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1、r最新W堀考向预测1一以疋休几闊的定丈、兽塢和远网为tli发点. 认识和理解空冋中钱丽羽“的冊爻性质与A fit延用公瑚.疋圧和L1止鬥的估准ilLlM - 些空剧图形眄豊比关糸的肯单珥1弗題tits血觸，平而爾C帕邦定从鶴朴圧浪商1?中的和点电青內窖，池更 載垂直、ttVB直.面垂直的判定及述庇川零内吝.题酯毛豊 aw题购晤式岀rl 鶴m聽力t rufflw 址与优m的屈JS.轿心 素养世倒雄虑.肯嗯一世舉/第4讲直线、平面垂直的判定与性质理赣时”軒实必苗刘识*走进教材、知识梳理1.直线与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言付号语言判定定理一条直线与一个平面 内的两条相交直线都 垂直
2、，则该直线与此 平面垂直ZS7a, b aa 0 b = ?1 丄l丄al丄ba性质定理垂直于冋一个平面的两条直线平行d 匚b7a丄a? all bb丄ah2平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言付号语言一个平面过另一个平判定定理面的垂线，则这两个rS 71卩? a丄卩/ / /1丄a平面互相垂直1 1两个平面互相垂直，a丄3则一个平面内垂直于r a 13? 1性质定理a 0 3 = a交线的直线垂直于另/ 7 /1丄a一个平面丄a3空间角(1) 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成 的角，如图，/ PAO就是斜线AP与平面
3、a所成的角.n 线面角B的范围：茨0,2 .(2) 二面角 定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱.两个半平面叫做二面角的面.如图的二面角，可记作：二面角a-l- B或二面角P-AB-Q. 二面角的平面角如图，过二面角 al-3的棱I上一点 0在两个半平面内分别作 BO丄I, AO丄I，则AOB 就叫做二面角a-l - 3的平面角. 二面角的范围设二面角的平面角为 9,贝yo, n. 当9=尹，二面角叫做直二面角.常用结论1. 线线、线面、面面垂直间的转化2. 两个重要定理(1) 三垂线定理在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它
4、也和这条斜线 垂直.(2) 三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂 直.3. 重要结论(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).(3) 垂直于同一条直线的两个平面平行.(4) 一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直.二、教材衍化1. 下列命题中错误的是 (填序号). 如果平面a丄平面3,那么平面a内一定存在直线平行于平面3 如果平面a不垂直于平面 3那么平面a内一定不存在直线垂直于平面3 如果平面 a丄平面 y平面3丄平面Y , a A 3 = l，那么I丄
5、平面 丫 如果平面a丄平面3,那么平面a内所有直线都垂直于平面3解析：对于，若平面a丄平面3,则平面a内的直线可能不垂直于平面3,即与平面3的关系还可以是斜交、平行或在平面3内，其他选项均是正确的.答案：2 .在三棱锥 P-ABC中，点P在平面ABC中的射影为点 0.(1) 若PA= PB= PC,则点 0是厶ABC的心；(2) 若PA丄PB, PB丄PC, PC丄PA,则点 O是厶ABC的心.解析：如图1,连接OA, OB, OC, OP,在 RtOA, RtAPOB 和 RtOC 中，FA = PC= PB ,所以OA = OB= OC,即OABC的外心.禺IB 图2(2)如图2,延长AO
6、, BO, CO分别交BC, AC , AB于点H, D, G.因为 PC 丄 PA , PB 丄 PC , PA APB = P ,所以PC丄平面PAB ,又AB 平面PAB ,所以PC丄AB ,因为 AB 丄 PO , PO APC= P ,所以AB丄平面PGC,又CG 平面PGC ,所以AB丄CG ,即CG ABC边AB上的高.同理可证BD , AH分别为 ABC边AC, BC上的高，即0为厶ABC的垂心.答案：外垂走出误区一、思考辨析判断正误(正确的打，错误的打“X” )直线I与平面a内的无数条直线都垂直，则I丄a()(2) 垂直于同一个平面的两平面平行.()(3) 直线 a丄 a,
7、b丄 a，贝U a / b.()若a丄a丄卩，贝U a / a.()若直线a丄平面a,直线b / a,则直线a与b垂直.()(6)若平面a内的一条直线垂直于平面B内的无数条直线，则a丄B()答案：(1)X (2) X (3) V X(5) V X二、易错纠偏常见误区|K (1)忽略线面垂直的条件致误；(2)忽视平面到空间的变化致误.1.“直线a与平面a内的无数条直线都垂直”是“直线 a与平面a垂直”的条件.解析：根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面a内的无数条直线都垂直”不能推 出“直线a与平面a垂直”，反之则可以，所以应是必要不充分条件.答案：必要不充分2. 已知直线a, b, c,若a
8、丄b, b丄c,贝U a与c的位置关系为 .解析：若a, b, c在同一个平面内，由题设条件可得a / c;若在空间中，则直线a与c 的位置关系不确定，平行，相交，异面都有可能.答案：平行，相交或异面线面垂直的判定与性质(多维探究)角度一 线面垂直的证明II如图所示，在四棱锥P-ABCD 中，AB丄平面 PAD , AB/ CD , PD = AD, E 是 PB 的中点,1是DC上的点，且 DF = 2AB, PH PAD中AD边上的高.求证：(1)PH丄平面 ABCD ;(2)EF丄平面PAB.【证明】 因为AB丄平面PAD, PH 平面PAD,所以PH丄AB.因为PHPAD中AD边上的高
9、，所以PH丄AD.因为 AB n AD= A, AB平面 ABCD , AD 平面ABCD ,所以PH丄平面 ABCD.1(2)如图，取FA的中点M,连接MD , ME.因为E是PB的中点，所以ME綊？AB.1又因为DF綊2AB.所以ME綊DF ,所以四边形MEFD是平行四边形，所以 EF / MD.因为PD = AD,所以MD丄PA.因为AB丄平面PAD,所以MD丄AB.因为PAn AB = A,所以MD丄平面PAB,所以EF丄平面PAB.角度二线面垂直性质的应用1 :如图，在三棱锥A-BCD中，AB丄AD , BC丄BD，平面 ABD丄平面 BCD，点E,F(E与A, D不重合)分别在棱
10、AD , BD上，且EF丄AD.求证：(1)EF /平面ABC;(2)AD 丄 AC.【证明】在平面ABD内，因为AB丄AD , EF丄AD,所以EF / AB.又因为EF?平面ABC , AB 平面ABC, 所以EF /平面ABC.因为平面 ABD丄平面BCD ,平面ABD n平面BCD = BD,BC 平面 BCD , BC 丄 BD ,所以BC丄平面ABD.因为AD 平面ABD,所以BC丄AD.又 AB丄 AD, BC nAB= B, AB 平面 ABC , BC 平面 ABC,所以AD丄平面ABC.又因为AC 平面ABC,所以AD丄AC.(1) 判定线面垂直的四种方法* * T T T
11、 W T T H MT T T T W P W W T T1 T T T方法一測用塩曲爭直的就定室聲 ! ! ! a ! ! 育法二 +1二麦鱼曳逸总半丙鑿程：!側甬;二冢直区整直手商”亓車石*鬲二不J 方法三f團与另一牛也奎亶“IBi Si A JBa a Bi JB I* ! ， ，f *! * j方沬四一【利用规勾平面丢克的柿质如图所示，在四棱锥P-ABCD 中,PA 丄底面 ABCD , AB 丄 AD , AC 丄 CD，/ ABC = 60,PA= AB= BC , E是PC的中点.证明：（1）CD丄AE ;(2)PD丄平面ABE.证明：在四棱锥 P-ABCD中,因为PA丄底面AB
12、CD , CD 平面 ABCD , 所以PA丄CD.因为AC丄CD , PA HAC = A, 所以CD丄平面PAC.而AE 平面PAC,所以CD丄AE.由 PA= AB= BC, /ABC = 60 可得 AC = FA. 因为E是PC的中点，所以AE丄PC.由（1）知 AE丄 CD ,且 PC n CD = C,所以AE丄平面PCD.而PD 平面PCD ,所以AE丄PD.因为PA丄底面ABCD ,所以PA丄AB.又因为AB丄AD且PAn AD = A,所以AB丄平面PAD ,而PD?平面PAD ,所以AB丄PD.又因为 AB A AE= A,所以PD丄平面ABE.考点面面垂直的判定与性质（典例迁移）（一题多解）如图，四棱锥P-ABCD 中，AB丄 AC, AB 丄 PA, AB / CD, AB = 2CD ,E, F , G, M, N 分别为 PB, AB, BC, PD, PC 的中点.求证：CE /平面FAD ;求证：平面EFG丄平面EMN.【证明】 法一：取PA的中点H ,连接EH , DH.D C又E为PB的中点，1所以EH綊
