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1、二次函数中考亮点题一、图象信息型例1（2021四川遂宁）已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图1所示，有下列5个结论：abcb24ac;2ca+2bm（am+b）（m1）;若方程ax2+bx+c=1有四个根，则这四个根的和为2.其中正确的结论有（）.A.2个B.3个C.4个D.5个解析：由图象的开口向下可知a0，由对称轴在y轴的右侧可知a，b异号，故b0，由图象与y轴交于正半轴可知c0，因此abc0，故不正确.由二次函数的图象与x轴有两个交点，可知b2-4ac0，即b24ac，故不正确.由图象可知其对称轴为x=-b2a=1，a=-12b，又由图象可知，当x=-1时，y=a-b+c0
2、，-b-b+c0，即2c3b，故正确.由图象可知，当x=1时函数有最大值，因此当x=m且m1時，有am2+bm+cam2+bm，又b0，a+2bm（am+b）（m1），故正确.由方程ax2+bx+c=1有四个根，可知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与直线y=1有四个交点.设二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与直线y=1两个交点的横坐标分别为x1和x2，则由方程ax2+bx+c-1=0可知x1+x2=-ba.a=-b，x1+x2=2.同理，设二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与直线y=-1两个交点的横坐标分别为x3和x4，则x3+x4=2，x1+x2+x3+x4=4，故
3、不正确.故选A.点评：方程问题可以通过构造函数，借助于图象的直观性来解决.二、定义概念型例2（2021江西）二次函数y=x2-2mx的图象交x轴于原点O及点A.感知特例：（1）当m=1时，如图2，抛物线L：y=x2-2x上的点B，O，C，A，D关于点A中心对称的点分别为B“，O，C，A，D.如下表：。B（-1，3）O（0，0）C（1，-1）A（，）D（3，3）。B（5，-3）O（4，0）C（3，1）A（2，0）D（1，-3）。补全表格;在图2中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L.形成概念：我们发现形如（1）中的图象L上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称，则称L是
4、L的“孔像抛物线”.例如，当m=-2时，图3中抛物线L是抛物线L的“孔像抛物线”.探究问题：（2）当m=-1时，若抛物线L与它的“孔像抛物线”L的函数值都随着x的增大而减小，则x的取值范围为;在同一平面直角坐标系中，当m取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数y=x2-2mx的所有“孔像抛物线”L都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是（填“y=ax2+bx+c”或“y=ax2+bx”或“y=ax2+c”或“y=ax2”，其中abc0）;若二次函数y=x2-2mx及它的“孔像抛物线”与直线y=m有且只有三个交点，求m的值.解析：（1）A（2，0）;如图2所示.（2）当m=-1时，抛物线L
5、为y=x2+2x，在直角坐标系中作出抛物线L及它的“孔像抛物线”L，如图4，观察图象可知，当-3x-1时，抛物线L与它的“孔像抛物线”L的函数值都随着x的增大而减小.令y=x2-2mx中的y=0，得x1=0，x2=2m，抛物线y=x2-2mx与x轴的交点坐标为O（0，0），E（2m，0），点O关于点E的对称点为E（4m，0），易知m0，再令x=-1，代入y=x2-2mx得y=1+2m，得到点F（-1，2m+1），利用全等三角形可以求得点F关于点E对称的点F（4m+1，-2m-1）.设抛物线L的“孔像抛物线”L的解析式为y=a（x-2m）（x-4m），将点F（4m+1，-2m-1）代入，得-2m
6、-1=a（4m+1-2m）（4m+1-4m），解得a=-1，“孔像抛物线”L的解析式为y=-（x-2m）（x-4m），与y=ax2组成方程组，消去y得（a+1）x2-6mx+8m2=0，由抛物线与二次函数y=x2-2mx的所有“孔像抛物线”L都有唯一交点，可知=36m2-32m2（a+1）=0，解得a=.可以验证，其他类型的函数均不成立.故应填y=ax2.二次函数y=x2-2mx及它的“孔像抛物线”y=-（x-2m）（x-4m）与直线y=m有且只有三个交点，由图象可知，直线y=m过点A（此时m=0，不合题意）或过其中一条抛物线的顶点，所以m=m2或m=-m2，解得m=1或-1.点评：本题文字比较多，信息量较大，要认真阅读，弄清新定义的概念“孔像抛物线”的本质，通过填表、画图、计算、推理，数形结合地解决问题.在解决“探究问题”部分时，求出“孔像抛物线”L的解析式为y=-（x-2m）（x-4m）是关键.
