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1、总复习 1本高等数学 1 讲的内容基本可以归结为：一个思想：极限的思想；两个体现：微分与积分。一基本概念及其计算1. 求极限； 2. 求导数与微分；3. 求极值、最值； 4. 求不定积分；5. 求定积分； 6. 求面积、体积与弧长；7. 求平面与直线的方程。二应用（重点是几何应用） ：1. 利用导数求切线；2. 利用定积分的元素法求面积体积与弧长；3. 最值问题。综合练习 ( 精选 )一计算1. 计算下列极限说明：在习题课上已经总结了许多求极限的方法。但最开始应该想到的还是罗比达法则以及两个重要极限。*（ 1）lim(n21)2n2 n答案：e 4nn21*（2）lim(11 )提示：通分后用
2、罗比达。 答案：0x 0sin xx* （ 3） lim ln(1x) x （ 04-05 ）提示：罗比达结合重要极限。答x01cosx案： -1*（ 4）lim x1ln x（ 08-09 ）答案：0x1 xexe* （5） lim ln(1x a 1 arcsin33x1)提示：等价无穷小替换。答案：1x1* （6） lim(e x1提示：重要极限结合罗比达。答案： e2x) x （ 07-08 ）x0*（ 7）limx提示：分母有理化答案：2x 01 sin xcosx*（ 8）lim x(arctanx)（07-08 ）答案：1x2（ 9） limex cosx1 x答案：0x2x 0
3、x(tant sint)dt* （10）0提示：注意变上限积分求导。答案：limsinxx 0t 3dt01/22计算下列导数22* （ 1） yesin (3x 1) ，求 y 答案： y 3sin(6x 2)esin (3x 1)* （2） yx(sinx) cosx ，求 y 答案：y(sin x) cosxx(sin x)cosx sin xlnsin xcot xcosx* （3）1x 2，求 f (x) 。答案：2xf(x)arcsin1x2| x | (1 x2 )*（4）x3 sin1x 0 ，求 f (0)f (x)x0x0提示：严格按照定义求。答案：0* （5）设 xet1
4、 求 dyd 2 y （06-07）t ,2yt 2dxdxd 2 yd(dy)d(dy)11 2tdxdxdx 2dxdtdxe2tdt答案： dy2t1dxet*（ 6）已知 xeyye y x3 ，求 dy答案：1。dx x 0*（7）已知sin(xy)lnx 1，求 dyy1dx x 0答案：yyy 2 (1x)cosxyy |x 0ee2(1x)(1xycosxy)*（8） xt 22t，求 dy（02-03）答案： dy1yln(1t)dxdx2(t1)23计算下列不定积分*（ 1） ln(1x)提示：分部。答案：dxx2x ln(1x)4x4arctanxC11111*（2）1
5、e xdx （ 08-09 ）提示：凑微分 .e xCx 2x* （3）sin2 lnx dx 提示： 1/x凑微分加半角公式 .x答案：*（4）1 lnx1 sin2lnxC24cot x提示：化正余弦。答案：sin xdxcotxlnC1 sinx1sin x* （5）x5dx提示：凑微分后化有理。4 1x34 (x 31)7/44 (x 31)3/4C219*（6）x 1x dx提示 : 分子有理化。答案：1x1 x2x1 x21arcsinx C223xdx, （ 07-08 ）提示：第二类换元 t6x 。* （7）x( x3 x)答案：6ln6 xC61x*（8）xexx2 dx(e
6、1)提示：分部消 x.答案：1 xexxln | ex1|C* （9）1dxsinxcos 3 x答案：1cos2 x1ln1 cos2 xC22cos2 x*(10)1sin 2x提示：dxsin xcos x(sin xcosx) 2(sin xcosx) 2dxdxsin xcosxsin xcos x(11 )dxsin xcosxln | secxtan x | ln |cscx cot x |C4. 计算下列定积分* （1）xsin 2 xdx提示：先用倍角公式再分部。答案：204*（ 2） 2 (cos2sin 3 )d （02-03 ）2提示：利用奇偶函数。答案：/ 2* （3
7、）2 | sin x |arctane x dx. （96-97 ）答案： /22*（4） 2cosx3提示：利用偶函数。答案： 4cos xdx321 x 20 x1求2答案： 1（ 5）设f (x)dx .f(x)x102ln 2ln x3（ 6） 1 xdx提示：暇积分答案：1。0 1 x2（ 7）f(x)1y2求1x2f (x)dx提示：分部。答案：122 )x edy0(16e（ 8）211)2 dx提示：暇积分。答案：发散0 (x（ 9）1dx答案：x24x 95*(10)arctanxdx1 x2提示：注意对于无穷限的积分若两边都是无穷，应该分别取极限。不能用奇函数性质。答案：
8、05. 向量代数、平面与直线等。说明：此部分题目以平面与直线为多。单纯向量的运算的较少。* （1）直线 l 过 p04,2,3，与平面： x y z 100平行，又与直线 l1： x 2yz50垂直，求直线 l 的方程 .（08-09 ）z100提示：直线与平面的法线以及另一直线的方向向量均垂直。用外积。答案： x4y2z3123* （2）已知直线lx3z0，lx 3y 2z ，1:2z602:21y3a求 l1 的方向向量；b，验证：l1 与 l 2 平行；c ，求过 l1 ，l 2 的平面方程。（ 05-06 ）答案： l 1的方向向量： 3 ， -2,14(x3)3(y2)6z0（ 3）
9、求经过点 A（ -1,2,3），垂直于直线L : xyz456且与平面: 7x8y9z100平行的直线方程。答案： x1 y2z3121* （ 4）求直线Lx1y1 z 与直线Lxz1 间的距离。1:212:2z31y提示：这是平行线。（答案： 23 ）3（ 5）求过直线x5yz0且与平面 x4y 8z 12 0 成/ 4 角:z40,x的平面方程。提示：利用平面束。答案：3 / 4， x20y7z 120.（ 6）求过点 M （1,1,1）且与直线y2x和y3x4都相交的L 1:xL2:2x1z1z直线方程。答案： x 1 y 1z 1112二、判别1. 有关连续性、间断点、可导性等判别2* （ 1）讨论函数1x0的连续性，如有间断点，说明其2exfx1x0类型 .答案： x=0 间断，第一类跳跃间断点。（
