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1、微积分教案授课时间 第 次课 第八章 多元函数的微积分授课章节8.1 空间解析几何简介课程类型新授课、理论课计划课时2课时教学方法与手段多媒体示教教学目的与要求：了解空间坐标系的有关概念，会求两点间的距离；会求简单曲面的方程教学重点，难点：曲面与方程教学内容：一、空间直角坐标1 空间直角坐标系：过空间一定点，作三条互相垂直的数轴，它们都以点为原点且具有相同的长度单位。这三条轴分别称为轴（横轴）、轴（纵轴）和轴（竖轴）；它们的正向符合右手规则，即以右手握住轴，当右手的四个手指从正向轴以角度转向正向轴时，大拇指的指向就是轴的正向。这样的三条坐标轴就组成一个空间点的直角坐标系，点叫做坐标原点。2 空
2、间点的直角坐标系的坐标面：任意两条坐标确定的平面统称为坐标面（共有三个），轴与轴所确定的坐标面称为面，轴与轴所确定的坐标面称为面，轴与轴所确定的坐标面称为面。3 空间点的直角坐标系的卦限：三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分称为卦限。含有轴、轴和轴正半轴的那个卦限称为第一卦限，其它第二、三、四卦限在面的上方，按逆时针方向确定，第五卦限在第一卦限下方，其它第六、七、八卦限在面的下方，按逆时针方向确定。如图4 空间点的直角坐标设为空间中一已知点，过点作三个平面分别垂直于轴、轴和轴，它们依次与轴、轴和轴的交点分别为，在轴、轴和轴的坐标分别为，则点的坐标为。二、空间中两点间的距离设为空间中两点。过各
3、作三个分别垂直于轴、轴和轴的平面，则 例1 求证：以点三点为顶点的三角形是等要三角形。三、曲面与方程定义 如果曲面上任意一点的坐标都满足方程，而不在曲面上的坐标都不满足方程，则称方程为曲面的方程，而曲面称为方程的图形。空间曲面研究的两个基本问题是:(1) 已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;(2) 已知曲面方程，研究曲面的几何形状.例2 一动点与二定点的距离相等，求此动点的轨迹方程。平面平面是空间中最简单而且最重要的曲面. 可以证明空间中任一平面都可以用三元一次方程 (1.3)来表示，反之亦然. 其中、是不全为零常数. 方程(1.3)称为平面的一般方程.例3 建立球心在点、半径为R
4、的球面方程.柱面定义2 平行于某定直线并沿定曲线C移动的直线所形成的轨迹称为柱面. 这条定曲线C称为柱面的准线, 动直线称为柱面的母线.二次曲面在空间直角坐标系中，我们采用一系列平行于坐标面的平面去截割曲面，从而得到平面与曲面一系列的交线（即截痕），通过综合分析这些截痕的形状和性质来认识曲面形状的全貌. 这种研究曲面的方法称为平面截割法，简称为截痕法. 例4 （1）作的图形。（2）作的图形（3）作的图形课堂练习1.给定两点: 在轴上有一点A, 满足求点A的坐标.2.指出方程组表示什么曲线.3. 指出方程所表示的曲线.作业： 主要参考书：微积分，赵树嫄编，中国人民大学出版社，2004年7月 微积
5、分学习与考试指导，赵树嫄、胡显佑等编，中国人民大学出版社，2004年7月教学效果分析：教研室主任审核意见： 签 字： 年 月 日部主任审核意见： 签 字： 年 月 日授课时间 第 次课 第八章 多元函数的微积分授课章节8.2 多元函数的概念8.3 二元函数的概念与连课程类型新授课、理论课计划课时2课时教学方法与手段板书、示教教学目的与要求：了解平面上点的邻域，区域及其边界点，内点等概念，了解多元函数的概念，了解二元函数的表示法与几何意义，了解二元函数的极限与连续的直观意义教学重点，难点：多元函数的基本概念，二元函数的极限与连续的概念教学内容：一、平面区域的概念：内点、外点、边界点、开集、连通集
6、、区域、闭区域多元函数的定义 设为非空的元有序数组的集合，如果对于每一个有序数组，按照某一法则，都有确定的实数与之对应，则称此法则为定义在上的元函数。记为其中称为自变量，称为因变量，称为函数的定义域，集合称为函数的值域。特别地，当时，为一元函数；当时，为二元函数。二元及二元以上的函数统称为多元函数。二、二元函数的定义域与二元函数的图形1二元函数的定义域在几何上表示一个平面区域。2二元函数的图形空间点集称为二元函数的图形。它是一张曲面。三、 二元函数的极限与连续（一）、二元函数的极限及运算法则1二元函数的极限定义8.3 设函数在区域内有定义，是的内点或边界点。如果对于任意给定的正数，总存在正数，
7、使得对于适合不等式 的一切点，都有成立。则称常数为函数当时的极限，记作注意：1、函数在点可以无定义； 2、点以任何方式趋于点，而不是以某些特殊方式。例1 设，求证：例2 考察函数（1）（2）在点的极限是否存在。2二元函数的极限的运算法则：与一元函数的极限的运算法则类似。例3 （1） 求 （2）证明不存在. （二）、二元函数的连续性与间断1连续与间断 定义8.4 设函数在开区域（或闭区域）内有定义，是的内点或边界点且。如果 则称函数在点连续。 如果函数在内每一点都连续，则称函数在内连续。定义8.5 如果在点不连续，则称点为的间断点。注意：二元函数的间断点可以形成一条曲线。例如在上无定义。2有界闭
8、区域上二元连续函数的性质性质1（最大值与最小值定理）在有界闭区域上连续的二元函数，在上一定有最大值与最小值定理。即在上至少有两点，使得对于一切，都有 性质2（介值定理）在有界闭区域上连续的二元函数，如果在上取得两个不同的函数值，则它在上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。3二元连续函数的运算：（1） 二元连续函数的和、差、积仍为连续函数；（2） 在分母不为零处，二元连续函数的商为连续函数；（3） 二元连续函数的复合函数是连续函数。4二元初等函数的连续性：一切二元初等函数在其定义区域内是连续的。定义区域：是指包含在定义域内的区域（或闭区域）。注意：利用3、4可以求二元初等函数的极限。一般地，如
9、果是初等函数，且是的定义域的内点，则在处连续，因此。例3 求下列极限（1） （2）作业：1.（1）（3）（5）主要参考书：微积分，赵树嫄编，中国人民大学出版社，2004年7月 微积分学习与考试指导，赵树嫄、胡显佑等编，中国人民大学出版社，2004年7月教学效果分析：教研室主任审核意见： 签 字： 年 月 日部主任审核意见： 签 字： 年 月 日授课时间 第 次课 第八章 多元函数微积分授课章节8.4 偏导数课程类型新授课、理论课计划课时2课时教学方法与手段板书、示教教学目的与要求：理解多元函数的偏导数的概念，熟练掌握求偏导数的方法教学重点，难点：求多元函数偏导数教学内容：1、偏导数的定义及其计
10、算法定义1 设函数在点的某一邻域内有定义, 当y 固定在而x在处有增量时, 相应地函数有增量 如果存在, 则称此极限为函数在点处对x的偏导数, 记为例如，有.类似地，函数在点处对y的偏导数为,记为 上述定义表明，在求多元函数对某个自变量的偏导数时, 只需把其余自变量看作常数，然后直接利用一元函数的求导公式及复合函数求导法则来计算之.例1求在点(1, 2)处的偏导数.例2求的偏导数.例3 求三元函数的偏导数.例4 求的偏导数. 注意：关于多元函数的偏导数，补充以下几点说明：（1）对一元函数而言，导数可看作函数的微分与自变量的微分的商. 但偏导数的记号是一个整体. （2）与一元函数类似，对于分段函
11、数在分段点的偏导数要利用偏导数的定义来求.（3）在一元函数微分学中，我们知道，如果函数在某点存在导数，则它在该点必定连续. 但对多元函数而言，即使函数的各个偏导数存在，也不能保证函数在该点连续. 例如，二元函数在点的偏导数为但已经知道这函数在点处不连续.2、偏导数的几何意义设曲面的方程为，是该曲面上一点，过点作平面，截此曲面得一条曲线，其方程为则偏导数表示上述曲线在点处的切线对轴正向的斜率。 同理，偏导数就是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对y轴正向的斜率. 3、高阶偏导数设函数在区域内具有偏导数 则在内和都是、的函数. 如果这两个函数的偏导数存在，则称它们是函数的二阶偏导数. 按照对变量求导次序的不同，共有下列四个二阶偏导数：其中第二、第三两个偏导称为混合偏导数. 类似地，可以定义三阶、四阶、阶偏导数. 我们把二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.定理1 如果函数的两个二阶混合偏导数及在区域D内连续, 则在该区域内有.例5 设, 求 例6 设, 求二阶偏导数.例7 求的二阶偏导数.练习：求二阶偏导数（1） （2）作业： 2.（1）（3）（6）3. （1）（2）主要参考书：微积分，赵树嫄编，中国人民大学出版社，2004年7月 微积分学习与考试指导，赵树嫄、胡显佑等编，中国人民大学出版社，2004年7月教学效果分析：教研室主任审核意见：
