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1、曲线积分与曲面积分知识点(总0few 7空-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company Onel-CAL -本页仅作为文档封面，使用请直接删除第十章 曲线积分与曲面积分一、一、重点 两类曲面积分及两类曲面积分的计算和格林公式、高斯公式的应用二、二、难点 对曲面侧的理解，把对坐标的曲面积分化成二重积分，利用格林公式求非 闭曲线上的第二类曲线积分，及利用高斯公式计算非闭曲面上的第二类曲 面积分。三、三、内容提要11曲线（面）积分的定义：（1） （1）第一类曲线积分J f （x, y） ds A lim 工 f 点，耳）ASL i 0I=0AS表示第i个小弧段的长度，i大长度。实际意义
2、：当f（x,y）表示L的线密度时，J f （x, y）ds表示L的质量；当f（x,y）三1 J ds表示L的弧长，当f（x,y）表示位于L上的柱面在点（x,y）处的高 时，J f （x, y）ds表示此柱面的面积。L（ 2）（ 2）第二类曲线积分J Pdx + QdyAlim工P（g，耳）Ax + Q（g，耳）Ay （存在时）L匚0 . i=1实际意义：bin*设变力F =P（x,y） i +Q（x,y） j将质点从点A沿曲线L移动到B点， 的功为：W = J F -dS =J Pdx + Qdy，其中 dS = （dx,dy）事实上，JLL分别是F在沿X轴方向及Y轴方向所作的功。（3）（3）
3、第一类曲面积分JJf （x, y, z）dsAlim丫 f （g，耳,匚）AS （存在时）zP i=1i i i iAS表示第i个小块曲面的面积，（g ,n ,匚）为AS上的任一点，九是ii i iin块小曲面的最大直径。实际意义：当f（x,y，z）表示曲面Z上点（x,y,z）处的面密度时，JJ f （x, y,z）ds表示曲面Z的 z质量，当f（x,y,z）三1时，JJ ds表示曲面Z的面积。（4）（4）第二类曲面积分存在时）（g ,n ）是as上的任一点小弧段的最i i i时，Pdx，LJ QdyLJJ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy A lim 丫 P (g(存在时)其中(A
4、S ) , (AS ) , (AS )分别表示将E任意分为n块小曲面后第I i yzi zxi xy块 AS 在 yoz 面， zox 面， xoy 面上的投影， dydz， dzdx， dxdy 分别表示 i这三种投影元素；(g ,n ,匚)为AS上的任一点，九是n块小曲面的最i i i i大直径。实际意义：设变力V(x,y,z)=p(x,y，z) i+Q(x,y,z) j + R(x,y,z) k为通过曲面E 的流体(稳定流动且不可压缩)在E上的点(x,y,z)处的速度。则=JJ VdS - JJ Pdydz + Qdzdx,n,匚）（AS）+ Q（g,n,匚）（AS）+ R（g ,n ,
5、匚）（as）i i i i yz i i i i zx i i i i xyi yzi zx i xy zox表示在单位时间内从E的一侧流向指定的另一侧的流量。2、曲线(面)积分的性质两类积分均有与重积分类似的性质(1) (1)被积函数中的常数因子可提到积分号的外面(2) (2)对积分弧段(积分曲面)都具有可加性(3) (3)代数和的积分等与积分的代数和第二类曲线(面)积分有下面的特性，即第二类曲线(面)积分与曲线（面）方向J Pdx + Qdy =侧）有关-J Pdx + QdyLLJJ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = - JJ Pdydz + Qdzdx + RdxdyEE
6、-3、曲线(面)积分的计算(1) (1)曲线积分的计算a、a、依据积分曲线L的参数方程，将被积表达式中的变量用参数 表示b、b、第一(二)类曲线积分化为定积分时用参数的最小值 (起点处的参数值)作为积分下限(2) (2)曲面积分的计算方法1、1、第一类曲面积分的计算a将积分曲面E投向使投影面积非零的坐标面b将E的方程先化成为投影面上两变量的显函数，再将此显函 数代替被积表达式中的另一变量。C将ds换成投影面上用直角坐标系中面积元素表示的曲面面 积元素2、2、第二类曲面积分的计算a将积分曲面E投向指定的坐标面b 同 1c依E的指定的侧决定二重积分前的“ + ”或“-”4、格林公式、高斯公式和斯托
7、克斯公式（1） （1）格林公式)dxdyI Pdx + Qdy =L其中P、Q在闭区域D上有一阶连续偏导数，L是D的正向边界曲线。若闭区域D为复连通闭区域，P、Q在D上有一阶连续偏导数, 则II （翌业）dxdy =工 1 Pdx + QdyD ax ayi =1 Li其中L （=1，2n）均是D的正向边界曲线。i（ 2 ） （ 2 ）高斯公式H Pdydz + Qdzdx + Rdxdy =（aQ + 巴 + 退）dxdydzax ay az其中 P、 外侧 （3）Q3）斯托克斯公式dzdxadxdyaazR=1： Pdx + Qdy + Rdz rayQQ、R在包含曲面S在内的空间区域内具
8、有一阶连续偏导数,Q、R在闭区域Q上有一阶连续偏导数，E是Q的边界曲面的其中 P、s是以r为边界的分片光滑曲面，r的正向与E的侧向符合右手规 则。5、平面上曲线积分与路径无关的条件设P、Q在开单连同区域G内有一阶连续偏导数，A、B为G内任意两 点，则以下命题等价：（1）1 Pdx + Qdy与路径L无关LAB（2）对于G内任意闭曲线L, 1 Pdx + Qdy = 0L型=竺在G内处处成立dxdy（4）在G内，Pdx+Qdy为某函数U（x,y）的全微分6、通量与散度、环流量与旋度 设向量to-A（x, y, z） =P（x,y，z） i +Q（x,y,z） j + R（x,y,z） k则通量（
9、或流量）=丘A - nds其中n = （cosa , COS B , COSy）为S上点（x,y,z）处的单位法向量。 散度div A =巴+竺+哲对坐标的曲面积分与s的形状无关的充要条件 ax ayaz是散度为零。ijk旋度rotA QQQOxQyQzPQR环流量 向量场A沿有向闭曲线r的环流量为 j Pdx + Qdy + Rdz = / A - tdsrr四、 四、难点解析本章中对AS在xoy面上的投影（AS）xy(Ac) ,cosY 0AS)xy=一 (Ac) ,cosY 0xyxy0, cosY 三 0其中cos Y为有向曲面AS上各点处的法向量与Z轴的夹角余弦。（Ac ）为xyAS
10、在xoy上投影区域的面积。此规定直接决定了将一个第二类曲面积分化为二 重积分时正负号的选择，此规定貌似复杂，但其最基本的思想却非常简单：即 基于用正负数来表示具有相反意义的量。比如，当温度高于零度时用正数表 示，当温度低于零度使用负数表示。从引进第二类曲线积分的例子看是为了求 稳定流动的不可压缩的流体流向指定侧的流量。如果我们用正数来表示流体流 向指定侧的流量，很自然，当流体流向指定侧的反向时用负数表示就显得合情 合理了。因此上面的规定就显得非常自然合理了。五、 五、典型例题x2 + y2 + z R例 1、计算 I j x2 ds r :圆周x+y+z 0解：由轮换对成性，得I J x 2
11、ds = J y 2 ds I J z 2 ds =1J x 2 + y 2 + z 2 ds =1R 2 J ds =兀 R 3r rr 3 r3r 3例2、设L： x2 + y2 a2为成平面区域D,计算J -兰L 33解：J- dx + - dy (格林公式)l 33丿JJ (x2 + y2)dxdy = 4J2 d0 Jar2 - rdr = a40 0 2D例3、求JJ z2dxdy，其中E为曲面x2 + y2 + z2 a2的外侧。Ei解法一、将E分为上半球面E : z “2-x2 - y2和下半球面E :1 v 2fz -fa 2 - x 2 - y 2JJ-JJ+JJ -JJa
12、2- x2 - y 2dxdy -JJa2 - x2- y 2dxdy 0E E E -x2 + y2 a2x2 + y2 a2解法二、利用高斯公式JJ： z2dxdy = JJJ(0 + 0 + 2z)dxdydz=0 (对称性)例4、求曲线y= x2, y2二2x及y2二x所围成的图形的面积。解：求曲线的交点B(1, 1), C(3迈,v4 ) 法一、定积分法则所求面积为A=Jl( y2 -斗)dy +4(亍-斗)dy = 6 + 6=30202663A=U db = J1 Jy2 dx + J3 40逛02法二、二重积分法 设所给曲线围成的闭区域为D.则dx = Jl(y2 -斗)dy
13、+A4(Jy -斗)dy =102o23D 2 2法三、曲线积分法设所给曲线围成的图形的边界曲线为L,则A= J xdy = J xdy +J xdy +J xdy = J1 y 2dy + J 3； ydy + J0_ y dyLOBBeCO013 4 21 221=+ + (-)=3 333例5、计算J ydx + xdy， L：从点A(-R,0)到点B(R,0)的上半圆周x2 + y2二R2。L解：法一 用曲线积分与路径无关dx因为匹=1 =竺 在xoy面上恒成立，且翌及竺在xoy面上连续，所以曲 dxdydxdy线积分 J ydx+ xdy 与路径无关。于是 J ydx + xdy =
14、 J ydx + xdy = JR0dx =0LAB- R、用曲线积分与路径无关,则 ydx + xdy =0 (其中 C(0,R)ACBA 法三、用曲线积分与路径无关,则J ydx + xdy = J(R,0) ydx + xdy = J(R,0) d(xy) =xy(R,0) =0 L(- R,0)(- R,0)(- R,0)法四、用格林公式因为dQ = dP且dQ及dP在闭曲线ACBA上围成的闭区域D上连续。故由 dxdydxdy格林公式得J ydx + xdy = - JJ-兰)dxdy =0ACBAD dx dy于是 J ydx+ xdy=0-J ydx+ xdy=0LBA法五、用定积分计算,则 L 的参数方程为x-R
