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1、习题22-1 质量为16kg的质点在平面内运动，受一恒力作用，力的分量为，当时，。当时，求：(1) 质点的位矢；(2) 质点的速度。解：由 ，有：，（1），。于是质点在时的速度：（2）2-2 质量为2kg的质点在xy平面上运动，受到外力的作用，t=0时，它的初速度为，求t=1s时质点的速度及受到的法向力。解：解：由于是在平面运动，所以考虑矢量。由：，有：，两边积分有：，考虑到，有由于在自然坐标系中，而（时），表明在时，切向速度方向就是方向，所以，此时法向的力是方向的，则利用，将代入有，。2-3如图，物体A、B质量相同，B在光滑水平桌面上滑轮与绳的质量以及空气阻力均不计，滑轮与其轴之间的摩擦也不
2、计系统无初速地释放，则物体A下落的加速度是多少？ 解：分别对A，B进行受力分析，可知：则可计算得到： 。2-4如图，用质量为的板车运载一质量为的木箱，车板与箱底间的摩擦系数为，车与路面间的滚动摩擦可不计，计算拉车的力为多少才能保证木箱不致滑动？ 解法一：根据题意，要使木箱不致于滑动，必须使板车与木箱具有相同的加速度，且上限车板与箱底间为最大摩擦。即：可得：解法二：设木箱不致于滑动的最大拉力为，列式有：联立得：，有：。2-5如图所示一倾角为的斜面放在水平面上，斜面上放一木块，两者间摩擦系数为。为使木块相对斜面静止，求斜面加速度的范围。解法一：在斜面具有不同的加速度的时候，木块将分别具有向上和向下
3、滑动的趋势，这就是加速度的两个范围，由题意，可得：（1）当木块具有向下滑动的趋势时（见图a），列式为： 可计算得到：此时的（2）当木快具有向上滑动的趋势时（见图b），列式为：可计算得到：此时的，所以：。解法二：考虑物体m放在与斜面固连的非惯性系中，将物体m受力沿和方向分解，如图示，同时考虑非惯性力，隔离物块和斜面体，列出木块平衡式：方向：方向：考虑到，有：，解得：。的取值范围：。2-6质量为的子弹以速度水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为，忽略子弹的重力，求：(1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；(2) 子弹进入沙土的最大深度。解：（1）由题意，子弹
4、射入沙土中的阻力表达式为：又由牛顿第二定律可得：，则分离变量，可得：，两边同时积分，有：，所以：（2）子弹进入沙土的最大深度也就是的时候子弹的位移，则：考虑到，可推出：，而这个式子两边积分就可以得到位移： 。2-7质量为的物体可以在劈形物体的斜面上无摩擦滑动，劈形物质量为，放置在光滑的水平面上，斜面倾角为，求释放后两物体的加速度及它们的相互作用力。解：利用隔离体方法，设方形物相对于劈形物沿斜面下滑的加速度为，劈形物水平向左的加速度为，分析受力有：方形物受力：，（惯性力）；劈形物受力：，如图；对于，有沿斜面平行和垂直的方程为： 对于，有： 将代入有：，代入，有：再将在水平和竖直两方向上分解，有：
5、 而相互作用力：2-8在光滑的水平面上设置一竖直的圆筒，半径为，一小球紧靠圆筒内壁运动，摩擦系数为，在时，球的速率为，求任一时刻球的速率和运动路程。 解：利用自然坐标系，法向：，而： 切向：，则： ，得： 2-9如图，一质点在几个力作用下沿半径为的圆周运动，其中有一恒力N，求质点从A开始沿逆时针方向经3/4圆周到达B的过程中，力所做的功。解：本题为恒力做功，考虑到B的坐标为（，），再利用：，有：（焦耳）2-10质量为m=0.5kg的质点，在xOy坐标平面内运动，其运动方程为x=5t2,y=0.5(SI),从t=2s到t=4s这段时间内，外力对质点的功为多少？解：由功的定义：，题意：，。2-11
6、一质量为的物体，在力的作用下，由静止开始运动，求在任一时刻此力所做功的功率为多少。解：由，要求功率就必须知道力和速度的情况，由题意：所以功率为：。2-12一弹簧并不遵守胡克定律，其弹力与形变的关系为，其中和单位分别为和。（1）计算当将弹簧由拉伸至过程中，外力所做之功；（2）此弹力是否为保守力?解：（1）由做功的定义可知：（2），按保守力的定义：该弹力为保守力。2-13如图，一质量为m的质点，在半径为R的半球形容器中，由静止开始自边缘上的A点滑下，到达最低点B时，它对容器的正压力数值为N，求质点自A滑到B的过程中，摩擦力对其做的功。分析：直接求解显然有困难，所以使用动能定理，那就要知道它的末速度
7、的情况。解：求在B点的速度：，可得：由动能定理： 2-14在密度为的液面上方，悬挂一根长为，密度为的均匀棒，棒的端刚和液面接触如图所示，今剪断细绳，设细棒只在浮力和重力作用下运动，在的条件下，求细棒下落过程中的最大速度，以及细棒能进入液体的最大深度。解：（1）分析可知，棒下落的最大速度是受合力为零的时候，所以：，即 ，则：。利用功能原理：，有：可解得：（2）当均匀棒完全进入液体中时，浮力不变，到最大深度时，速度为零，设： ，由能量守恒有：， 即：。2-15一链条放置在光滑桌面上，用手揿住一端，另一端有四分之一长度由桌边下垂，设链条长为，质量为，试问将链条全部拉上桌面要做多少功？解：直接考虑垂下
8、的链条的质心位置变化，来求做功，则：2-16在光滑水平面上，平放一轻弹簧，弹簧一端固定，另一端连一物体、边上再放一物体，它们质量分别为和，弹簧劲度系数为，原长为用力推，使弹簧压缩，然后释放。求：（1）当与开始分离时，它们的位置和速度；（2）分离之后，还能往前移动多远? 解：（1）当与开始分离时，两者具有相同的速度，但的加速度为零，此时弹簧和都不对产生作用力，即为弹簧原长位置时刻，根据能量守恒，可得到：，有：，；（2）分离之后，的动能又将逐渐的转化为弹性势能，所以： ，则： 。2-17已知地球对一个质量为的质点的引力为（为地球的质量和半径)。（1）若选取无穷远处势能为零，计算地面处的势能；（2）
9、若选取地面处势能为零，计算无穷远处的势能比较两种情况下的势能差解：（1）取无穷远处势能为零，地面处的势能为： ；（2）若选取地面处势能为零，计算无穷远处的势能为：两种情况下势能差是完全一样的。2-18如图所示的圆锥摆，绳长为l，绳子一端固定，另一端系一质量为m的质点，以匀角速绕铅直线作圆周运动，绳子与铅直线的夹角为。在质点旋转一周的过程中，试求：（1）质点所受合外力的冲量；（2）质点所受张力T的冲量。解：（1）设周期为，因质点转动一周的过程中，速度没有变化，由，旋转一周的冲量；（2）如图该质点受的外力有重力和拉力，且，张力T旋转一周的冲量：所以拉力产生的冲量为，方向竖直向上。2-19质量为的质
10、点在平面内运动，运动学方程为，求：（1）质点在任一时刻的动量；（2）从到的时间内质点受到的冲量。解：（1）根据动量的定义：，而， ；（2）由 ，所以冲量为零。2-20质量为M=2.0kg的物体（不考虑体积），用一根长为l=1.0m的细绳悬挂在天花板上。今有一质量为m=20g的子弹以=600m/s的水平速度射穿物体。刚射出物体时子弹的速度大小=30m/s，设穿透时间极短。求：（1）子弹刚穿出时绳中张力的大小；（2）子弹在穿透过程中所受的冲量。解：（1）解：由碰撞过程动量守恒可得：根据圆周运动的规律：，有：；（2）根据冲量定理可得：。2-21一静止的原子核经放射性衰变产生出一个电子和一个中微子，巳
11、知电子的动量为，中微子的动量为，两动量方向彼此垂直。（1）求核反冲动量的大小和方向；（2）已知衰变后原子核的质量为，求其反冲动能。解：由碰撞时，动量守恒，分析示意图，有： （1） 又， ，所以 ， ；（2）反冲的动能为：。2-22有质量为的弹丸，从地面斜抛出去，它的落地点为。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水平抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。解：利用质心运动定理，在爆炸的前后，质心始终只受重力的作用，因此，质心的轨迹为一抛物线，它的落地点为。，而， ， 。2-23如图，光滑斜面与水平面的夹角为，轻质弹簧上端固定今在弹簧的另一端轻轻地挂上质
12、量为的木块，木块沿斜面从静止开始向下滑动当木块向下滑时，恰好有一质量的子弹，沿水平方向以速度射中木块并陷在其中。设弹簧的劲度系数为。求子弹打入木块后它们的共同速度。解：由机械能守恒条件可得到碰撞前木快的速度，碰撞过程中子弹和木快沿斜面方向动量守恒，可得： (碰撞前木快的速度)再由沿斜面方向动量守恒定律，可得： 。2-24以初速度0将质量为m的质点以倾角从坐标原点处抛出。设质点在Oxy平面内运动，不计空气阻力，以坐标原点为参考点，计算任一时刻：（1）作用在质点上的力矩；（2）质点的角动量。解：（1）（2）2-25人造地球卫星近地点离地心r1=2R，（R为地球半径），远地点离地心r2=4R。求：（
13、1）卫星在近地点及远地点处的速率和（用地球半径R以及地球表面附近的重力加速度g来表示）；（2）卫星运行轨道在近地点处的轨迹的曲率半径。解：（1）利用角动量守恒：，得 ，同时利用卫星的机械能守恒，这里，万有引力势能表达式为：，所以：，考虑到：，有： ，；（2）利用万有引力提供向心力，有：，可得到：。2-26火箭以第二宇宙速度沿地球表面切向飞出，如图所示。在飞离地球过程中，火箭发动机停止工作，不计空气阻力，求火箭在距地心4R的A处的速度。解：第二宇宙速度时，由机械能守恒：再由动量守恒：，代入：。2-27如图，一轻绳跨过两个质量为、半径为的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为和的重物，绳与滑轮间
14、无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为，将由两个定滑轮以及质量为和的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。解：受力分析如图，可建立方程： ，联立，解得：， 。2-28如图所示，一均匀细杆长为，质量为，平放在摩擦系数为的水平桌面上，设开始时杆以角速度绕过中心且垂直与桌面的轴转动，试求：（1）作用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。解：（1）设杆的线密度为：，在杆上取一小质元，有微元摩擦力：，微元摩擦力矩：，考虑对称性，有摩擦力矩：；（2）根据转动定律，有：，。或利用：，考虑到， 有：。2-29如图所示，滑轮转动惯量为，半径为；物体的质量为，用一细绳与劲度系数的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。求：（1）当绳拉直、弹簧无伸长时使物体由静止而下落的最大距离；（2）物体的速度达最大值时的位置及最大速率。解：（1）设弹簧的形变量为，下落最大距离为。由机械能守恒：，有：
