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1、高考数学精品复习资料 2019.5专题能力训练16圆锥曲线中的热点问题(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.(20xx浙江嘉兴一模)已知抛物线y2=4x的焦点为F,直线l过F且与抛物线交于A,B两点,若|AB|=5,则AB中点的横坐标为() AB.2CD.12.椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于A,B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为,则的值为()ABCD3.已知直线y=x与双曲线=1交于A,B两点,P为双曲线上不同于A,B的点,当直线PA,PB的斜率kPA,kPB存在时,kPAkPB=()ABCD.与P点位置有关4.设过点P(x,
2、y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点.若=2,且=1,则点P的轨迹方程是()Ax2+3y2=1(x0,y0)Bx2-3y2=1(x0,y0)C.3x2-y2=1(x0,y0)D.3x2+y2=1(x0,y0)5.在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,1)在抛物线C:x2=ay(a0)上,抛物线C上异于点A的两点P,Q满足=(0)交于位于x轴上方的不同两点A,B,记直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,则k1+k2的取值范围是.11.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是.12.(20xx浙江台州实验中学模拟)已知
3、直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点,若该抛物线上存在点C,使得ACB为直角,则a的取值范围为.13.双曲线=1(a0,b0)的右焦点为F,直线y=x与双曲线相交于A,B两点,若AFBF,则双曲线的渐近线方程为.14.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过焦点的直线与抛物线交于A,B两点,则直线的斜率为时,|AF|+4|BF|取得最小值.三、解答题(本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分15分)如图,已知直线y=-2mx-2m2+m与抛物线C:x2=y相交于A,B两点,定点M(1)证明:线段AB被直线y=-x平分;(2)求MAB面积取得最大值时
4、m的值.16.(本小题满分15分)已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,左顶点为A,左焦点为F1(-2,0),点B(2,)在椭圆C上,直线y=kx(k0)与椭圆C交于E,G两点,直线AE,AG分别与y轴交于点M,N.(1)求椭圆C的方程;(2)在x轴上是否存在点P,使得无论非零实数k怎样变化,总有MPN为直角?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.参考答案专题能力训练16圆锥曲线中的热点问题1.C解析 抛物线y2=4x,p=2,设经过点F的直线与抛物线相交于A,B两点,其横坐标分别为x1,x2,利用抛物线定义,得AB中点横坐标为x0=(x1+x2)=(|AB|-p)=(5-2)=.
5、2.A解析 设A(x1,y1), B(x2,y2),线段AB中点M(x0,y0).由题设知kOM=.由=-.又=-1,所以.3.A解析 设点A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则由得y2=,则y1+y2=0,y1y2=-,x1+x2=0,x1x2=-4.由于kPAkPB=,即kPAkPB为定值,选A.4.A解析设A(a,0),B(0,b),a0,b0.由=2,得(x,y-b)=2(a-x,-y),即a=x0,b=3y0.点Q(-x,y),故由=1,得(-x,y)(-a,b)=1,即ax+by=1.将a,b代入ax+by=1,得所求的轨迹方程为x2+3y2=1(x0,y0).5
6、.B解析 点A(-1,1)在抛物线C:x2=ay(a0)上,故a=1.设点P(x1,),Q(x2,),P,Q满足=(0,y20,b0)焦点在x轴上,右焦点F(c,0),则整理得(9b2-16a2)x2=9a2b2,即x2=,A与B关于原点对称,设A,B,.AFBF,=0,即(x-c)(-x-c)+x=0,整理得c2=x2.a2+b2=,即9b4-32a2b2-16a4=0,(b2-4a2)(9b2+4a2)=0,a0,b0,9b2+4a20,b2-4a2=0,故b=2a,双曲线的渐近线方程为y=x=2x.14.2解析 由题意知p=2,设|AF|=m,|BF|=n,则=1,m+4n=(m+4n)
7、=5+9,当且仅当m=2n时,m+4n的最小值为9,设直线的斜率为k,方程为y=k(x-1),代入抛物线方程,得k2(x-1)2=4x.化简后为k2x2-(2k2+4)x+k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1x2=1,x1+x2=2+.根据抛物线性质可知,|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,x1+1=2(x2+1),联立可得k=2.15.(1)证明 设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程组得x2+2mx+2m2-m=0,x1+x2=-2m,x1x2=2m2-m,0,解得0m1,则=-m,=m,线段AB的中点坐标为(-m,m),故线段AB被直线y=-x平分.(2)
8、解 |AB|=(0m1),点M到直线AB的距离为d=,MAB的面积S=|AB|d=|1-2(-m2+m)|(0m1),令=t,则S=t|1-2t2|.又0b0),因为椭圆的左焦点为F1(-2,0),所以a2-b2=4,设椭圆的右焦点为F2(2,0),已知点B(2,)在椭圆C上,由椭圆的定义知|BF1|+|BF2|=2a,所以2a=3=4,所以a=2,从而b=2,所以椭圆C的方程为=1.(2)因为椭圆C的左顶点为A,则点A的坐标为(-2,0),因为直线y=kx(k0)与椭圆=1交于两点E,F,设点E(x0,y0)(不妨设x00),则点G(-x0,-y0),联立方程组消去y得x2=,所以x0=,y0=,所以直线AE的方程为y=(x+2),因为直线AE与y轴交于点M,令x=0,得y=,即点M,同理可得点N.假设在x轴上存在点P(t,0),使得MPN为直角,则=0,即t2+=0,即t2-4=0.解得t=2或t=-2.故存在点P(2,0)或P(-2,0),无论非零实数k怎样变化,总有MPN为直角.
