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1、10.5 直线与平面垂直【知识网络】 1、直线与平面垂直的性质与判定；2、点到平面的距离，直线到平面的距离； 3、直线与平面的所成角及直线在平面内的射影。【典型例题】例1：（1）平面a过ABC的重心，B、C在a的同侧，A在a的另一侧，若A、B、C到平面a的距离分别为a、b、c，则a、b、c间的关系为 ( )（A）2a=b+c；（B）a=b+c；（C）2a=3(b+c)；（D）3a=2(b+c)答案：B解析：B、C中点到平面的距离为， 即（2） 已知正ABC的边长为，则到三个顶点的距离都为1的平面有 ( )（A）1个；（B）3个；（C）5个；（D）7个答案：C解析：三点在同一侧的有2个，过两边的
2、中点且垂直第三边上的中线的平面有3个，共5个。（3）设a，b，c表示三条直线，表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是（ ）A、，若，则 B、，若，则C、，若，则 D、，是在内的射影，若，则答案：C解析：C的逆命题是,若，则显然不成立。 （4）已知垂直平行四边形所在平面，若，平行则四边形一定是 . 答案： 解析：显然，即平行四边形ABCD一定是菱形 （5）P是ABC所在平面外一点，O是P点在平面a上的射影若P到ABC三边的距离相等，则O是ABC的 心；若P到ABC三个顶点的距离相等，则O是ABC的 心；若PA、PB、PC两两互相垂直，则O是ABC的 心答案：内心、外心、垂心；解析：由内心、外
3、心、垂心的性质可知。例2：已知中，面，求证：面答案：证明： 又面 面 ， 又， 面 例3如图，已知CD是异面直线CA、DB的公垂线，CAa于A，DBb于B，ab=EF求证：CDEFgbaFEDCBAB1A1 答案：证明：设CD、CA确定平面g，ga=AA1CAa于A，CAAA1又CACD，CA、CD、AA1都在平面g内，CDAA1设CD、DB确定平面，b=BB1同理有CDBB1，BB1CDAA1AA1，BB1，BB1aBB1 b，ab=EF，EFCDNMGFEDCBPAQ例4：如图，PA、PB、PC两两垂直，PA=PB=PC，G是PAB的重心，E是BC上的一点，且BE=BC，F是PB上的一点，
4、且PF=PB求证：（1）GF平面PBC；（2）FEBC；（3）GE是异面直线PG与BC的公垂线NMGFEDCBPAQ证明：（1）连结BG和PG，并延长分别交PA、AB于M和D，在PBM中，PF=PB，G是PAB的重心，MG=BM，GFPM又PAPB,PAPC，PA平面PBC，则GF平面PBC（2）在EC上取一点Q使CQ=BC，连结FQ，又PF=PB，FQPCPB=PC，FB=FQBE=BC，E是BQ的中点，FEBQ，即FEBC（3）连结GEGF平面PBC，易得GEBC取BF中点N，连结EN，则ENFQPCPC平面PAB，EN平面PAB又NGDB，NGPD，易EGPD，GE是异面直线PG与BC的
5、公垂线【课内练习】1如果平面外一条直线与内的两条直线垂直，那么与的位置关系是（ ）AlaBlaCl与a相交且不垂直D不能确定答案：D。 解析：因两条直线的位置不能确定。2.若斜线和平面所成的角为a，此斜线与此平面内任一直线所成的角为b，则（ ）A.ab B. a=b C. ab D. a与b的大小关系不确定答案：A.解析：直线与平面的所成角为斜线与平面任一直线所成角的最小角.3表示不同的点，表示不同的直线，表示不同的平面，下列推理错误的是 （ ）A BC D.A,B,C，A,B,C，且A,B,C不共线与重合答案：C 解析：作图分析即可知。4AC是平面a的斜线，且AO=a，AO与a成60角，OC
6、a，AAa于A，AOC=45，则A到直线OC的距离是 ，AOC的余弦值是 . 答案： 、；解析：由三余弦定理可得.5.已知ABC中，Aa，BCa，BC=6，BAC=90，AB、AC与平面a分别成30、45的角则BC到平面a的距离为 答案：；解析：设BC到平面的距离为h，则 .6. ABCD，它们都在平面a内，且相距28EFa，且相距15EFAB，且相距17则EF和CD间的距离为 答案： 25或39；解析：EF在内的射影可以在AB、CD之间或在AB、CD的外面.PABCDNM7已知：如图, PA矩形ABCD所在的平面, M、N分别是AB、PC的中点求证：MNAB； 若MN为AB、PC的公垂线，求
7、PD与面ABCD的所成角。答案：连AC，取AC中点E，连ME、NE，则NEPA，NE平面ABCD，NEAB，MEAB，MNAB若MN为AB，PC的公垂线 则PM = MC PA=AD=BC PDA= 即PD与面ABCD的所成角为8已知正方体，是底对角线的交点.求证：（）面； （2 ）面 答案：证明：（1）连结，设连结， 是正方体 是平行四边形且 又分别是的中点，且是平行四边形,面，面,面 （2）面 又， 同理可证， 又 面 HEQPDCBA9如图，已知ABCD是矩形，AB=a，AD=b，PA平面ABCD，PA=2c，Q是PA的中点求（1）Q到BD的距离；（2）P到平面BQD的距离答案：解：（1
8、）在矩形ABCD中，作AEBD于E，连结QEHEQPDCBAQA平面ABCD，QEBE，QE的长是Q到BD的距离在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，AE=在RtQAE中，QA=PA=c，QE=Q到BD的距离为（2）平面BQD经过线段PA的中点，P到平面BQD的距离等于A到平面BQD的距离在AQE中，作AHQE于EBDAE，BDQE，BD平面AQEBDAH，AH平面BQE，即AH为A到平面BQD的距离在RtAQE中，AQ=c，AE=，AH=P到平面BQD的距离为。【作业本】A组1. 直线a与平面a斜交，则在平面a内与直线a垂直的直线 （ ）A. 没有 B. 有一条 C. 有无数条 D. a内所
9、有直线答案：C. 解析：一组平行线.2如图，与平面成角，则间的距离为 （ ）A1 B2 C D答案：C. 解析：.3已知平面及外一条直线，下列命题中 （ ）（1）若垂直于内的两条平行线，则；（2）若垂直于内的所有直线，则；（3）若垂直于内的两条相交直线，则；（4）若垂直于内的任意一条直线，则；正确的有A0 个 B1 个 C2个 D3个答案：D 。解析：正确。4边长为a的正六边形ABCDEF在平面a内，PAa，PA=a，则P到CD的距离为 ，P到BC的距离为 .答案： 2a、；解析：过A分别向CD、BC作垂线构成直角三角形即可。5AB垂直于所在的平面，当的面积最大时，点A到直线CD的距离为 。答
10、案： 。解析：设，则 A到CD的距离6已知：点是的垂心，垂足为，求证：_O_D_答案：证明：点是的垂心，又，垂足为，POBCBC面APO BCPA7在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP.B1PACDA1C1D1BOH()求直线AP与平面BCC1B1所成的角的正切；()设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1HAP；()求点P到平面ABD1的距离.答案：（1）连BP，在RtABP中，AB=4， APB为直线AP与BCC1B1的所成角 （2）D1B1AC，D1B1CP D1B1面ACPD1B1AP，又OH面AD1P
11、 OHAP ，AP面D1OH D1HAP（3）用体积法 。 8. 在ABC所在平面外有点S，斜线SAAC，SBBC，且斜线SA、SB与平面ABC所成角相等.（I）求证：AC=BC； （II）又设点S到平面ABC的距离为4cm，ACBC且AB=6cm，求S与AB的距离.ABCOS答案：（1）证明：过S作SO面ABC于O S到AB的距离_D_C_Pa_A_BB组1. 如图BC是RtABC的斜边，过A作ABC所在平面a垂线AP，连PB、PC，过A作ADBC于D，连PD，那么图中直角三角形的个数是 （ ）A4个 B6个 C7个 D8个答案：D 解析：RtPAB，RtPAC，RtABC， RtABD RtADC，RtPAD，RtPDC，RtPDB2 下列说法正确的是 ( )A直线a平行于平面M，则a平行于M内的任意一条直线B直线a与平面M相交，则a不平行于M内的任意一条直线C直线a不垂直于平面M，则a不垂直于M内的任意一条直线D直线a不垂直于平面M，则过
