第4节具有趋势的模型

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1、第4章具有趋势的模型自相关函数可用来考察一个序列中是不是存在趋势。若是一个时刻序列的ACF缓慢递减趋于0，这说明那个时刻序列可能是一个单位根进程或是趋势平稳进程。可用正规的统计查验来确信一个系统是否有趋势、趋势是确信的仍是随机的。可是，目前所有的查验在区分近似单位根进程与单位根进程时，功效都比较低。为此，本章将介绍下面五个问题：（1）关于均值随时间转变的时刻序列，它的趋势可能是确信性的，也可能包括随机成份。在做假设查验或做长期预测时，正确模拟那个趋势是致关重要的。（2）说明Dickey-Fuller的单位根查验和扩展的Dickey-Fuller的单位根查验。这些查验也可用来帮忙检测随机趋势的存

2、在。给出几种查验的形式（包括季节单位根查验）。为了详述这些统计量，需要介绍MonteCarlo实验。（3）考虑存在结构性转变时的单位根查验。结构性转变可使趋势查验变得复杂；政治体制的转变可致使结构性转变，使一个平稳序列显示出非平稳性。（4）给出查验一个序列是不是包括一个单位根的一样方式。单位根查验对确信性回归变量（如，截距项，确信性时刻趋势项）的存在超级灵敏。对此，有一个比较合理的程序来识别那个进程。若是不明白真实的数据生成进程是不是包括确信性部份时，就可以使用这些程序。只是，对这些查验结果也仍是需要慎重一些，因为（a）这些查验在区分单位根进程和拟单位根进程时有较低的功效。（b）或许会显现对确

3、信性回归变量的设定不适当。（5）把一个具有趋势的序列分解成平稳和趋势成份。给出把一个序列分解成临时部份和持久部份的几种方式。1确信性趋势和随机趋势通常需要把一个线性随机差分方程的一样解表示成下面三个不同部份yt=趋势+平稳成份+噪声在第2章咱们已经明白如何利用Box-Jenkins方式来对平稳成份进行建模。第3章已经明白如何对残差（噪声）的方差进行建模。计量经济学家的重要任务是研究出简单的随机差分方程模型来模拟具有趋势变量的行为。考察图4-1,实际GDPrgdpt的明显特点是随着时刻而增加。对那个序列，或许有人用下面多项式估量那个趋势的持续增加:rgdpt2.2240.385t0.0003t2

4、1.85E6t3(4.)()()()()图实际GDP是确信性趋势吗？尽管t-统计量是显著的，但用那个模型表示实际GDP的趋势是有问题的因为在那个趋势中没有随机成份，（）说明实际经济有确信性的长期增加率。“实际经济周期”学派以为技术进步对经济的趋势有长期效应。由于技术革新是随机的，趋势中应反映这种随机性。其它宏观经济学派也以为趋势并非完满是确信性。例如，石油价钱冲击或减税能够阻碍投资和经济的长期增加率。（联邦基金利率）（莫种债券收益）2016AAA图短时间和长期利率联邦基金利率和美国联邦政府10年期债券收益率在图中。两种利率没有明显的增加或减少的趋势。没有结构性中断使均值发生改变。两个序列没有返

5、回到长期均值的趋势。若是把趋势概念为一个序列的“持久”或“不衰减”的成份，那么这两个序列都有趋势。趋势平稳(TS)模型若是一个序列从某期到下期老是转变相同固定的数量，如Vt%那个差分方程的解为VtVoat因此，Vt%的解是一个确信性线性趋势，此刻若是把平稳成份A(L)t增加到到那个趋势中，有VtVoaotA(L)t()在()中，Vt能够偏离它的趋势值大约A(L)to那个误差是平稳的，Vt是临时偏离那个趋势。Vts的长期预报将收敛到Voao(ts)。这种模型被称为趋势平稳(TS)模型。随机趋势模型此刻假设y的预期转变是单位，令弘等于a。加上白噪声:yta0t（）由于Etit0,（）说明：yt由一

6、个时期到下一个时期的预期转变是a。单位。模型（）是模拟包括随机趋势的时刻序列的大体模型。在这种情形下，（）中yt的趋势与（）中yt的趋势有本质的不同。假设y0是初值条件，差分方程（）的解为tyty0ia0ti1那个地址yt含有确信性趋势成份a0t和成份y0i。咱们称第二个成份为随机截距项。在没有任何冲击的条件下，截距项为y0。可是，每一个冲击i都使截距项有一个平移。由于i的系数并非是衰减（都为1），每一个对截距项的冲击效应都是持久的。这种序列被称为随机趋势。咱们考虑下面三种类型的随机趋势：（一）随机游动模型在（）中，a00时称为随机游动模型，它在经济与金融文献中有特殊的地位。例如，“有效市场”

7、假说以为：股票价钱从一天到下一天的转变是一个随机游动，因此ytyt1t（或ytt）（）若是y。是初始条件，那么那个随机游动的解yty0取期望，EytEytsy。因此，随机游动的均值是常量。但，所有对yt的随机冲击有非减的效应。容易证明方差与时刻有关2Var(yt)t,Var(yts)(ts)2t时，方差也趋于无穷。因此，随机游走散满无序，不显示出任何增大或减小的趋势。容易计算出相关系数st s关于前几个自相关系数（s较小时），s近似等于1。随着s的增加，s的值慢慢变小。因此，随机游走进程的自相关函数较缓慢趋于零。因此可用自相关函数来区分单位根进程和自回归系数近似1的平稳进程。（二）带漂移项的随

8、机游动模型此刻令yt的转变一部份是确信性的，一部份是随机的ytytiaot因此，（）是随机游动加漂移项。给定初始条件V0,yt的一样解为()tytyatii1这时yt的时刻途径由两个非平稳成份所支配：线性确信性时刻趋势at和随机趋势t。在大样本中，渐近理论以为yt的时刻途径由确信性时刻趋势a0t所支配。可是，不能由此以为能够容易分辨随机游动模型和带漂移项的随机游动模型。因为，在小样本中，增大t的方差或减小a0的绝对值就会很难分辨序列的长期特性。这时带有漂移项的随机游动和趋势平稳序列(TS)就会超级相似。(三)一样的随机趋势模型为了考虑更一样的情形，不难把随机游动模型推行成yt是随机趋势与一个白

9、噪声之和，称为随机游动加噪声：tyty0it()i1那个地址，t是白噪声，方差为2,t和ts是独立的(E(tts)0)。随机游动加噪声的另一种表示是yttt()由()能够看到随机游动加噪声模型的重要性质：1给定y。值，序列yt的均值是常量：Eyty。，t对yt的冲击有持久效应，因此yt有随机趋势成份t。2 乂有纯噪声成份，t对yt只有临时效应，t的现期值只阻碍yt,但不阻碍后期值yts。3 y的方差不是常数，Var(yJt22,且Var(yts)(ts)22,当,yt的方差趋于无穷。噪声成份的存在意味着yt和yts的相关系数小于纯随机游动的系数。这是因为2Cov(yt,yts)(ts)(ts)

10、2s(t22)(ts)22当20,将s与纯随机游动的相关系数比较，可知随机游动加噪声模型的相关系数小于纯随机游动的相关系数。随机游动加噪声模型和随机游动加漂移项是构造更复杂的时刻序列模型的大体模型。若是将噪声和漂移项归并到一个模型中，将()或()变成下面形式yta0tt()t或ytyoaoti1方程()称为趋势加噪声模型，X是确信性趋势、随机趋势和纯白噪声之和。也能够把带漂移的随机游动再增加一个平稳进程A(L)t,如此取得了被称为带有不规那么成份得一样趋势模型：tytyoaotia(L)t()i1因此，()同时包括确信性趋势、随机趋势和平稳成份2去掉趋势一个具有趋势的序列和一个平稳序列的重要不

11、同：（1）对平稳序列的冲击效应是临时的，随时刻的推移，冲击效应将消散，序列将返回到长期均值水平。（2）含有趋势的序列将可不能返回到长期水平。趋势有确信性成份和随机性成份。能够进行适当的变换来排除趋势部份，将其变换成平稳序列，这有着重要的意义。排除趋势的通常方式是差分和去趋势。去趋势需要把那个变量对时刻回归求出残差（去趋势是去掉确信性趋势而不是随机趋势）。包括一个单位根的序列可通过差分达到平稳。本节的目的是比较去掉趋势的这两种方式。差分第一考虑带漂移项的随机游动模型的解tytNoatii1取差分，得ya。1这时差分后的序列yt是平稳的。去趋势另一种方式是去趋势，即估量回归方程yta。aJ从观测到

12、的序列中减去乂的那个估量值，取得t的估量值。更一样地，一个时刻序列能够有多项式趋势：yta。ata2ia3t3antne那个地址et是一个平稳进程。通过把yt对一个确信性多项式的时刻趋势回归，而去趋势。多项式的阶数可通过t-查验，F-查验或AIC,SBC来确信。在实际中通过利用最大的n值来估量那个回归方程，假设为的t-统计量为0,考虑阶为n-1的多项式趋势。F-统计量可用来确信一组系数（如ani,an）是不是异于零。AIC,SBC可用来证明多项式适当的阶数。yt的估量值与实际值的差确实是平稳序列et的估量值，被去掉趋势后的进程能够用传统的方式（如ARMA估量）来建模。差分平稳和趋势平稳模型咱们

13、有两种方式排除趋势。一个趋势平稳进程能够通过去掉确信性趋势而转化为平稳序列。一个具有单位根的进程，（称为差分平稳序列DS）可通过差分而转化为平稳序列。差分能够将非平稳模型变换成具有ARMA表示的平稳模型。这并非是说，所有的非平稳模型都能够通过适当的差分变成平稳的ARMA模型。当利用不适当的方式排除趋势时，会产生问题。例如，考虑一个具有确信性趋势和噪声的模型。ytv。a1tt一阶差分是ytait11那个地址乂是不可逆的（即yt不能表达到自回归的形式）。因为一个平稳进程是可逆的，只须MA部份没有单位根。因此，yt不能表示成平稳的ARMA模型。对一样的趋势平稳进程A（L）ytaoaitet那个地址A

14、（L）的特点根在单位圆外，et可有etB（L）t形式。若是减去确信性时刻趋势的估量值会取得一个平稳可逆的ARMA模型。但如果是咱们把模型进行一阶差分，会得A(L)ytai(1L)B(L)t这说明，把趋势平稳（TS）进程进行一阶差分，会使模型中的MA部份加入了一个不可逆的单位根进程。因此，yt不能表示成平稳的ARMA进程。一样地，从差分平稳进程中减去确信性时刻趋势也是不适当的。如，在（）中，从每一个观测值中减去yat并非能取得平稳序列，因为趋势中的随机部份没被排除。经济周期在传统的经济周期的研究中，老是将实际宏观经济变量分解为长期趋势和周期部份。典型的分解见图。长期趋势属于增加理论范围。趋势的斜

15、率是由长期要素，如技术进步，生产力，教育达到的水平而决定。实际经济这种波浪式的运动称为经济周期。尽管循环期不必然象图中那么正规，繁荣、衰退期象潮汐一样可循环。货币和财政政策的目的是降低周期的振幅。趋势是不平稳部份，周期和不尽管有衰退、繁荣期，二战后的体会告知咱们，经济周期并无规那么的周期。即便如此，人们也相信，长期来看，宏观经济变量以常量趋势增加，偏离那个趋势的误差最终由“看不见的手”而排除。“趋势不变”的观点致使人们利用线性（或多项式）确信性回归方程来去掉宏观经济数据中的趋势。但是，Nelson和Plosser（1982以为，重要的宏观经济变量的趋势是DS而不是TS进程。他们取得了13个重要宏观经济变量的数据：实际GNP、名义GNP、工业产值、就业、失业率、GNP通胀指数、消费价钱、工资、实际工资、货币纯量、流通速度、债券收益、股票价钱指数。他们的结果列在表中，前两列是一阶二阶自相关。前三个序列的一阶、二阶自相关建议：序列存在单位根。