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1、简单的线性规划一、本章节的地位及作用1“简单的线性规划”是在学生学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应 用，这是新大纲中增加的一个新内容，反映了新大纲对数学知识应用的重视，体现 了数学的工具性、应用性2本节内容渗透了转化、归纳、数形结合数学思想，是向学生进行数学思想方法教学 的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材.3本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意 识以及解决实际问题的能力二、教学目标1知识目标：能把实际问题转化为简单的线性规划问题，并能给出解答 2能力目标：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透化归、数形结合的数学思想， 提高学生“建
2、模”和解决实际问题的能力3情感目标：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生 勇于创新三、教学重点与难点1教学重点：建立线性规划模型 2教学难点：如何把实际问题转化为简单的线性规划问题，并准确给出解答 解决重点、难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用 图解法求得最优解为突出重点，突破难点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合 的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化四、教学方法与手段1教学方法 为了激发学生学习的主体意识，面向全体学生，使学生在获取知识的同时，各方面的能 力得到进一步的培养根据本节课的内容特点，本节课采用启发引导、讲
3、练结合的教学方法， 着重于培养学生分析、解决实际问题的能力以及良好的学习品质2教学手段 新大纲明确指出：要积极创造条件，采用现代化的教学手段进行教学根据本节知识本 身的抽象性以及作图的复杂性，为突出重点、突破难点，增加教学容量，激发学生的学习兴 趣，增强教学的条理性、形象性，本节课采用计算机辅助教学，以直观、生动地揭示二元一 次不等式（组）所表示的平面区域以及图形的动态变化情况3学生课前准备坐标纸、三角板、铅笔和彩色水笔五、教学过程设计教学流程图（一）创设情境，新课导入（教师活动）通过多媒体创设情境（学生活动） 思考、并根据分析，尝试用坐标纸作图、解答引例：某班班长赵彬预算使用不超过50元的资
4、金购买单价分别为6 元的笔筒和7 元的 文具盒作为奖品，根据需要，笔筒至少买3 个，文具盒至少买2个，问他最多共买多少个笔 筒和文具盒？请同学们考虑怎么将这个实际问题转化为数学问题？ 设计意图：通过创设情境，自然地让学生感受到数学与实际生活息息相关，激发学生的 学习热情，明确本节课探究目标，同时又复习了线性规划问题的图解法（二）例题示范，形成技能（教师活动）电脑打出例题，并作分析（学生活动）思考、并根据分析，尝试解答例 1 要将两种大小不同的钢板截成 A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型钢板类型、A规格B规格C规格第一种钢板211第二种钢板12
5、3今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？分析本题是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的资源来完成该项任务 （审题）引导学生弄清各元素之间的关系，抓住问题的本质.（建模）确定变量及目标函数：第一种钢板x张，第二种钢板y张，所用钢板数为 z 张，则 z =x+y 分析约束条件； 建立线性规划模型2x + y 15,x + 2 y 1&设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，由题中表格得x + 3y 27,x 0,、y 0.试求满足上述约束条件的x, y,且使目标函数z=x+y取得最小值（其中x, y均为正整
6、数）因此把实际问题转化为线性规划问题.（求解） 运用图解法求出最优解；用多媒体教学,着重分析如何寻找最优解是整数解. 回答实际问题的解解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，根据题意可得：2x + y 15,x + 2 y 1& 27, x 0, 、y 0.z=x+y，作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.作直线l : x+y=0,把直线l向右上方平移至l的位置时，直线经过可行域上的点A,且与原点距离最近， 此时z=x+y取最小值.2x + y 二 15.解方程组x + 3 y = 27.得交点A的坐标（即晋），由于18和都不是整数，所以可行域内的点（肾39）不是最优解.将直线l1向可
7、行域内平移，最先到达的整点为B（3,9）和C（4,8）它们是最优解，此时z取 得最小值 12.答：要截得所需规格的三种钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种，第一种 截法是截第一种钢板3 张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板 8 张，两种方法都最少要截得两种钢板共12 张.说明这种寻找整点最优解的方法可简述为“平移找解法”，即打网格，描整点，平移直线1,找出整点最优解此法应充分利用非整点最优解的信息，作图要精确.设计意图：把实际问题转化为线性规划问题是本节课的重难点，而寻找整点最优解则是 例1 的难点为此本环节充分利用计算机辅助教学，投影题目及表格，作可行域，动态
8、演 示直线的平移过程等，不仅能够增大教学容量，而且能够使数学知识形象化、直观比，诱发 学生在感情上参与；同时，多媒体教学通过对学生各种感官的刺激，以一种接近人类认知特 点的方式来组织、展示教学内容及构建知识结构，能把课堂结构反映得更集中、典型、精粹， 从而大大优化了课堂结构例 2 某工厂生产甲、乙两种产品. 已知生产甲种产品 1 t ，需耗 A 种矿石 10 t、B 种矿石 5 t、煤4 t；生产乙种产品1 t需耗A种矿石4 t、B种矿石4 t、煤9 t.每1 t甲种产品的利润是 600元，每1 t乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿 石不超过300 t、B种
9、矿石不超过200 t、煤不超过360 t,甲、乙两种产品应各生产多少（精 确到0.1 t）,能使利润总额达到最大？分析 本题是在资源一定的条件下，怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大（审题）引导学生弄清各元素之间的关系，抓住问题的本质，整理已知数据列成下表:消耗量 资源甲产品（1t）乙产品（1t）资源限额（t）A种矿石（t）104300B种矿石（t）54200煤（t）49360利润（元）6001000（建模）（1）确定变量及目标函数：若设生产甲、乙两种产品分别为x t, y t, 利润总额为z元，则用x，y如何表示z?（2）分析约束条件：z值随甲、乙两种产品的产量x，y变
10、化而变化， 但甲、乙两种产品是否可以任意变化呢?它们受到哪些因素的制约?怎样用数学语言表述这些 制约因素?（3）建立线性规划模型：10x + 4y 300,5x + 4 y 200,已知变量x,y满足约束条件4x + 9y 0,y 0;取得最大值，（求解）采用图解法求出最优解解：设生产甲、乙两种产品分别为x t、y t,利润总额为z元, 根据题意可得：10x + 4y 300,5x + 4 y 200,4 x + 9 y 0,y0;目标函数为： z=600x+1000y. 作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域. 作直线 l :600x+1000y=0, 即直线 l:3x+5y=0,把直线
11、向右上方平移至l的位置时，直线经过可行域上的点M,且与原点距离最大, 此时 z=600x+1000y 取最大值.解方程组5 x + 4 y 二 200,4 x + 9 y 二 360,得M的坐标为x= 29 12.31000y= 29-34.5答：应生产甲产品约12.3 t,乙产品约34.51,能使利润总额达到最大说明对于最优解的近似值，要根据实际问题的具体情形取近似值按四舍五入取值即 x=12.4,y=34.5时，虽然z=41940最大，但此时的x,y不在可行域内.可以验证点（12.4,34.4） 和（12.3,34.5）在可行域内，但当 x=12.4,y=34.4 时，z=41840；当
12、x=12.3,y=34.5 时，z=41880， 因此按精确度取舍后的最优解点，可以离M点“较远”但必须离*距离最小.本例要求精 确到0.1 t,只需把坐标平面以0.1单位网格化，在格点上找到离*距离最小的点，就是符 合题意的最优解设计意图：学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题，不能正 确理解题意，弄清各元素之间的关系；不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质， 无法建立数学模型；孤立地考虑单个的问题情境，不能多方联想，形成正迁移针对这些障 碍以及题目本身文字过长等因素，本环节教师侧重于引导学生建立数学模式,其余过程由学 生自主解决用多媒体展示最优解的近似值引导学生结
13、合上述两例子总结归纳解决这类问题的方法和步骤：（三）学生互动 巩固提高（教师活动）电脑打出练习、要求学生独立解答巡视学生解答情况，纠正错误（学生活动）用坐标纸作图、解答某人有楼房一幢，室内面积共180m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房.大房间每间面 积为18m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15m2，可住游 客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600 元如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多 少间，能获得最大效益?（答案：隔出大房间3间，小房间8间或者只隔出小房间12间就能获得最大
14、收益）（教师用投影展示学生的结论并用多媒体展示正确结论同时点评） 设计意图：巩固、加深对线性规划解决实际问题的理解和应用（四）概括提炼，总结升华（引导学生从知识和思想方法两方面进行总结）1本节课你学了哪些知识？2本节课渗透了什么数学思想方法？（五）布置作业，探究延续拓展题：通过网络搜索查阅有关线性规划的应用实例 设计意图：强化基本技能训练，巩固课堂内容，发现和弥补教与学中的遗漏和不足，以 便及时矫正（六）板书设计（略）（七）教学设计说明1本节课是线性规划第三课时的教学内容，它以二元一次不等式（组）所表示的平面区 域和线性规划的图解法等知识为基础，体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了转化、
15、归纳、数形结合数学思想.2学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题，即不会建模， 故本设计把“实际问题抽象转化为线性规划问题”作为本堂课的重难点，并紧紧围绕如何引 导学生根据实际问题的已知条件，找出约束条件和目标函数，然后利用图解法求得最优解作 为突破难点的关键3.对于应用问题而言，学生遇到的障碍主要有三类：不能正确理解题意，弄清各元 素之间的关系；不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型； 孤立地考虑单个的问题情境，不能多方联想，形成正迁移.针对这些障碍以及题目本身文 字过长等因素，故将本节课设计为计算机辅助教学，从而将实际问题鲜活直观地展现在同学 们面前以利于他们理
