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1、难点 7奇偶性与单调性 (一)函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.难点磁场( )设 a0,f(x)=exa是 R 上的偶函数，(1)求 a 的值； (2)证明： f(x)在 (0， +aex) 上是增函数 .案例探究例 1已知函数 f(x)在 ( 1， 1)上有定义， f( 1)= 1,当且仅当 0 x1 时 f( x)0,且对任2意 x、 y ( 1,1)都有 f(x)+f(y)= f(xy),试证明：1 xy(1) f(x)为奇函数； (2) f(x)在 ( 1， 1)上单
2、调递减 .命题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力属题目.知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.错解分析：本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得 .技巧与方法：对于(1)，获得 f(0)的值进而取x= y 是解题关键；对于(2)，判定x2x11x1x2的范围是焦点 .证明：(1) 由 f(x)+f(y)=f( xyxx1xy ),令 x=y=0,得 f(0)=0, 令 y= x,得 f(x)+f( x)=f(1x 2 )=f(0)=0. f(x)= f( x). f(x)为奇函数 .(2)先证 f(x)在 (
3、0，1) 上单调递减 .令 0x1x21,则 f(x2) f(x1)=f(x2) f(x1)=f(x2x1 )1x1 x2 0x1x20,1 x1x20， x2 x1 0,1 x2 x1又 (x2 x1) (1 x2 x1)=( x2 1)(x1+1)0 x2 x11 x2x1, 0 x2x1 1, 由题意知 f(x2x1 )01x2 x11x1 x2即 f(x2 )f(x1). f(x)在(0 ， 1)上为减函数，又 f(x)为奇函数且 f(0)=0. f(x)在( 1， 1)上为减函数 .例2 设函数f(x) 是定义在R上的偶函数，并在区间( ,0)内单调递增，22的取值范围，并在该范围内
4、求函数y=(1)a23a 1的单调递减区f(2a +a+1) f(3a 2a+1).求 a2间.命题意图： 本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定方法 .本题属于级题目 .知识依托：逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题.错解分析：逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱.技巧与方法： 本题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过本题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与方法.解：设 0 x1x2,则 x2 x10， f(x)在区间 ( ,0)内单调递增， f( x2) f( x1), f(x)为偶函数， f( x2)=f
5、(x2),f( x1)=f(x1), f(x2)f(x1). f(x)在 (0， + )内单调递减 .又 2a2a1 2(a1 )270,3a22a 1 3( a1) 220.4833由 f(2a2+a+1)3a2 2a+1.解之，得 0a3.又 a2 3a+1=( a 3 ) 2 5 .24函数 y=( 1 ) a2 3a 1 的单调减区间是3 ，+22结合 0a3,得函数 y=( 3) a23a 1 的单调递减区间为3 ，3).22锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决方法主要有：(1)判断函数的奇偶性与单调性若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性.若为抽象函数，在依托定义的基础上，
6、用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性.同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，针对所列的“磁场”及“训练”认真体会，用好数与形的统一 .复合函数的奇偶性、单调性.问题的解决关键在于：既把握复合过程，又掌握基本函数.(2)加强逆向思维、数形统一.正反结合解决基本应用题目，下一节我们将展开研究奇偶性、单调性的应用.歼灭难点训练一、选择题1.( )下列函数中的奇函数是()x1A. f(x)=( x 1)1 xx 2 x( x 0)C.f(x)=x2x( x0)lg(1x 2 )B. f(x)=22 |2| x1sin xcosxD. f(x)=cosxsin x12.( )函数 f(x)=1x2x1的
7、图象 ()1x 2x1A. 关于 x 轴对称B. 关于 y 轴对称C.关于原点对称D. 关于直线 x=1 对称二、填空题3.( )函数 f(x)在 R 上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_.4.( )若函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 满足 f(0)= f(x1)=f( x2)=0 (0 x11).x1(1)证明：函数f(x)在 ( 1，+ )上为增函数 .(2)用反证法证明方程f(x)=0 没有负数根 .6.( )求证函数f(x)=x3在区间 (1， + ) 上是减函数 .( x21) 2f ( x1 ) f ( x2 ) 1；7.( )设函数 f(x)的定义域关
8、于原点对称且满足：(i) f(x1 x2)=f ( x1 )f ( x2 )(ii) 存在正常数 a 使 f( a)=1. 求证：(1) f(x)是奇函数 .(2) f(x)是周期函数，且有一个周期是4a.8.( )已知函数 f(x)的定义域为 R，且对 m、n R ,恒有 f(m+n)=f(m)+f(n) 1,且f( 1 )=0, 当 x 1 时， f(x)0.22(1)求证： f(x)是单调递增函数；(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.参考答案难点磁场exa1x1(1)解：依题意，对一切x R,有 f(x)=f( x),即aexaex+ae .整理，得 (aa )(ex 1 )
9、=0.因此，有 a 1=0, 即 a2=1, 又 a0, a=1exa(2)证法一：设xx11xx11)0 x1 x2,则 f(x1) f(x2)= e 1 e2xx(e2e 1 )(x xe 1e2e 12ex1 ( ex2 x11) 1 ex1 x2ex1 x2由 x10,x20,x2x1, ex2x1 1 0,1 e x1 x2 0, f(x1) f(x2) 0,即 f(x1) f(x2) f(x)在(0,+ )上是增函数xxxx0,e2x 10.证法二： 由 f(x)=ex+e，得 f (x)=exe=e(e2x1).当 x (0,+ )时，e此时 f (x)0,所以 f(x)在 0，
10、 + )上是增函数 .歼灭难点训练x 2x( x 0)( x 2x)( x 0)一、 1.解析： f( x)=x( x 0)( x 2x)= f(x)，故 f(x)x2( x 0)为奇函数 .答案： C2.解析： f( x)= f(x),f(x)是奇函数，图象关于原点对称.答案： C二、3.解析：令 t=|x+1|,则 t 在 ( ,1 上递减， 又 y=f(x)在 R 上单调递增， y=f(|x+1|)在( , 1 上递减 . 答案： ( , 1 324.解析： f(0)= f(x1)= f(x2)=0, f(0)= d=0.f(x)=ax(x x1)( xx2)=ax a(x1+x2)x +ax1x2x， b=a(x1+x2),又 f(x)在 x2,+ ) 单调递增，故a0. 又知 0 x1 x,得 x1+x20, b=a(x1+x2) 0.答案： ( ,0）
