讨论。函数是一个重要的数学概念，我们在初中仅学习代数函数（能够用代数式表示的函数），“新教材”关于代数函数内容的安排是分三章进行的：第11章“一次函数”、第17章“反比例函数”、第26章“二次函数”，它们分别对应一次、负一次和二次解析式。“一次函数”是学习函数的第一阶段，为教好本章内容，笔者谈以下几点：一、思想上高度重视函数概念及函数思想的教学教师在知识的传授过程中，为能使学生在头脑中形成
2、一个“优化”的认知结构，决不能单一的就知识讲知识，而应把一个个的处于游离状态的知识点（块）放在知识的网络里进行教学。要做到这一点，必须加强对函数内容和函数思想的教学与研究。1、函数内容无处不在我们的生活一刻也离不开函数。（1）函数与每个人都息息相关。如，一个人的身高、体重等都是时间（年龄）的函数；（2）函数与生活密切相关。如，电话费、水电费等都是时间的函数；（3）许多科学只有用函数才能表达清楚。如，物理学中的自由落体运动、生物学中的细胞繁殖规律等也是时间的函数；（4）生产成本的核算、生产工效的提高等都是相应自变量的函数。2、函数思想具有凝聚数学概念和命题、原则和方法的能力函数思想能把处于游离状
3、态的知识点（块）凝结成优化的知识结构，有了它，数学概念和命题才能“活”起来，数学原则和方法才有“生命力”。它们才能做到相互紧扣，相互支持，从而组成一个有机的整体。可见，函数思想是数学的内在形式，在数学知识的结构中起着统帅的作用，是学生获得数学知识、发展思维能力的动力和工具。3、函数思想是教材体系的灵魂在初中教材中有大量的内容体现着函数思想。数轴、有理数与实数的概念和运算、代数式的运算以及恒等变形等都是学习函数的基础。映射是函数思想的核心观点。初中教材中的不少概念都反映着函数的思想。如，相反数是从实数集到实数集的映射；绝对值是从实数集到非负实数集的映射。中学数学中的运算法则，如加（减）法法则、乘
4、（除）法法则、乘（开）方法则等在实质上也是一个映射。图形中的各种变换，如对称变换、相似变换、平移变换、旋转变换等都是从一个图形集到另一个图形集的映射。因此，有了函数思想作灵魂，各种数学知识才不再成为孤立的、零散的东西。可以说，函数思想是数学教材的“血脉”灵魂。二、从宏观上整体把握教材本章的主要内容包括：变量和函数的概念，函数的三种表示法，正比例函数和一次函数的概念、图像、性质和应用举例，用函数的观点进一步认识一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组。仔细研读教材便可发现，本章全是由实际问题“串联”起来的，这些问题有的是作为函数的实际背景为学习服务的，有的是作为函数的应用出现的，这样安排充分
5、体现了函数这一概念来源于生活实际又为解决实际问题服务的这一宗旨，也体现了“问题情境建立模型求解、应用和拓展”的教材编写模式。本章内容是在同学们学习了一元一次方程（第2章）、二元一次方程组（第8章）和不等式与不等式组（第9章）的基础上安排的，通过对这些内容的学习，学生已经对以一次运算为基础的数学模型有了一定的认识，具备了对一次运算从变化和对应的角度进行研究的认知基础，这样安排符合人的认识规律。新教材把本章内容分为三节：变量与函数、一次函数和用函数观点看方程（组）与不等式。第一节从实际问题入手，引导学生通过填表和列代数式会表示问题中相关的量，初步感知常量和变量的主要特征，能结合实际问题对它们进行区
6、别。之后，通过“归纳”栏目总结出这些问题中变量间关系的共同特点：问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量有唯一确定的对应值。至此已经确定出了函数概念的框架：两个变量，一个变量任意取值，另一个变量唯一确定的值与之对应。“新教材”给出的函数概念突出了变化与对应，这一概念有两层意思：一是两个变量互相联系，一个变量变化时另一个变量也发生变化；二是函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数的值是唯一确定的，这是对函数的最基本、最朴素的刻画。这一节的最后重点讨论了函数图象的问题，图象是直观的描述和研究函数的重要工具。三种常见的函数表示法（列表法、解析法和图像法）是反应函
7、数关系的三种不同形式。第二节从讨论正比例函数开始，在学习了正比例函数的定义、图象和性质后，奠定了学习讨论一次函数的基础，在展现本节内容时，教材注意了引导学生从特殊到一般的认识方法，由直线y=kx的平移变换过渡到直线y=kx+b，进而得出由两点确定直线的一般方法，这种“先特殊化、简单化，再一般化、复杂化”的处理方式展示了解决问题的一种基本策略。本节的最后部分，通过例题以解析式、图象和列表等不同形式，讨论了一次函数本身以及它的应用，初步反映了以一次函数为数学模型解决实际问题的过程。第三节从函数的角度对前面学习过的一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组进行了动态分析，用一次函数把上述三个不同的
8、数学对象统一起来认识。通过学习本节内容不仅可以加深对方程（组）与不等式等数学对象的理解，而且可以加大对已经学过的相关内容之间联系的认识，加深知识间横纵向的融会贯通，提高灵活分析问题、解决问题的能力。在本章的具体教学活动中，安排了用函数的知识根据实际问题提供的数据信息对这些问题进行预测估计或选择方案的问题，这样安排一方面可以进一步突出函数模型应用的广泛性和有效性；另一方面促进了学生运用所学知识分析实际问题、解决实际问题的综合能力。本章在学生已有的建立方程、不等式模型的基础上继续重视数学与实际问题的关系，初步学会建立函数这种具有更广应用性的数学模型。因此，本章的知识结构是：变化的世界函数建立数学模
9、型一次函数图象性质一元一次方程一元一次不等式二元一次方程组再认识有了上面的分析后，结合数学课程标准（以下简称标准）对“函数”的具体教学目标要求，可定出这一章的教学要求是：（1）根据实际问题中的数量关系和变化规律，经历“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的全过程，体验函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型。（2）结合具体的例子，认识常量、变量和函数的概念，体验“变化与对应”的思想，认识函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能根据函数图象分析简单的函数关系。（3）理解正比例函数和一次函数的概念，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些
10、函数分析和解决与生活有关的简单问题。（4）通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对方程（组）及不等式的认识，初步形成数形结合的思想，逐步树立起事物是相互联系的观点。标准在刻画数学知识技能时使用了“了解（认识）、理解、掌握、灵活运用”等目标性动词，还使用了“经历（感受）、体验（体会）、探索”等刻画数学活动水平的过程性动词。至于它们的涵义请参阅标准中的详述。贯彻教学要求时，必须准确地理解并把握上述有关动词的含义。把握准它们的含义有两层意思：一是不能过低的要求学生，这样就达不到标准的要求，完不成教学的任务，造成对后续学习缺乏“奠基”的知识，必然导致学生的数学基
11、础打不好；二是不能过高的要求学生，这样会增加学生的学习负担，影响其身心健康，久而久之将会抹杀他们学习数学的信心，同样也达不到提高学生数学素养的目的。前者就是人们通常说的“教学要求”过低，后者便是“教学要求”过高。出现这些现象的原因就是由于教师把握不准上述一些动词的含义所致。多年的教育实践告诉我们，持这两个“极端”的教师是造成有些学生学不好数学的主要因素，这样必然会影响数学教学质量的提高。可见，教师的责任重大！三、正确地把握本章的重点和难点对于每节课的教学重点、难点和关键，许多教师（特别是一些年轻教师）往往把握不准，这样容易导致教学偏离方向、层次不清、主次不明，这就是我们常说的教学“偏离”了方向
12、，这样的教学连“事倍功半”的效果也收不到。如果对一章的教学重点、难点和关键把握不准的活，那后果就不堪设想了。1、关于重点所谓重点，就是联贯全局、带动全面的重要之点。它对学生的认知结构起着核心作用，并在进一步学习中起基础作用和纽带作用，是基本的纲领性知识和方法。每章的教学重点，要根据本章教材内容在整个教材的知识结构中所处的地位和作用来确定。诸如关于概念的形成和定义、定理、公式、法则；定理、公式、法则的推导的思维过程和运用；各种具体的技能技巧的培养与训练；解(证)题的要领与方法；应用题的审题、分析与列式；相等关系的确定；图形的制作与描绘；理论如何应用于实践等等，这些都可以作为(不同课)的教学重点。
13、本章的教学重点是：（1）画一次函数的图象，结合图象归纳其性质；（2）根据一次函数的图象和性质解答生活中的实际问题；（3）利用一次函数的知识加深对相关知识的再认识。2、关于难点所谓难点，就是造成学习成绩有差距的分化点，它是由于学生的认知能力与知识要求之间存在着较大的矛盾造成的。一般来说，知识过于抽象，知识的内在结构过于复杂，概念的本质属性比较隐蔽，知识由旧到新要求用新的观点和方法去研究，以及各种逆运算等都是产生难点的因素。通常情况下，重点教材是一致的，而难点教材往往因所教学生的不同而有所区别，即因班因人而异。分析教学难点是一个相当复杂的工作，教师要从教材本身的特点、教学过程的矛盾、学生学习心理障
14、碍等多个方面进行考虑和综合分析，以便恰当地定出教学难点。本章的教学难点是函数概念的形成。为了更好的有效的解决这一难点问题，教师应能正确分析函数概念难学的原因。多年的教学实践表明，函数概念是中学生感到最难学的数学概念之一。造成这一结果的主要原因有两个：（1）函数概念本身的原因从数学自身的发展过程看，变量与函数概念的引入，标志着数学由常量数学向变量数学的迈进。函数概念是用“变量说”来定义的，这种定义方式有利于学生接受的一面，也有其不足的一面。例如，“变量”、“对应”这些词汇，并没有给出比较明确的定义，这就造成了学生对函数定义理解的困难。另外，函数概念可以用列表、图象、解析式等方法来表示。每一种表示
15、形式都可以独立的表示函数概念。这又是一个与其它概念不同的地方。由于函数概念需要同时考虑几种表示形式，并且要协调好各种表示之间的关系，常常需要在各种表示之间进行转换。故容易造成学习上的困难。（2）学生思维发展水平方面的原因在函数概念的学习中，要求学生能进行数形结合的思维运算，进行符号语言与图形语言之间的灵活转换。但在学生的认知结构中，数与形基本上是割裂的。这就要求学生的思维能在静止与连续、离散与连续之间进行转化。但学生的思维水平还处于很不成熟的阶段，他们看问题往往是局部的、静止的、割裂的，还不善于把抽象的概念与具体事例联系起来，还不能胜任这种需要用辩证思维的思想来理解函数概念。这与函数概念的运动
16、、变化、联系的特点是不相适应的，这又是造成函数概念学习困难的一个原因。四、函数概念教学的微观设计实践告诉我们，为了让学生更好的建立起函数的概念，教学中采取由具体例子逐步过渡到抽象定义的方法，在教学的开始不要急于给出定义，需要让学生经历分析具体问题中变量如何单值对应的过程，通过对多个问题的分析，归纳出各问题中都具有相关的两个变量，这样的变量之间都具有一个随另一个而变，而且对应值是唯一确定的这种对应关系，随着实例的增多，学生的具体经验积累到一定程度时，再给出定义，并指出定义是对具有上述对应关系的变量的描述，是对相关的两个变量的命名。其中，在变化过程中居于主导地位的变量叫做自变量，随之变化且对应值有唯一确定性的另一个变量叫做函数。这样安排学生就能比较顺利的形成
