《空间曲线的切线与空间曲面的切平面》由会员分享，可在线阅读，更多相关《空间曲线的切线与空间曲面的切平面（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第六节空间曲线的切线与空间曲面的切平面一、空间曲线的切线与法平面”x=x(t)设空间的曲线C由参数方程的形式给出：y=y(t),、Z=Z(t)设tot(：，J,A(x(to),y(to),z(to)、B(x(ti),y(ti),z(ti)为曲线上两点,A,B的连线AB称为曲线C的割线，当BA时，若AB趋于一条直线，则此直线称为曲线C在点A的切线.如果x=x(t),y=y(t),z=z(t)对于t的导数都连续且不全为零(即空间的曲线C为光滑曲线)，则曲线在点A切线是存在的因为割线的方程为xx(t)_yy(t)_zz(t)x(tj-x(to)y(tj-y(to)z(ti)-z(to)也可以写为xx
2、(t。)_yy(t。)_zz(t。)x(tj-x(to)y(tj-y(to)z(tjz(to)t-tot-tot-to当BA时，tto，割线的方向向量的极限为J(to),y(to),z(to)1，此即为切线的方向向量，所以切线方程为Xx(to)_yy(to)_z_z(to)x(to)一y(to)z(to)过点A(x(to),y(to),z(to)且与切线垂直的平面称为空间的曲线C在点A(x(to),y(to),z(to)的法平面，法平面方程为x(to)(x-Xo)y(to)(y-yo)z(t)(z-z)=0如果空间的曲线C由方程为y=y(x),z=z(x)且y(xo),z(xo)存在，则曲线在
3、点A(Xo,y(Xo),z(Xo)的切线是x-Xo1x-Xo1y-y(xo)y(xo)z-Z(Xo)z(Xo)法平面方程为(x-Xo)y(Xo)(y-y(Xo)z(Xo)(z-z(Xo)=0如果空间的曲线C表示为空间两曲面的交，由方程组F(x,y,z)=0,c:丿G(x,y,z)=0确定时,确定时,假设在A(xo,yo，Zo)有J(F,G)点(y,z)a-0，在A(Xo,yo,zo)某邻域内满足隐函数组存在定理条件，则由方程组G(x：z)：o在点A(xo,yo,zo)附近能确定隐函数y=y(x),z=z(x)有yo=y(xo),z=z(xo)理=丄”F,G),生=一1c(F,G)。于是空间的曲
4、线c在，dxJc(x,z)dxJc(y,x)点A(xo,y，Zo)的切线是X-X。y-y。Z-Zo1dydzdxadxAxxoyyozzo亘F,G)f(F,G)f(F,G)巩y,z)a召(z,x)af(x,y)A法平面方程为类似地，如果在点类似地，如果在点(x-Xo)A.XF,G)：(z,x)(y-y。)A工(F,G)级x,y)(z-zo)=0AA(X0，y0，z0)有號A-0时，我们得到的切线方程和法平面方程有相同形式。所以，当向量VaVa0F,G)级乙X)A：(F,G)：(x,y)时，空间的曲线C在A(x0,y0,z0)的切线的方向向量为r例6.32求曲线x=acos：,y=asin=,z
5、=bd在点：i.-a,0,b二处的切线方程.解当v-二时，曲线过点-a,O,b二，曲线在此点的切线方向向量为；.-asinJ,acosv,bj-O,-a,bf,所以曲线的切线方程为xx(t。)yy(t。)zz(t。)0-abxayz-b二即0-ab.二、空间曲面的切平面与法线设曲面S的一般方程为F(x,y,z)=0取Po(xo，yo，z。)为曲面S上一点，设F(x,y,z)在Po(x,yo,Zo)的某邻域内具有连续偏导数，且F；(xo,y,乙)F；(xo,y,Zo)Fz2(xo,y,zo)=0。设c为曲面S上过Po(Xo,y,Zo)的任意一条光滑曲线：X二x(t)c：y=y(t)二=z(t)设
6、X。二x(t),y二y(t),z二z(t)，我们有F(x(t),y(t),z(t)=0上式对t在t二t0求导得到IIIFx(x,y,z0)x(t)+Fy(x,y,z0)y(t)十Fz(x,y0,z)z(t。)=0因此，曲面S上过P0(x0,y0,z0)的任意一条光滑曲线c在P0(x0,y0,z0)点的切线都和向量n=Fx(x0,y,z),Fy(x,y,z),Fz(x,y,z)垂直，于是这些切线都在一个平面上，记为，平面就称为曲面S在P0(x0,y0,z0)的切平面，向量n称为法向量。S在P0(x0,y0,z0)的切平面方程是Fx(Xo,yo,Zo)(xXo)Fy(Xo,yo,Zo)(y-y)F
7、z(x,y,Zg)(z-zj=0过点Po(xo,yo，Zo)且与切平面垂直的直线称为曲面S在Po(xo,yo,zo)点法线，它的方程为(x-X。)(y-y)(z-乙)Fx(Xo,yo,Zo)Fy(Xo,yo,Zo)Fz(xo,yo,z)设曲面S的方程为F(x,y,z)=O若F(x,y,z)在S有连续偏导数且Fx2(Xo,yo,Zo)Fy2(Xo,yo,Zo)Fz2(Xo,yo,z)=O,则称S是光滑曲面。由上面讨论可以知道光滑曲面有切平面和法线。若曲面S的方程的表示形式为z=f(x,y)，这时，容易得到S在Po(xo,yo,zo)的切平面方程为fx(Xo,yo)(x-x)fy(x,y)(y-y
8、o)-(z-z)=O法线方程为(x-X。)_(y-y。)_(z-zo)fx(Xo,yo)fy(Xo,yo)-1我们知道，函数z二f(x,y)在点(xo,yo)可微，则由Taylor公式知f(x,y)-f(Xo,yo)=fx(Xo,y)(x-Xo)fy(x,y)(y-y)O(_(x-x)2(y-y)2)也就是说，函数z=f(x,y)在点(xo,y)附近可以用S在Po(x,yo,Zo)的切平面近似代替，误差为.(x-Xo)2(y-y)2的高阶无穷小。若曲面S的方程表示为参数形式x=x(u,v)S:y=y(u,v).z=z(u,v)设Xo=X(Uo,Vo),yo=y(Uo,Vo),Zo=Z(Uo,V
9、o)，Po(Xo,yo,Zo)为曲面上一点。假设在FO(Xo,yo,Zo)有J=g(x,式O,在Po(Xo,yo,Zo)某邻域内满足隐函数组存在定理条讯U,v)Po件，则由方程组丿X=x(u,v),在点po(Xo，yo，Zo)附近能确定隐函数(即X和y的逆映射)y=y(u,v)u=u(x,y),v二v(x,y)满足u0=u(x0,y0),v0=v(x0,y0)于是，曲面S可以表示为。z=f(x,y)=z(u(x,y),v(x,y)由方程组丿xx(u,v)，两边分别同时对x,y求偏导得到j=y(u,v)；:y_cv：x一：(x,y)，一：(x,y):：(u,v):：(u,v).x:x-：u_：v
10、竺=:：u：y-：(x,y)：y巡y)c(u,v)c(u,v)：:(y,z)fx二ZuUZuUyZvvy：(u,v)/(x,y)/(u,v)：(乙X)f(u,v)/e(x,y)/(u,v)所以，S在P0(x,Yo,z)的切平面方程为(y,z)(u,v)(x-Xo)(Uo，Vo)：(z,x)；：(U,v)(Uo，Vo)(y一Yo)：(X,y)：(u,v)(Z-Zo)=O(Uo，Vo)法线方程为x-xoy一yoz-zo久y,z)讯Z,x)(x,y)讯u,v)(Uo,Vo)讯U,v)(Uo,vo)点(U,v)(Uo，Vo)x例6.33求曲面z=yIn在点(1,1,1)的切平面和法线方程。z解曲面方程
11、为xTF(x,y,z)ylnz=0，易得n=1,1,-2z切面方程为(x一1)(y一1)_2(Z-1)=0即xy-2z=0.法线方程为x-1y-1z-11一1一-2习题6.61求曲线x=acosacost,y=asinacost,z=asint在点t=t0处的切线和法平面方程.2.求曲线x2y2z2xyz=0=6在点（1,-2,1）处的切线和法平面方程.3.求曲面y=arctan在点（1,1,二/4）的切平面和法线方程。x4。证明曲面3xyz=a（a0）上任意一点的切平面与坐标面形成的四面体体积为定值。5.证明曲面z=xf（丫）上任意一点的切平面过一定点。x第七节极值和最值问题一、无条件极值与
12、一元函数极值类似，我们可以引入多元函数的极值概念。定义6.3n元函数f(Xi,X2,Xn)在点P(x；,x2,，x：)的一个邻域U(F0)Rn内有定义。若对任何点P(xj,x2，xn)U(P0)，有f(P。)-f(P)或(f(P。)乞f(P)则称n元函数f(X1,X2，Xn)在Po(Xi0,x0，x0)取得极大(或极小)值，Po(x10,x0,X0)称为函数f(Xi,X2/,Xn)的极大(或极小)值点。极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。类似一元函数，我们称使得n元函数f(x1,x2/,xn)的各个一阶偏导数同时为零的点为驻点。我们有如下定理。定理6.28若PO(X,X/
13、,X0)为n元函数f(Xi,X2/,Xn)的极值点，且f(Xi,X2,Xn)在Po(Xi0,x；,x0)的一阶偏导数存在，则Po(x0,x0，,x0)为n元函数f(Xi,X2,Xn)的驻点。证考虑一元函数Xi)=f(x；，,Xi,，x0)(i=1,2n)，则Xi是(xj的极值点，Fermat马定理告诉我们，可导函数在极值点的导数是零，于是(X)二fXi(Xi0,x：)=0和一元函数类似，反过来，驻点不一定是极值点。而偏导数不存在的点也有可能是极值点。判断多元函数的极值点要比一元函数复杂的多，下面我们仅对二元函数不加证明给出一个判别定理。定理6.29若Po(Xo,yo)为二元函数f(x,y)的驻
14、点，且f(x,y)在Po(x,y)的一个邻域U(P)R2中有二阶连续偏导数。令A=fxx(X0,y),B=fxy(X0,y),C=fyy(X0,y),AB2Q=AC-B，BC则(1) 当Q0时，若A0，f(x,y)在P0(x0,y0)取极小值；若A：0,f(x,y)在P0(X0,y0)取极大值；(2) 当Q0时，f(x,y)在P0(X0,y。)不取极值；(3) 当Q=0时，f(x,y)在P0(x,y。)可能取极值，也可能不取极值。例6.34求函数z=x2y3(6-x-y)的极值。解解方程组rfcz3一=xy3(12_3x_2y)=0疋xCZ22=x2y2(18_3x-4y)=0;y得驻点为P(2,3)及直线x=0,y=0上的点。2对P(2,3)点有A二-162,B二-108,C二144,AC-B0,于是函数z在P(2,3)取积大值z(Po)=108。x=0容易判断，满足条件丿的点为函数z的极小值点，极小值为0;满足条件的06一、最值问题在社会生产各个领域我们都会遇上
