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1、一、边际分析边际分析第六节导数在经济上的应用导数在经济上的应用 第三三章 二、弹性分析弹性分析3.6.1 常用的经济函数常用的经济函数1 13.6.1 常用的经济函数常用的经济函数需求函数:就是商品需求量与价格之间的函数关系。1. 需求函数需求函数常见的需求函数有以下几种类型 (1) 线性需求函数 2 2(2) 二次需求函数 (3) 指数需求函数 一般来说，需求函数是价格的单调减少函数.3 3供给函数:就是商品供给量与价格之间的函数关系。需求函数的反函数 称为价格函数。2. 供给函数供给函数常见的供给函数有以下几种类型 (1) 线性供给函数 4 4(2) 二次供给函数（略） (3) 幂供给函数
2、 (4) 指数供给函数 一般来说，供给函数是价格的单调增加函数.5 5需求函数供给函数均衡价格均衡量价格 p Q供过于求供不于求3. 均衡点均衡点6 6例例例例3.6.1.3.6.1. 某商品的某商品的需求函数 供给函数 求均衡点。解：由均衡条件得：4. 成本函数成本函数FC(q)和变动成本(variable cost,VC(q).固定成本包括设备的固定费用和其他管理费用；变动成本是随销售量或有形成本函数：一个企业的成本包括固定成本(fixed cost产量的变化而变化。总成本=固定成本+可变成本，即平均成本函数7 7例例3.6.2 如果已知某产品的成本C是产量q的线性函数，而时，；当时，求出
3、当时的成本是多少？解：设则解之得：所以将代入上式，得（元）实际上，6000是固定成本，是可变成本。8 85.5.5.5.收益函数与利润函数收益函数与利润函数收益函数与利润函数收益函数与利润函数收益收益函数：生产者出售一定数量产品所得的全部收入，函数：生产者出售一定数量产品所得的全部收入，函数：生产者出售一定数量产品所得的全部收入，函数：生产者出售一定数量产品所得的全部收入，即收益=价格售出量，即利润函数：利润是一个企业所追求的主要目标之一。利润利润L(q)是产量（或销售量）的函数，利润=收益-成本，生产者盈利；生产者亏损；生产者盈亏平衡；称为盈亏平衡点（又称保本点）9 9例例例例3.6.43.
4、6.4 某工厂生产的某产品，年产量为某工厂生产的某产品，年产量为q q台，每台售价台，每台售价为100元，当年产量超过800台，超过的部分只能以9折的价格出售，这样可以多出售200台。再多生产，将无法出售。试写出本年的收益函数。解解：1010例例3.6.5 设某产品的价格函数是其中p为价格（元），q为产品销售量。又设产品的固定成本为6000元，变动成本为20元/件。求成本函数、收益解解：成本函数为收益函数利润函数函数和利润函数。11111.最大利润问题最大利润问题： 3.6.2.最大值与最小值在经济问题中的应用举例最大值与最小值在经济问题中的应用举例例例例例3.6.6. 3.6.6. 已知某产
5、品的总收益函数为已知某产品的总收益函数为总成本函数为 解：解：利润函数为, 求产量为多少时总利润最大. 这是L(q) 唯一的驻点所以当 q = 20 时总利润最大.1212最大利润：小结小结：一般地，当时，即时，总利润最大。例例例例3.6.73.6.7. . 某商店以每台某商店以每台某商店以每台某商店以每台350350元的价格每周可能售出元的价格每周可能售出元的价格每周可能售出元的价格每周可能售出CDCD唱机唱机唱机唱机200台，市场调查指出，当价格降低10元时，一周的销售量可增加20台。求出价格函数和销售额函数, 商店要达到最大销售额，应该把价格降低多少元 1313例例例例3.6.73.6.
6、7. . 某商店以每台某商店以每台某商店以每台某商店以每台350350元的价格每周可能售出元的价格每周可能售出元的价格每周可能售出元的价格每周可能售出CDCD唱机唱机唱机唱机200台，市场调查指出，当价格降低10元时，一周的销售量解：解：设调价后每周能售出x台，可增加20台。求出价格函数和销售额函数, 商店要达到最大而每多销售一台，则价格降低说明若价格降低所以销售额，应该把价格降低多少元 则每周增加的销售量为故价格函数为：有唯一的极大值，即为最大值。销售额函数为：求其最大值：销售额可达到最大。14142.最小成本问题最小成本问题： 例例例例3.6.8. 3.6.8. 某产品的成本函数为：某产品
7、的成本函数为：求 当产量为多少时，平均成本最小。解解: 平均成本：（只取正值）15151. 边际函数：边际函数： 设函数设函数称为称为f (x)在在 x 处的变化率。处的变化率。称为称为f (x)在在 平均变化率。平均变化率。所以，边际函数近似等于所以，边际函数近似等于当当 自变量自变量 从从 x 处改变一个单位时，处改变一个单位时，y 相应的改变量称相应的改变量称为边为边际函数。此时，际函数。此时，实际上，经常省略实际上，经常省略“近似近似”。3.6.3 导数在经济分析中的应用导数在经济分析中的应用一一. 边际分析边际分析1616计划生产 q 件产品后再多生产 1 件产品, 成本的实际改变是
8、: 即: 产品数量为 q 时， 边际成本边际成本 增减一件产品时成本的实际改变增减一件产品时成本的实际改变 边际成本: (或少)2 2 边际成本函数边际成本函数边际成本函数边际成本函数1717例例例例3.6.9. 3.6.9. 某产品的总成本某产品的总成本 C C ( (单位单位: :元元) )和产量和产量 q q 的关系式为的关系式为求生产100件和225件产品时的边际成本. 解解: 经济含义经济含义: 当产量为 225 件时, 再增加 1 件产品, 总成本将增加 6 元左右。 经济含义经济含义: 当产量为100件时, 再增加1件产品,总成本将增加 6 .5元左右。18183. 3. 边际收
9、益函数边际收益函数边际收益函数边际收益函数总收益：总收益： 边际收益函数：边际收益函数：在销售了 q 件产品后再多（或少）销售 1 件产品, 收益的实际改变是: 边际收益: 含义含义: 产品数量为 q 时， 边际收益 多(或少)售一件产品时收益的增加(或减少)量1919其中 p 为单价, 例例例例3.6.103.6.10. . 设产品的需求量为：设产品的需求量为：求边际收益函数及 q = 20,50,70 时的边际收益，并解释所得结果的经济意义。解：解：产品单价为 总收益函数为边际收益函数：q = 20时, 再多售一件产品总收益将增加12个单位q = 50时, 再多售一件产品总收益不会增加q
10、= 70时, 再多售一件产品总收益反而减少7个单位2020设 q 为商品售出量, 4. 4. 边际利润函数边际利润函数边际利润函数边际利润函数总成本函数： 利润函数：利润函数：总收益函数： L = 总收益 总成本边际利润：边际利润：边际利润的含义边际利润的含义: 销售量为 q 时， 边际利润 再多售一件产品时利润的增加量(少售)(减少量)2121二二. 弹性分析弹性分析 定义定义3.6.1 设函数称为称为f (x)在在 x 处的弹性（相对变化率）。处的弹性（相对变化率）。1. 函数弹性的概念函数弹性的概念 边际函数是指函数的绝对改变量与绝对变化率，而函数边际函数是指函数的绝对改变量与绝对变化率
11、，而函数的弹性是指相对改变量与相对变化率。的弹性是指相对改变量与相对变化率。可导，称为称为f (x)在在 和和 之间的弹性之间的弹性(平均相对变化率平均相对变化率)。记为22222. 需求弹性需求弹性设需求函数为设需求函数为P为产品的价格,当 很小时，有故需求弹性 近似地表示当价格为P时，价格变动1%，需求量将近似地变动 %。所以需求弹性反映了需求量对价格变动反映的灵敏度。一般地，因为需求函数为单减函数，故需求弹性为负值。该函数在P点可导，则该产品在价格为P时的需求弹性：2323例例3.6.11 设某种商品的需求量设某种商品的需求量Q与价格与价格P的关系为的关系为(1)求需求弹性 ；(2)当商
12、品的价格为10元时，再提高1%，求商品需求量的变化情况。解解 (1)需求弹性为需求弹性为负，说明价格P提高1%时，需求量减少 %。(2)当价格为10元时，说明当价格为10元时，价格提高1%时，需求量减少13.9 %.价格降低1%时，需求量增加13.9 %.24243. 供给弹性：与需求弹性的定义类似。供给弹性：与需求弹性的定义类似。设供给函数为设供给函数为P为产品的价格, 该函数在P点可为P时的供给弹性：所以供给弹性反映了供给量对价格变动反映的灵敏度。一般地，因为供给函数为单增函数，故供给弹性为正值。导，则该产品在价格当 很小时，有故供给弹性 近似地表示当价格为P时，价格变动1%，供给量将近似
13、地变动 %。25254. 总收益弹性总收益弹性因为因为该函数对P求导，得总收益弹性2626例例3.6.12 设某种商品的需求函数为设某种商品的需求函数为(1)求当P=4时的边际需求，并说明其经济意义。解解 (1)当P=4时的边际需求为说明当P=4时，价格提高1%时，需求量减少0.54 %.说明当价格P=4时，价格提高1个单位，需求量减少8个(2)求当P=4时的需求弹性，并说明其经济意义。单位。2727(3)求当P=4时，若价格上涨1%，总收益将变化百分之几。是增加还是减少？（需求函数为当P=4时，若价格上涨1%，总收益将增加0.46%。2828(4)求当P=6时，若价格上涨1%，总收益将变化百分之几。是增加还是减少？（需求函数为由(3)的分析当P=6时，若价格上涨1%，总收益将减少0.85%。2929作 业P160 3，4，6，73030个人观点供参考，欢迎讨论
