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1、高中数学向量检测题（难度大）一选择题（共3小题）1（2014重庆）已知ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（AB+C）=sin（CAB）+，面积S满足1S2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，在下列不等式一定成立的是（）Abc（b+c）8Bab（a+b）16C6abc12D12abc242（2010云南模拟）在ABC中，a=x，b=2，B=45，若这样的ABC有两个，则实数x的取值范围是（）A（2，+）B（0，2）C（2，2）D（，2）3（2012重庆模拟）设ABC的角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2=abcosC+absinC，则ABC的形状为（）A直角非等腰三角
2、形B等腰非等边三角形C等腰直角三角形D等边三角形二填空题（共8小题）4（2013兴庆区校级三模）在ABC中，A=60，BC=，则AC+AB的最大值为5（2012贵州校级模拟）已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且A=30，B=45，a=2，则b=6（2012镜湖区校级模拟）在OAB中，O为坐标原点，A（1，cos），B（sin，1），则当OAB的面积达最大值时，则=7（2010江门模拟）在三角形ABC中，A，B，C所对的边长分别为a，b，c，其外接圆的半径，则的最小值为8（2009湖南）在锐角ABC中，BC=1，B=2A，则的值等于，AC的取值范围为9（2014太原一模）已
3、知O是锐角ABC的外接圆圆心，A=，若，则m=（用表示）10（2015河南模拟）在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+2b=4，asinA+4bsinB=6asinBsinC，则ABC的面积最小值时有c2=11（2015春上饶期末）已知ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过ABC的中心G若AGM的面积为，则AGN的面积为三解答题（共3小题）12（2015新课标II）ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长13（2015衡水四模）在ABC中，角A，B，C所对
4、的边分别为a，b，c，函数f（x）=2cosxsin（xA）+sinA（xR）在x=处取得最大值（1）当时，求函数f（x）的值域；（2）若a=7且sinB+sinC=，求ABC的面积14（2015杭州一模）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知cos2A+=2cosA（1）求角A的大小；（2）若a=1，求ABC的周长l的取值范围高中数学向量检测题（难度大）参考答案与试题解析一选择题（共3小题）1（2014重庆）已知ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（AB+C）=sin（CAB）+，面积S满足1S2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，在下列不等式一定成立的是（）Ab
5、c（b+c）8Bab（a+b）16C6abc12D12abc24【考点】正弦定理的应用；二倍角的正弦【专题】三角函数的求值；解三角形【分析】根据正弦定理和三角形的面积公式，利用不等式的性质 进行证明即可得到结论【解答】解：ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（AB+C）=sin（CAB）+，sin2A+sin2B=sin2C+，sin2A+sin2B+sin2C=，2sinAcosA+2sin（B+C）cos（BC）=，2sinA（cos（BC）cos（B+C）=，化为2sinA2sinBsin（C）=，sinAsinBsinC=设外接圆的半径为R，由正弦定理可得：=2R，由S=，及正
6、弦定理得sinAsinBsinC=，即R2=4S，面积S满足1S2，4R28，即2R，由sinAsinBsinC=可得，显然选项C，D不一定正确，Abc（b+c）abc8，即bc（b+c）8，正确，Bab（a+b）abc8，即ab（a+b）8，但ab（a+b）16，不一定正确，故选：A【点评】本题考查了两角和差化积公式、正弦定理、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题2（2010云南模拟）在ABC中，a=x，b=2，B=45，若这样的ABC有两个，则实数x的取值范围是（）A（2，+）B（0，2）C（2，2）D（，2）【考点】正弦定理的应用【
7、专题】计算题；压轴题【分析】先利用正弦定理表示出x，进而根据B=45可知A+C的值，进而可推断出若有两解，则A有两个值，先看A45时推断出A的补角大于135，与三角形内角和矛盾，进而可知A的范围，同时若A为直角，也符合，进而根据A的范围确定sinA的范围，进而利用x的表达式，求得x的范围，【解答】解：由正弦定理可知，求得x=2sinAA+C=18045=135有两解，即A有两个值这两个值互补若A45则由正弦定理得A只有一解，舍去45A135又若A=90，这样补角也是90度，一解，A不为90所以sinA1x=2sinA2x2故选C【点评】本题主要考查了正弦定理的运用，解三角形问题考查了学生推理能
8、力和分类讨论的思想的运用3（2012重庆模拟）设ABC的角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2=abcosC+absinC，则ABC的形状为（）A直角非等腰三角形B等腰非等边三角形C等腰直角三角形D等边三角形【考点】余弦定理【专题】计算题；压轴题【分析】将已知等式右边提取2ab，利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域得出a2+b22ab，当且仅当C+=，即C=时取等号；再利用基本不等式得到a2+b22ab，且当且仅当a=b时取等号，进而确定出a=b且C=，即可判定出此三角形为等边三角形【解答】解：sin（C+）1，a2+b2=abco
9、sC+absinC=2ab（cosC+sinC）=2absin（C+）2ab，当且仅当C+=，即C=时取等号，又a2+b22ab，且当且仅当a=b时取等号，则a=b且C=，即ABC为等边三角形故选D【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及基本不等式的运用，熟练掌握公式是解本题的关键二填空题（共8小题）4（2013兴庆区校级三模）在ABC中，A=60，BC=，则AC+AB的最大值为2【考点】正弦定理【专题】压轴题；解三角形【分析】本题考查的知识点是余弦定理及基本不等式，由已知ABC中，A=60，BC=，我们结合余弦定理得到AB2+AC2=ABAC+3，再由基本不等
10、式我们可以将式子变形为一个关于AB+AC的不等式，解不等式即可得到答案【解答】解：由余弦定理得：cosA=cos60=即AB2+AC2=ABAC+3即AB2+AC2+2ABAC=3ABAC+3即（AB+AC）2=3ABAC+3+3即（AB+AC）212AB+AC2故则AC+AB的最大值为2故答案为：2【点评】在解三角形时，正弦定理和余弦定理是最常用的方法，正弦定理多用于边角互化，使用时要注意一般是等式两边是关于三边的齐次式而余弦定理在使用时一般要求两边有平方和的形式5（2012贵州校级模拟）已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且A=30，B=45，a=2，则b=2【考点】正
11、弦定理【专题】计算题；压轴题；解三角形【分析】利用正弦定理=即可求得答案【解答】解：ABC中，A=30，B=45，a=2，由正弦定理=得：=，b=2=2故答案为：2【点评】本题考查正弦定理的应用，属于基础题6（2012镜湖区校级模拟）在OAB中，O为坐标原点，A（1，cos），B（sin，1），则当OAB的面积达最大值时，则=【考点】正弦定理【专题】综合题；压轴题；数形结合【分析】根据题意在平面直角坐标系中，画出单位圆O，单位圆O与x轴交于M，与y轴交于N，过M，N作y轴和x轴的平行线交于P，角如图所示，所以三角形AOB的面积就等于正方形OMPN的面积减去三角形OAM的面积减去三角形OBN的面
12、积，再减去三角形APB的面积，分别求出各自的面积，利用二倍角的正弦函数公式得到一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域及角度的范围即可得到三角形面积最大时所取的值【解答】解：如图单位圆O与x轴交于M，与y轴交于N，过M，N作y轴和x轴的平行线交于P，则SOAB=S正方形OMPNSOMASONBSABP=1（sin1）（cos1）（1sin）（1cos）=sincos=sin2因为（0，2（0，所以当2=即=时，sin2最小，三角形的面积最大，最大面积为故答案为：【点评】此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式化简求值，利用运用数学结合的数学思想解决实际问题，掌握利用正弦函数的值域求函数最值的方法，
13、是一道中档题7（2010江门模拟）在三角形ABC中，A，B，C所对的边长分别为a，b，c，其外接圆的半径，则的最小值为【考点】正弦定理；函数的最值及其几何意义【专题】计算题；压轴题【分析】先利用正弦定理用a，b和c以及R分别表示出sinA，sinB，sinC，进而把原式展开后利用基本不等式求得其最小值【解答】解：由正弦定理可知=2RsinA=，sinB=，sinC=4R2（a2+b2+c2）（）=4R2（3+）4R2（3+2+2+2）=（当且仅当a=b=c时等号成立）故答案为：【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，基本不等式在最值问题中的应用解题的关键是利用正弦定理把问题转化为边的问题，进行解决8（2009湖南）在锐角ABC中，BC=1，B=2A，则的值等于2，AC的取值范围为（）【考点】正弦定理；同角三角函数基本关系的运用【专题】综合题；压轴题【分析】（1）根据正弦定理和B=2A及二倍角的正弦公式化简可得值；（2）由（1）得到AC=2cosA，要求AC的范围，只需找出2cosA的范围即可，根据锐角ABC和B=2A求出A的范围，然后根据余弦函数的增减性得到cosA的范围即可【解答】解：（1）根据正弦定理得：=，因为B=2A，化简得=即=2；（2）因为ABC是锐角三角形，C为锐角，所以，由B=2A得到A+2A且2A=，从而解得：，于是，由（1
